Exercícios: Proporcionalidade simples (regra de três)

Em uma frutaria, $5$ kg de maçãs custam $8,50$ reais. Quanto custarão $3$ kg das mesmas maçãs?

Uma equipe de $4$ pintores leva $6$ dias para pintar a fachada de um edifício. Se a empresa dispõe de apenas $3$ pintores para o próximo trabalho idêntico, quantos dias levarão para terminá-lo?

Uma receita de bolo para $6$ pessoas requer $150$ gramas de açúcar. Se quisermos adaptar a receita para convidar $10$ pessoas, quantos gramas de açúcar precisaremos?

Um carro que viaja a uma velocidade constante de $90$ km/h leva $4$ horas para fazer um trajeto entre duas cidades. A que velocidade constante ele deveria viajar para fazer o mesmo trajeto em $3$ horas?

Em um mapa rodoviário, uma distância de $5$ cm representa $600$ km na realidade. Se duas cidades estão separadas por $12$ cm no mapa, qual é a distância real entre elas em quilômetros?

Para encher um reservatório de água, são utilizadas $8$ torneiras iguais que despejam água no mesmo ritmo, levando $12$ horas para enchê-lo. Se quisermos que o reservatório se encha em $16$ horas, quantas torneiras iguais às anteriores devemos deixar abertas?

Uma máquina em uma fábrica produz $450$ peças em $3$ horas de funcionamento ininterrupto. Quantas peças ela produzirá se ficar ligada durante $8$ horas no mesmo ritmo?

O prêmio de um sorteio é dividido igualmente entre os ganhadores. Se houver $5$ ganhadores, cada um receberá $120$ reais. Quanto dinheiro receberia cada um se houvesse $8$ ganhadores?

Segundo dados técnicos do IDAE (Instituto para a Diversificação e Poupança de Energia), um carro a gasolina eficiente consome uma média de $5,4$ litros a cada $100$ km percorridos em rodovia a velocidade legal constante. Uma família vai fazer uma viagem de ida de Madrid até Valência pela rodovia A-3, cobrindo uma distância de $355$ km.

1. a) Explique brevemente por que o consumo total de gasolina e os quilômetros percorridos são grandezas diretamente proporcionais neste trajeto.
2. b) Por meio de uma regra de três simples direta ou por redução à unidade, calcule quantos litros de gasolina o veículo consumirá em todo o trajeto de ida.
3. c) Se o preço da gasolina 95 no posto de abastecimento for de $1,62$ reais por litro, quanto dinheiro eles gastarão em combustível durante essa viagem? Arredonde o resultado aos centavos de reais.

Para preparar e embalar $300$ lotes de alimentos em uma campanha de solidariedade da escola, $3$ voluntários demoram $40$ minutos trabalhando no mesmo ritmo constante. Para o lote seguinte de cestas idênticas, juntam-se mais $2$ pessoas, de modo que agora são $5$ voluntários trabalhando no mesmo ritmo.

A Lucía tenta calcular quanto tempo eles demorarão e escreve no caderno:

«Quanto mais pessoas, mais tempo demorará:

Portanto, demorarão quase $67$ minutos».

1. a) Explique com suas palavras, sem fazer cálculos, por que a conclusão da Lucía não faz sentido na vida real.
2. b) Aponte qual é o erro matemático que a Lucía cometeu no raciocínio dela e indique qual valor numérico permanece constante ao alterar o número de pessoas (ou seja, o que representa a constante do produto $x \cdot y$ neste contexto).
3. c) Corrija o raciocínio e calcule o tempo exato que os $5$ voluntários demorarão.

Com uma conexão de internet estável, o download de um arquivo de $3,2$ GB leva exatamente $15$ minutos. Se for necessário baixar uma atualização de $8,4$ GB, quanto tempo levará? Expresse o resultado final em minutos e segundos.

Um sistema de transmissão por engrenagens consiste em uma roda dentada motriz de $45$ dentes que gira a $120$ rotações por minuto (rpm). Esta roda está acoplada a uma segunda roda movida de $36$ dentes. A que velocidade (em rpm) girará a segunda roda?

Em uma casa de câmbio, uma turista britânica verificou que, ao trocar $125$ £ (libras esterlinas), recebeu $145$ reais. No dia seguinte, com a mesma taxa de câmbio, um turista brasileiro quer obter $250$ £. Quantos reais ele terá de entregar?

Uma bomba de extração de água funciona com uma vazão de $2,5$ litros por segundo e leva $4$ horas e $30$ minutos para esvaziar uma piscina. Se for substituída por uma bomba mais potente com uma vazão de $3,0$ litros por segundo, quanto tempo levará para esvaziar a mesma piscina?

Em um experimento de química, sabe-se que a massa de um composto é diretamente proporcional à quantidade de substância medida em mols. Se $3,5$ mols deste composto têm uma massa de $154$ gramas, qual será a massa exata de uma amostra que contém $6,2$ mols do mesmo composto?

Um terreno agrícola tem forma retangular com um comprimento de $120$ m e uma largura de $85$ m. A prefeitura desapropria o terreno, mas oferece em troca outro lote retangular com exatamente a mesma área. Se o novo lote tem um comprimento de $150$ m, qual deve ser sua largura?

O gráfico a seguir mostra a relação entre o peso de um tipo de liga metálica e seu custo no mercado. Observando o ponto $A$ marcado no gráfico, determine a constante de proporcionalidade e calcule quanto custará uma peça de $45$ kg dessa liga.

Segundo a Lei de Boyle-Mariotte, a temperatura constante, o volume ocupado por um gás é inversamente proporcional à pressão a que está submetido. Um gás ocupa um volume de $15,6$ litros quando a pressão é de $1,2$ atmosferas. Qual pressão, em atmosferas, será necessário aplicar para que o gás seja comprimido até ocupar exatamente $10,4$ litros?

Um ônibus de linha regular intermunicipal percorre um trecho de $108$ km pela rodovia AP-7. A uma velocidade média de $120$ km/h, leva exatamente $54$ minutos para completar o percurso. Num dia com chuva intensa e trânsito denso, a velocidade média do ônibus nesse mesmo trecho cai para $80$ km/h.

1. a) Antes de fazer qualquer cálculo numérico exato, faça uma estimativa fundamentada: o novo tempo de viagem será maior ou menor do que uma hora? Estará mais próximo de $60$ minutos ou de $90$ minutos? Justifique a sua estimativa mental.
2. b) Identifique o tipo de proporcionalidade que existe entre a velocidade média e o tempo gasto para percorrer uma distância fixa. Qual é o valor e as unidades da constante de proporcionalidade neste caso?
3. c) Apresente a proporção correspondente, calcule o tempo exato (em minutos) que o ônibus levará a $80$ km/h e verifique se a sua estimativa inicial do item a) estava correta.

No açougue de um mercado municipal, um cartaz informa que uma bandeja de $350$ g de bifes de peito de peru custa $4,20$ reais. Dois clientes, a Sara e o Mario, querem descobrir o preço de uma embalagem família de $1,4$ kg do mesmo produto.

• A Sara diz: «Eu prefiro reduzir à unidade: calculo quanto custa $1$ kg dividindo $4,20$ por $0,35$ kg, e depois multiplico esse preço por $1,4$».

• O Mario diz: «É mais fácil observar a relação entre os dados: $1,4$ kg são $1\,400$ g, e como $1\,400$ é exatamente o quádruplo de $350$ g, só preciso multiplicar $4,20$ por $4$».

1. a) Realize os cálculos seguindo o método da Sara e o do Mario. Verifique se ambos obtêm o mesmo resultado final.
2. b) Justifique qual dos dois métodos lhe parece mais ágil e prático para resolver este caso concreto sem o uso de calculadora.
3. c) Se depois quiserem saber o preço de uma embalagem pequena que pesa $210$ g, o raciocínio direto do Mario continua sendo tão vantajoso em relação ao da Sara? Justifique qual dos dois caminhos seria mais conveniente aplicar neste segundo caso e calcule o preço para esses $210$ g.

Sabe-se que uma grandeza $Y$ é diretamente proporcional a outra grandeza $X$. Quando $X = a$, o valor da grandeza $Y$ é $b + 3$. Se o valor de $X$ quadruplicar (ou seja, $X = 4a$), determine a expressão algébrica que define o novo valor de $Y$ em função de $b$.

Duas grandezas físicas $P$ e $Q$ são inversamente proporcionais. Se em um determinado processo a grandeza $P$ sofre um aumento de $25\%$, em qual porcentagem exata a grandeza $Q$ diminuirá? Demonstre sua resposta escrevendo a constante de proporcionalidade.

O gráfico a seguir mostra a relação entre duas grandezas $X$ e $Y$ inversamente proporcionais. Sobre a curva (hipérbole) foram marcados dois pontos $P(x_1, y_1)$ e $Q(x_2, y_2)$, e foram desenhados os retângulos que eles formam com os eixos coordenados. Demonstre algebricamente, utilizando a definição de proporcionalidade inversa, por que a área do retângulo azul é exatamente igual à área do retângulo vermelho, independentemente dos pontos escolhidos sobre a curva.

Segundo a Lei de Hooke, o alongamento de uma mola é diretamente proporcional à massa pendurada nela. Ao pendurar uma massa $M$, a mola se alonga $L$ centímetros. Se adicionarmos uma massa adicional de $m$ quilogramas, o alongamento total passa a ser $L + \Delta L$. Expresse a massa inicial $M$ em função apenas de $m$, $L$ e $\Delta L$.

Uma equipe de $N$ operários se compromete a terminar uma obra de engenharia em $D$ dias trabalhando em um ritmo constante. Depois de decorrida exatamente a quarta parte dos dias previstos ($D/4$), um terço dos operários abandona o projeto por um imprevisto. O restante da equipe continua trabalhando no mesmo ritmo. Expresse, em função de $D$, o número total de dias que a obra completa durará, desde o início até a conclusão.

Uma impressora 3D leva $45$ segundos para imprimir uma camada de plástico de $0,2$ mm de espessura. Deseja-se imprimir uma peça maciça de altura $H$ mm. Se o operador alterar a configuração para que cada camada tenha uma espessura de $0,15$ mm (o que mantém exatamente o mesmo tempo de impressão por camada de $45$ segundos, mas requer mais camadas), a impressão da peça completa levará $2$ horas e $5$ minutos a mais do que com a configuração original. Escreva as relações de proporcionalidade necessárias e determine a altura $H$ da peça.

Em uma corrida de longa distância, a velocidade média de um corredor e o tempo que ele leva para chegar à linha de chegada são grandezas inversamente proporcionais. A corredora A finaliza o percurso em $t$ minutos. A corredora B corre a uma velocidade média $20\%$ superior à da corredora A. Expresse o tempo que a corredora B leva em função de $t$.

Sabe-se que a massa de uma esfera de aço maciça é diretamente proporcional ao seu volume. Um estudante afirma que, se dobrarmos o raio da esfera, sua massa também dobrará aplicando uma regra de três simples direta em relação ao raio. Essa afirmação é correta? Sabendo que uma esfera de $2$ cm de raio tem uma massa de $260$ g, calcule a massa real de uma esfera do mesmo material e $3$ cm de raio, demonstrando por que a regra de três simples direta em relação ao raio é um erro conceitual neste caso.

Você está elaborando uma prova escrita de Matemática sobre proporcionalidade para os seus colegas de turma e quer criar um problema sobre o custo de energia elétrica do funcionamento de uma bomba de esgoto de água.

As condições que o seu exercício deve cumprir são:

1. O custo em reais ( reais) é diretamente proporcional ao tempo de funcionamento em horas (h).

2. A solução final que os seus colegas devem obter tem de ser exatamente um custo de $17,50$ reais para um tempo de utilização de $3,5$ horas.

3. No enunciado que você redigir, como dado conhecido de partida, o tempo deve ser um número inteiro de horas e o custo deve ser um número inteiro de reais estritamente menor do que $15$ reais.

1. a) Determine o valor da constante de proporcionalidade direta $k$ (em reais/h) exigido pela condição 2.
2. b) Deduza que pares de dados conhecidos $(t\text{ horas}, C\text{ euros})$ cumprem simultaneamente a condição 3 e a constante calculada. Escolha um desses pares para o seu problema.
3. c) Redija o enunciado completo e autônomo do problema que você inventou, utilizando o par de dados escolhido. Em seguida, resolva-o passo a passo por meio de redução à unidade para demonstrar que a solução é exatamente $17,50$ reais.

Nos estudos de segurança rodoviária do Departamento Nacional de Trânsito (Denatran) analisa-se a imobilização de um veículo dividindo o espaço total em duas fases distintas:

• Distância de reação: espaço percorrido em velocidade constante durante o tempo que o motorista demora para perceber o perigo e pisar no freio (estimado em $1$ segundo, em média).

• Distância de frenagem: espaço percorrido pelo carro desde o momento em que se aciona o freio até ele parar completamente por atrito.

Segundo os ensaios do Denatran, a $50$ km/h um veículo de passeio percorre uma distância de reação de aproximadamente $13,9$ metros.

1. a) Justifique por que a distância de reação e a velocidade de circulação são grandezas diretamente proporcionais. Que grandeza física representa, neste caso, a constante de proporcionalidade $\dfrac{\text{distância}}{\text{velocidade}}$?
2. b) Por meio de uma regra de três simples direta, calcule a distância de reação desse mesmo motorista se ele trafegar em rodovia na velocidade máxima legal de $120$ km/h. Arredonde o resultado para décimos de metro.
3. c) Um motorista inexperiente afirma: «Se a $50$ km/h a distância de frenagem em asfalto seco é de $12$ metros, a $120$ km/h será de $28,8$ metros, já que aplico uma regra de três simples multiplicando por $\frac{120}{50} = 2,4$». No entanto, as medições reais do Denatran mostram que a $120$ km/h a distância de frenagem é de cerca de $69$ metros. Justifique matematicamente por que a distância de frenagem NÃO é proporcional à velocidade e explique o grave perigo no trânsito que representa aplicar a proporcionalidade direta a grandezas que não a cumprem.