Exercícios: Os juros

Calcule os juros simples gerados por $4500$ reais a $3,5\%$ ao ano durante $4$ anos.

Um agricultor pede um empréstimo de $12000$ reais a $5\%$ de juros simples anuais para comprar novos maquinários. Se devolver o dinheiro em um pagamento único após $18$ meses, quanto pagará a título de juros?

Depositam-se $8000$ reais em um produto bancário a juros compostos de $2,5\%$ ao ano. Qual será o capital final ao cabo de $5$ anos se os juros gerados não forem retirados?

Que capital inicial deve ser investido a $4\%$ de juros simples anuais para obter $600$ reais de lucro ao final de $3$ anos?

Uma escola de idiomas investe $6500$ reais a juros simples durante $2$ anos e obtém um lucro total de $455$ reais. A qual taxa anual de juros foi realizada a aplicação?

Uma família financia a instalação de painéis solares no valor de $15000$ reais a juros compostos de $4\%$ ao ano durante $3$ anos. Que quantia total terá de devolver ao finalizar o período?

Calcule o capital final obtido ao investir $2500$ reais a juros compostos de $1,8\%$ ao ano durante $6$ anos.

Se forem investidos $1000$ reais a $5\%$ ao ano durante exatamente $1$ ano, há alguma diferença no capital final obtido se os juros aplicados forem simples ou compostos? Justifique sua resposta matematicamente.

O Mateo quer calcular os juros que uma aplicação a prazo fixo de $2400$ reais a $3\%$ de juro simples anual produzirá durante um período de $8$ meses. Na sua prova ele escreve o seguinte:

E conclui que ganhará $576$ reais nesses $8$ meses.

1. a) Explique, com fundamentação, por que o resultado do Mateo não faz sentido financeiro nem lógico, estimando quanto ele ganharia em um ano completo.
2. b) Aponte qual é o erro matemático concreto que ele cometeu na aplicação da fórmula.
3. c) Corrija o procedimento e calcule a quantia exata de juros que o Mateo obterá ao terminar os $8$ meses.

Segundo as estimativas do setor automotivo na Espanha (associações GANVAM e DGT), um veículo de passeio perde em média $16\%$ do seu valor a cada ano por depreciação e desgaste. Uma empresa adquire uma van de distribuição nova por um preço de $20\,000$ reais.

1. a) Antes de calcular com a fórmula, estime de forma justificada se após $3$ anos o veículo valerá mais ou menos que a metade do seu preço original ($10\,000$ reais).
2. b) Modele a evolução do valor do veículo por meio da fórmula de depreciação anual e calcule o seu valor exato ao fim dos $3$ anos.
3. c) Compare o valor obtido com a sua estimativa inicial e justifique por que a depreciação acumulada em $3$ anos não equivale a subtrair três vezes os $16\%$ (ou seja, $48\%$ de $20\,000$ reais).

Compare o crescimento de um investimento de $5000$ reais a $6\%$ de juros simples em relação a $6\%$ de juros compostos durante $10$ anos. Observe o gráfico em anexo que mostra a evolução de ambos os investimentos e determine, calculando os valores numéricos, qual será a diferença exata de capital entre eles ao final do período.

Uma empresa de transportes depositou $48000$ reais a juros simples de $3,2\%$ ao ano e obteve juros totais de $5376$ reais. Por quantos meses o dinheiro ficou investido no banco?

Um estudante universitário quer ter $15000$ reais daqui a $4$ anos para fazer um mestrado no exterior. Se o banco dele oferece uma aplicação a juros compostos de $2,2\%$ ao ano, quanto dinheiro ele deve aplicar hoje para atingir o objetivo?

Investem-se $10000$ reais a juros compostos de $4,8\%$ ao ano, mas com períodos de capitalização mensal. Qual será o capital final ao cabo de $3$ anos?

Uma van de entregas nova custa $24000$ reais. Pelo uso e pela passagem do tempo, estima-se que o seu valor se deprecie a uma taxa de $12\%$ ao ano acumulativa. Qual será o seu valor estimado depois de $5$ anos?

Ao investir $6000$ reais a juros compostos durante $4$ anos, obteve-se um capital final de $6753,05$ reais. Qual foi a taxa de juros anual aplicada à operação?

Um banco oferece um depósito a $3\%$ de juros nominais anuais com capitalização trimestral. Calcule a taxa efetiva anual correspondente a esse depósito.

Uma estudante decide investir os $2000$ reais que economizou com o seu primeiro trabalho de verão e os divide em duas partes iguais. A primeira metade ela deposita em uma conta jovem a $4\%$ de juros simples anuais e a segunda metade em uma aplicação a $3,5\%$ de juros compostos anuais. Qual metade terá rendido maiores lucros ao cabo de $8$ anos?

Uma família dispõe de $6000$ reais de economias das quais não precisará durante os próximos $3$ anos e compara duas opções oferecidas no mercado bancário espanhol, sem tarifas de manutenção:

• Opção A (Depósito a juros simples): Taxa fixa de $3,2\%$ ao ano, com pagamento da totalidade dos juros ao final dos $3$ anos.

• Opção B (Conta com capitalização trimestral): Taxa de juros nominal (TIN) de $3\%$ ao ano, cujos juros são acumulados e reinvestidos a cada trimestre.

1. a) Modele o capital final acumulado que se obteria com cada opção ao término dos $3$ anos.
2. b) Compare os dois resultados e escolha, de forma fundamentada, o método economicamente mais vantajoso.
3. c) Frequentemente se supõe que o juro composto sempre supera o juro simples. Explique por que, nesta situação concreta, acontece o contrário, analisando a diferença de taxas em relação à capitalização trimestral.

Um investidor aplicou um capital inicial $C$ em um fundo a juros compostos anuais durante $4$ anos. Ao fim desse tempo, o extrato bancário mostra que o capital final representa um aumento total acumulado de $21,55\%$ em relação à quantia investida no início.

1. a) Escreva a equação que relaciona a taxa de juros anual $r$ com o referido aumento acumulado após os $4$ anos e justifique por que não é necessário conhecer o valor numérico do capital inicial $C$ para formulá-la.
2. b) Verifique, de forma justificada, qual das seguintes taxas inteiras anuais é a solução exata da sua equação: $r = 3\%$, $r = 4\%$ ou $r = 5\%$.
3. c) Se o investimento tivesse sido contratado a juros simples durante os mesmos $4$ anos, obtendo exatamente esse mesmo ganho total de $21,55\%$, a taxa anual teria de ser maior ou menor do que a encontrada no item anterior? Justifique conceitualmente, sem efetuar cálculos longos.

Dois irmãos ganham um prêmio de $50000$ reais em um concurso de inovação e o repartem. O mais velho investe a sua parte a $3\%$ de juros compostos anuais, e o mais novo investe a sua a $4\%$ de juros compostos anuais. Ao cabo de $5$ anos, ambos têm exatamente o mesmo capital final. Formule o sistema de equações correspondente e calcule quanto cada um recebeu inicialmente.

Uma jovem dispõe de $12000$ reais que economizou com seus primeiros trabalhos. Aplica uma parte em um depósito a $5\%$ de juros simples anuais e o restante em uma conta de poupança a $4\%$ de juros simples anuais. Ao cabo de $3$ anos, os juros totais gerados por ambos os produtos somam $1680$ reais. Que quantia ela depositou em cada um?

O valor de um equipamento de informática se deprecia de forma contínua e percentual. Se aos $2$ anos da sua compra o seu valor é de $1280$ reais e aos $4$ anos é de $819,20$ reais, assumindo uma taxa de depreciação anual constante, calcule o preço original do equipamento e a porcentagem de depreciação que sofre a cada ano.

Um banco A oferece um depósito a $4,5\%$ de taxa de juros nominal anual com capitalização mensal. Um banco B oferece um depósito com capitalização anual. Que taxa de juros nominal anual o banco B deve oferecer para que a taxa efetiva anual de ambas as ofertas seja exatamente a mesma?

Uma pessoa investe $5000$ reais a juros compostos de $3\%$ ao ano. No entanto, a inflação média anual durante esse período é de $2\%$, o que significa que o poder de compra do dinheiro diminui acumulativamente. Calcule o capital final nominal ao final de $10$ anos e, em seguida, determine qual é o seu valor real (poder de compra equivalente ao do ano inicial).

Um investidor dispõe de $18\,000$ reais e analisa duas alternativas de investimento na Espanha a um prazo fechado de $5$ anos:

• Alternativa 1 (Vaga de garagem): Compra uma vaga de garagem por $18\,000$ reais e a aluga por $95$ reais por mês durante os $5$ anos completos (os aluguéis mensais vão sendo guardados sem gerar novos juros). Além disso, estima-se que o valor do imóvel subirá a uma taxa de valorização composta de $2\%$ ao ano.

• Alternativa 2 (Títulos de dívida pública): Investe os $18\,000$ reais em dívida pública a uma taxa de juros compostos anual de $3,4\%$ por $5$ anos, reinvestindo os rendimentos a cada ano.

1. a) Modele e calcule o capital total acumulado após os $5$ anos com a Alternativa 1 (somando o valor final estimado de venda da vaga e a totalidade dos aluguéis recebidos).
2. b) Modele e calcule o capital final obtido ao fim dos $5$ anos com a Alternativa 2.
3. c) Determine qual opção se revela financeiramente mais rentável e interprete que fatores da realidade (como meses sem aluguel, despesas de condomínio ou impostos) poderiam alterar a decisão final.

Uma pessoa reparte um capital de $30\,000$ reais por dois produtos bancários diferentes, $C_1$ e $C_2$, durante um período de $4$ anos:

• A quantia $C_1$ é depositada a $4\%$ de juro simples anual.

• A quantia restante, $C_2$, é aplicada a $3,5\%$ de juro composto anual com períodos de capitalização anuais.

Ao fim dos $4$ anos, ambas as aplicações produziram exatamente o mesmo montante de juros ganhos ($I_1 = I_2$).

1. a) Antes de efetuar cálculos algébricos, estime de forma fundamentada qual dos dois capitais iniciais ($C_1$ ou $C_2$) deve ser maior para que os lucros finais consigam se igualar, comparando o rendimento relativo de cada modelo.
2. b) Formule uma equação com uma única incógnita (em função de $C_1$) que modele a igualdade dos juros recebidos por ambos os investimentos e resolva-a para determinar a quantia exata destinada a cada produto.
3. c) Verifique se a sua estimativa inicial estava correta e calcule o ganho total conjunto gerado pelos $30\,000$ reais no final dos $4$ anos.