Exercícios: Fração geratriz de um número decimal

Classifique os seguintes números conforme sejam decimais exatos, dízimas periódicas simples ou dízimas periódicas compostas. Depois, indique para cada um deles qual é a sua parte inteira e, se tiverem, o seu período e o seu anteperíodo.

1. a) $2,75$

1. b) $1,\widehat{6}$

1. c) $0,1\widehat{25}$

1. d) $34,\widehat{09}$

Calcule a fração geratriz destes decimais exatos. Não se esqueça de simplificar a fração até chegar à fração irredutível.

1. a) $0,8$
2. b) $1,25$
3. c) $0,064$
4. d) $12,5$

Determine a fração geratriz das seguintes dízimas periódicas simples:

1. a) $0,\widehat{4}$
2. b) $0,\widehat{15}$
3. c) $2,\widehat{3}$
4. d) $1,\widehat{72}$

Escreva na forma de fração irredutível as seguintes dízimas periódicas compostas:

1. a) $0,1\widehat{6}$
2. b) $1,2\widehat{3}$
3. c) $0,0\widehat{5}$
4. d) $2,1\widehat{45}$

Um relógio inteligente indica que você completou $0,65$ do seu objetivo diário de passos, como mostra o anel da figura. Que fração do total de passos representa esta quantidade? Expresse o resultado como uma fração irredutível.

Ontem choveu muito e o pluviômetro da escola coletou um total de $3,\widehat{3}$ litros por metro quadrado. Como você expressaria essa quantidade exata de água usando uma fração?

Amina e Marcos estão comparando o quanto avançaram na leitura de um livro. Amina diz que leu $\frac{3}{4}$ do livro, e Marcos diz que leu $0,75$ partes.

Calcule a fração geratriz do número de Marcos e verifique se realmente leram o mesmo.

Calcule o resultado da seguinte operação, transformando primeiro os números decimais em fração geratriz e operando depois:

Para determinar a fração geratriz da dízima periódica composta $0,2\widehat{5}$, o Marcos escreve no quadro o seguinte procedimento:

Ao ser questionado pelo professor, o Marcos se justifica dizendo: «O numerador é a subtração dos algarismos sem vírgula menos a parte não periódica, e no denominador coloco dois noves porque depois da vírgula há no total dois algarismos decimais».

1. a) Explique de forma fundamentada que erro conceitual o Marcos cometeu ao determinar o denominador da fração.
2. b) Escreva a regra correta para este tipo de números e calcule a fração geratriz irredutível de $0,2\widehat{5}$.
3. c) Verifique que o seu resultado está correto efetuando à mão a divisão do seu numerador pelo seu denominador até obter pelo menos três casas decimais.

Propõe-se calcular o valor exato da seguinte soma de dízimas periódicas simples:

1. a) Sem usar papel nem lápis para fazer contas, faça uma estimativa mental rápida do resultado arredondando cada parcela às décimas (uma única casa decimal). Que valor aproximado você obtém?
2. b) Determine a fração geratriz de cada uma das duas parcelas e some-as para obter o resultado exato sob a forma de fração irredutível.
3. c) Escreva o resultado exato como número inteiro ou decimal. Compare-o com a sua estimativa do item a) e explique por que razão em matemática é imprescindível utilizar frações geratrizes ao operar com infinitas casas decimais periódicas.

Em um popular videogame de estratégia, a velocidade de ataque de um herói aumenta por um fator de $1,75$ e sua defesa é multiplicada por $0,\hat{6}$. Para realizar cálculos precisos no motor do jogo, os programadores precisam trabalhar com frações. Obtenha as frações geratrizes irredutíveis de ambos os números para ajudá-los.

Observe a seguinte reta numérica onde foram marcados dois pontos, $A$ e $B$. O ponto $A$ representa o número decimal $0,8\hat{3}$ e o ponto $B$ representa o número $1,\hat{2}$.

Calcule a fração geratriz de cada ponto e encontre a distância exata que há entre $A$ e $B$ expressa como uma única fração irredutível.

Um "streamer" da Twitch calculou que a duração média de suas inscrições é de $2,41\hat{6}$ meses. Se ele quer expressar esse tempo de forma exata para o seu relatório trimestral:

1. Identifique que tipo de número decimal ele é.

2. Calcule sua fração geratriz seguindo os passos do método das potências de 10.

3. Simplifique a fração até que seja irredutível.

Em uma aula de Educação Física, três alunos cronometraram quanto tempo levam para percorrer 100 metros rasos. Os tempos obtidos foram:

• Sara: $12,5$ segundos.

• Lucas: $12,\hat{5}$ segundos.

• Kenia: $12,0\hat{5}$ segundos.

Expresse o tempo de cada aluno em forma de fração geratriz irredutível e ordene-os do mais rápido para o mais lento.

Calcule o valor da seguinte expressão de forma exata. Para isso, primeiro você deve transformar cada número decimal em sua respectiva fração geratriz irredutível:

O armazenamento de um aplicativo de mensagens ocupa atualmente $3,875$ GB da memória de um celular. O usuário decide apagar arquivos e libera um espaço equivalente a $1,\hat{45}$ GB.

1. Calcule a fração geratriz do espaço ocupado inicialmente.

2. Calcule a fração geratriz do espaço liberado.

3. Que fração de GB permanece ocupada no celular? Expresse o resultado como fração irredutível.

Uma jovem designer gráfica está criando um logotipo baseado em círculos concêntricos. O raio do círculo interior deve ser exatamente $\frac{7}{9}$ do raio do círculo exterior. Se o raio do círculo exterior mede $4,5$ cm:

1. Expresse o raio do círculo interior como um número decimal exato.

2. Se a área do círculo exterior é calculada como $A = \pi \cdot r^2$, e usamos a aproximação $\pi \approx 3,14$, calcule a área do círculo pequeno utilizando sempre a fração geratriz para obter a máxima precisão possível.

Diz-se que um número é "curioso" se, ao somar os algarismos do numerador e do denominador da sua fração geratriz irredutível, obtemos o mesmo valor. Verifique se os números $0,4\hat{6}$ e $1,\hat{3}$ são números "curiosos" calculando suas frações geratrizes.

Encontre a fração geratriz da dízima periódica simples $12,\widehat{3}$. Para isso, siga o método algébrico chamando o número de $x$ e multiplicando pela potência de 10 adequada para subtrair as expressões e eliminar a parte decimal. Não se esqueça de simplificar o resultado.

Relacione em seu caderno cada número decimal com sua fração geratriz irredutível correspondente. Tenha cuidado, há uma fração que não corresponde a nenhum dos números:

Um alfaiate precisa comprar tecido para confeccionar algumas fantasias. O modelo exige exatamente $2,0\widehat{4}$ metros de tecido azul. Na loja, os pedaços de tecido são vendidos apenas em medidas fracionárias. Qual dos seguintes pedaços o alfaiate deve escolher se deseja a medida exata?

1. a) $\frac{202}{99}$ metros.
2. b) $\frac{37}{18}$ metros.
3. c) $\frac{92}{45}$ metros.

Observe a seguinte reta numérica onde foram assinalados três pontos: $A$, $B$ e $C$. O ponto $B$ representa o número decimal $1,2\widehat{7}$. Encontre a sua fração geratriz irredutível e justifique entre quais dois números inteiros se encontra esse ponto.

Na conta de água de um município brasileiro, o hidrômetro digital de uma residência registrou um consumo bimestral de $12,8\widehat{3}\text{ m}^3$. A tarifa do município estabelece um preço de $\text{R\$}\ 1,80$ por cada metro cúbico consumido, ao qual se deve somar uma taxa fixa de serviço de $\text{R\$}\ 5,50$.

1. a) Para que a conta não contenha erros por arredondamento de algarismos infinitos, o sistema de informática deve converter a leitura do hidrômetro na sua fração geratriz. Determine essa fração irredutível de metros cúbicos.
2. b) Expresse o preço do metro cúbico ($\text{R\$}\ 1,80$) como fração irredutível e calcule o custo exato do consumo de água (sem a taxa fixa) multiplicando ambas as frações.
3. c) Some a taxa fixa para obter o valor total exato da conta.
4. d) Se a empresa tivesse aproximado o consumo para duas casas decimais ($12,83\text{ m}^3$), qual teria sido o valor final cobrado? A família ou a empresa fornecedora teria saído beneficiada? Justifique sua resposta calculando a diferença exata.

Procura-se uma dízima periódica simples $D = 0,\widehat{a}$ (onde $a$ é um algarismo de $1$ a $9$) que satisfaça a seguinte condição: ao multiplicá-la pela dízima finita $1,5$ e somar a fração $\frac{1}{6}$ ao resultado, obtém-se exatamente o número inteiro $1$.

1. a) Escreva a fração geratriz do número $D$ em função da incógnita $a$.
2. b) Converta o número decimal exato $1,5$ em uma fração irredutível e formule uma equação com todas as frações geratrizes que traduza o enunciado.
3. c) Resolva a equação para descobrir o valor do algarismo $a$ e escreva a dízima periódica $D$ procurada.
4. d) Verifique o resultado substituindo o valor obtido na expressão combinada original e resolvendo-a passo a passo.

Calcule o valor exato da seguinte expressão combinada. Para evitar erros de aproximação, transforme cada número decimal em sua respectiva fração geratriz antes de operar e simplifique o resultado até obter uma fração irredutível:

Um jovem programador está projetando um videogame e precisa definir a probabilidade de aparecer um objeto raro. O código exige que a probabilidade seja inserida como uma fração irredutível, mas o motor gráfico retorna o valor no formato de dízima periódica composta: $P = 0,02\widehat{45}$.

Encontre a fração geratriz que o programador deve inserir e justifique se essa probabilidade é maior ou menor que $\frac{1}{40}$.

Em uma escavação arqueológica no antigo Egito, encontrou-se um azulejo quadrado cuja superfície mede exatamente $5,4\widehat{4}$ decímetros quadrados. Os arqueólogos precisam saber a medida do lado do azulejo para reconstruir o mosaico original.

Determine o comprimento do lado em forma de fração e, posteriormente, calcule o perímetro do azulejo expressando-o como um número decimal.

Encontre um algarismo $x$ para que a dízima periódica simples $0,\widehat{x7}$ tenha como fração geratriz uma expressão cujo denominador simplificado seja $33$. Existe mais de uma solução? Justifique sua resposta analisando a soma dos algarismos do numerador.

Um drone de vigilância percorre uma distância de $14,2\widehat{7}$ quilômetros em um tempo de $0,3\widehat{8}$ horas. Para calcular a velocidade média com total precisão (sem arredondar em passos intermediários), o sistema de controle deve operar com frações.

Calcule a velocidade média do drone em km/h utilizando as frações geratrizes. Expresse o resultado final como um número inteiro ou uma fração irredutível.

Dois tanques de produtos químicos contêm misturas diferentes. O primeiro tem $2,1\widehat{6}$ litros de um reagente e o segundo tem $1,8\widehat{3}$ litros. Se misturarmos os conteúdos dos dois em um terceiro recipiente e, devido à evaporação, perdermos a quarta parte do total da mistura:

1. a) Qual volume de líquido resta no recipiente? (Utilize frações geratrizes para o cálculo.)
2. b) O resultado é um decimal exato ou uma dízima periódica?

Sabemos que, no sistema de numeração decimal, o número $0,\widehat{9}$ é igual a $1$. Demonstre isso utilizando o algoritmo da fração geratriz.

Em seguida, utilize essa mesma lógica para fundamentar a qual número decimal exato equivale a dízima periódica composta $4,2\widehat{9}$ e verifique a sua resposta calculando a soma $4,2 + 0,0\widehat{9}$ por meio de frações.

Um satélite envia dados em rajadas de microssegundos. Uma rajada dura $0,\widehat{142857}$ segundos. O centro de controle recebe $2,1$ rajadas por cada ciclo de clock.

Se um ciclo de clock dura exatamente o que indica a soma dessas rajadas, calcule a duração de um ciclo expressando-a como uma fração irredutível.

Calcule o resultado exato da seguinte operação combinada. Para isso, é imprescindível que obtenha primeiro as frações geratrizes de cada número decimal e simplifique os resultados intermediários:

Um agricultor ecológico projetou um reservatório de irrigação cuja base é retangular. As dimensões da base são $2,\widehat{6}$ metros de comprimento e $1,125$ metros de largura. Se ele deseja instalar uma lona protetora que cubra exatamente toda a superfície da base, qual deve ser a área dessa lona? Expresse o resultado como uma fração irredutível de metro quadrado.

Num ensaio de laboratório, um cientista mistura três substâncias. A primeira pesa $\frac{5}{9}$ de grama, a segunda pesa $0,\widehat{4}$ gramas e a terceira pesa $0,\widehat{09}$ gramas. Demonstre, utilizando as frações geratrizes, que a soma total das três substâncias é exatamente $\frac{12}{11}$ de grama.

Encontre o valor da incógnita $x$ na seguinte igualdade, expressando primeiro os números decimais como frações:

Um programa de televisão propõe o seguinte desafio: "Procure o menor número natural, diferente de zero, que, ao ser multiplicado pela dízima periódica composta $0,1\widehat{36}$, resulte em um número inteiro". Qual número é esse? Explique os passos seguidos.

Três irmãos herdaram uma propriedade e a dividem da seguinte maneira: o mais velho fica com $0,4\widehat{6}$ da propriedade, o do meio com $0,3\widehat{18}$ e o mais novo com o restante.

1. a) Calcule a fração geratriz da parte que corresponde a cada um dos dois irmãos mais velhos.
2. b) Que fração do total resta para o irmão mais novo? Expresse o resultado como fração irredutível.

Ordene do menor para o maior os seguintes números reais. Para poder compará-los com precisão, transforme todos os decimais em suas frações geratrizes e busque um denominador comum:

Sabe-se que um caminhão-pipa transporta $12.000$ litros de leite. Na primeira parada, descarrega $0,2\widehat{3}$ do total. Na segunda parada, descarrega $\frac{3}{11}$ do que restava.

1. a) Quantos litros restam no caminhão depois da segunda parada?
2. b) Expresse a quantidade total descarregada entre as duas paradas, em litros, como uma dízima periódica, indicando se é simples ou composta.

Para calcular o valor exato da expressão combinada:

Três alunos do 8º ano debatem sobre qual é a melhor estratégia:

• Daniel (Atalho decimal): Observa que $1,\widehat{6}$ e $0,\widehat{6}$ têm exatamente o mesmo período, por isso propõe subtraí-los diretamente no formato decimal ($1,\widehat{6} - 0,\widehat{6} = 1$) antes de passar para fração.

• Sara (Método padrão): Propõe passar desde o primeiro momento todos e cada um dos quatro números decimais periódicos para a sua fração geratriz irredutível e operar unicamente com frações respeitando a prioridade das operações.

• Lucas (Aproximação decimal): Propõe arredondar cada número a duas casas decimais ($1,67$; $0,67$; $0,33$; $2,17$), calcular o resultado com decimais e depois procurar a qual fração ele se assemelha.

1. a) Desenvolva o procedimento completo segundo o método da Sara e determine o resultado exato como uma fração irredutível.
2. b) Aplique o atalho do Daniel no numerador e complete o resto da operação. Chega-se ao mesmo resultado que com o método da Sara? Justifique matematicamente por que razão é legítimo o atalho do Daniel neste caso concreto e alerte para o perigo que existiria se os períodos não fossem idênticos.
3. c) Calcule o resultado numérico que o Lucas obteria com as suas aproximações. Compare o seu valor com o resultado exato obtido nos itens anteriores e argumente por que razão o método do Lucas não é aceitável num cálculo exato.

Consideramos duas dízimas periódicas simples menores que $1$, formadas por dois algarismos no período que estão invertidos entre si: $N_1 = 0,\widehat{ab}$ e $N_2 = 0,\widehat{ba}$, onde $a$ e $b$ são algarismos distintos não nulos tais que $a > b$.

1. a) Escreva a fração geratriz de $N_1$ em função dos algarismos $a$ e $b$. Lembre-se de que o número formado por dois algarismos $ab$ equivale a $10a + b$.
2. b) Expresse a soma $N_1 + N_2$ por meio de uma única fração algébrica e demonstre que essa soma pode ser sempre simplificada de forma que o seu denominador seja $9$, independentemente de quais sejam os algarismos $a$ e $b$.
3. c) Sabe-se que a soma exata dos dois números é $N_1 + N_2 = 1,\widehat{2}$ e que a sua diferença exata é $N_1 - N_2 = 0,\widehat{27}$.

1. Formule um sistema de duas equações com duas incógnitas ($a$ e $b$) a partir das frações geratrizes desses resultados.

2. Resolva o sistema para determinar de forma unívoca os valores dos algarismos $a$ e $b$.

3. Escreva as dízimas periódicas originais $N_1$ e $N_2$ e verifique que satisfazem todas as condições iniciais.