Exercícios: Parâmetros estatísticos

Para realizar um estudo sobre os hábitos de consumo dos adolescentes em uma rede social, foram analisados os perfis de $50$ estudantes de uma escola. Classifique as seguintes variáveis estatísticas obtidas no estudo como qualitativas ou quantitativas (indicando se são discretas ou contínuas):

• a) Marca do celular utilizado.

• b) Número de "curtidas" recebidas na última publicação.

• c) Tempo total (em minutos) de uso do aplicativo durante o dia.

• d) Temática principal dos vídeos que assiste (esportes, humor, música, etc.).

Um grupo de amigos anotou o número de mensagens de WhatsApp não lidas ao final do dia. Os dados obtidos são:

Calcule a moda dessa distribuição e explique brevemente o que esse valor representa no contexto do exercício.

A tabela a seguir mostra a quantidade de livros que os alunos de uma turma do $2º$ ano leram durante o primeiro trimestre:

Calcule a média aritmética do número de livros lidos por aluno.

Sete estudantes cronometraram quanto tempo levam (em segundos) para resolver um cubo de Rubik. Os tempos registrados são:

Calcule a mediana desses tempos. Lembre-se de que você deve ordenar os dados antes.

Em uma pesquisa sobre o sabor de sorvete preferido na lanchonete da escola, foram obtidos os resultados mostrados no gráfico a seguir:

A partir do gráfico de barras, identifique qual é a moda e calcule a amplitude (ou alcance) das frequências dos sabores.

Você pode fazê-lo em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Foi medida a estatura (em centímetros) dos seis jogadores titulares de uma equipe de basquete escolar:

Calcule a mediana das estaturas. Como é um número par de dados, lembre-se de como deve proceder com os dois valores centrais.

Um jovem economiza semanalmente diferentes quantias de dinheiro. Durante as últimas $5$ semanas, suas economias foram:

• a) Calcule a média de suas economias.

• b) Calcule a mediana.

• c) Qual dos dois parâmetros você acha que representa melhor a economia "normal" desse jovem? Justifique sua resposta mencionando o efeito do valor $\text{R\$}\ 54$.

Durante uma semana de primavera, a temperatura mínima registrada numa cidade foi de $14\ ^\circ\text{C}$ (segunda-feira) e a máxima de $22\ ^\circ\text{C}$ (sábado). Calcule a amplitude térmica ou amplitude das temperaturas nesse período.

As temperaturas máximas registradas durante uma semana de abril em Salvador foram: $22$, $25$, $19$, $24$, $27$, $26$ e $21$ °C. Calcule a amplitude das temperaturas dessa semana.

As idades dos integrantes de um clube de robótica são: $12$, $13$, $12$, $14$, $13$, $12$ e $15$ anos. Calcule a média, a mediana e a amplitude das idades.

As notas das últimas $5$ provas de Inglês de Salma são: $6$, $7$, $8$, $5$ e $9$.

a) Calcule a média das notas.

b) Calcule o desvio de cada nota em relação à média (em valor absoluto) e o desvio médio.

Em duas turmas do $2.º$ ano do Ensino Fundamental, foram anotados os minutos que os alunos levam para chegar à escola. No $2.º$ A, os tempos vão de $5$ a $40$ minutos e, no $2.º$ B, vão de $15$ a $25$ minutos.

a) Calcule a amplitude dos tempos de cada turma.

b) Em qual turma os tempos são mais parecidos entre si? Por quê?

O Lucas anotou os gols marcados pelo seu time de futsal nos últimos $6$ jogos do campeonato escolar: $1$, $5$, $0$, $4$, $2$, $6$.

Para analisar o desempenho do time, o Lucas afirma em seu caderno:

«Como há $6$ dados, os dois valores do meio são o $0$ e o $4$. Portanto, a mediana é $(0 + 4) / 2 = 2$ gols. Além disso, a amplitude é $6 - 1 = 5$ gols porque o $0$ não conta como gol marcado».

a) Encontre e explique de forma fundamentada os dois erros conceituais que o Lucas cometeu.

b) Corrija o trabalho dele calculando corretamente a média aritmética, a mediana e a amplitude de gols do time.

Escreva um conjunto de $5$ números inteiros (que representam o número de livros lidos durante o último ano letivo por $5$ estudantes do $2.º$ ano do Ensino Fundamental) que cumpra simultaneamente todas estas condições:

1. A moda é $3$.

2. A mediana é $4$.

3. A média aritmética é exatamente $5$.

4. A amplitude dos dados é $6$.

Explique detalhadamente o raciocínio que você seguiu para deduzir cada um dos cinco valores e justifique se existe uma única combinação possível de números ou se poderia haver várias soluções distintas.

Um grupo de amigos anotou o número de horas semanais que dedica a jogar videogames online. Os dados obtidos são os seguintes:

$12, 15, 9, 12, 18, 20, 12, 14, 15, 10$

Calcule os parâmetros de centralização: a média aritmética ($\bar{x}$), a mediana ($Me$) e a moda ($Mo$).

Um aplicativo de saúde registrou os passos diários (em milhares) de uma adolescente durante as últimas duas semanas:

$8, 10, 12, 8, 9, 11, 15, 8, 10, 12, 14, 8, 9, 10$

Represente estes dados em uma tabela de frequências e calcule:

1. a) A amplitude (ou alcance) da distribuição.
2. b) O desvio médio ($DM$) em relação à média aritmética.

Em um treino de basquete, foi registrado o número de cestas de três pontos convertidas por cada jogador em 25 tentativas. Os resultados são mostrados no gráfico a seguir:

A partir do gráfico de barras:

1. a) Elabore a tabela de frequências absolutas.
2. b) Calcule a média, a mediana e a moda das cestas de três pontos convertidas.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Foi realizado um estudo sobre a duração da bateria (em horas) de dois modelos diferentes de smartphones, $A$ e $B$, realizando 10 testes com cada um.

Modelo $A$: $14, 15, 16, 14, 15, 16, 15, 14, 15, 16$

Modelo $B$: $10, 20, 15, 12, 18, 11, 19, 15, 14, 16$

1. a) Calcule a média de ambos os modelos. O que você observa?
2. b) Calcule a amplitude e o desvio médio de cada modelo.
3. c) Se você tivesse que comprar um com base na confiabilidade da duração, qual escolheria e por quê?

A seguir é apresentado um gráfico de caixa (box-plot) que representa as notas obtidas pelos alunos de uma turma em uma prova de recuperação:

Observe o gráfico e identifique os seguintes parâmetros de posição:

1. a) Valor mínimo e valor máximo.
2. b) Primeiro quartil ($Q_1$), Mediana ($Me$) e Terceiro quartil ($Q_3$).
3. c) Qual porcentagem de alunos obteve uma nota superior a $8$?

Aisha fez 4 provas de Matemática neste trimestre e suas notas foram: $6,5$; $8,2$; $7,4$ e $9,1$.

1. a) Qual nota média ela tem atualmente?
2. b) Se ainda falta uma última prova, qual nota Aisha deve tirar para que sua média final seja exatamente $8,0$?

Em uma pesquisa sobre a cor favorita dos alunos do 8º ano, foram obtidos os seguintes resultados:

1. a) Que tipo de variável estatística está sendo estudada?
2. b) Calcule, se possível, a média, a mediana e a moda. Caso algum parâmetro não possa ser calculado, explique fundamentadamente o porquê.

Calcule a média aritmética e a moda da seguinte distribuição de dados agrupados em intervalos, que correspondem ao peso (em kg) dos integrantes de uma equipe de judô:

Os gols marcados por uma equipe de futsal em suas últimas $5$ partidas foram: $2$, $5$, $1$, $4$ e $3$.

a) Calcule a média de gols por partida.

b) Calcule a variância e o desvio padrão, arredondando para as centésimas.

Dois jogadores de basquete anotaram em suas últimas $6$ partidas:

• Jogador A: $7$, $8$, $8$, $9$, $6$, $10$ pontos

• Jogador B: $2$, $14$, $5$, $11$, $9$, $7$ pontos

a) Verifique que ambos os jogadores têm a mesma média de pontos.

b) Calcule a amplitude das pontuações de cada um.

c) O treinador precisa de um jogador de desempenho regular para a próxima partida. Qual você escolheria? Por quê?

Duas atletas treinam os $100$ metros rasos e registram seus tempos com o relógio inteligente. Seus últimos $5$ tempos, em segundos, são:

• Mei: $13,2$; $13,0$; $13,1$; $13,2$; $13,0$

• Bea: $12,6$; $13,8$; $12,9$; $13,4$; $12,8$

a) Calcule a média e a amplitude dos tempos de cada atleta.

b) Calcule o desvio padrão de cada uma, arredondando para as centésimas.

c) O treinador deve escolher uma das duas para a final e busca regularidade. Quem você escolheria? Justifique a resposta.

As notas de $11$ alunos em uma prova foram: $5$, $7$, $3$, $8$, $6$, $9$, $4$, $7$, $5$, $6$ e $10$.

a) Ordene as notas e calcule a mediana.

b) Calcule o primeiro e o terceiro quartis.

c) Entre quais valores se concentram, aproximadamente, os $50\%$ centrais das notas?

Os diagramas de pontos mostram os pontos anotados por duas jogadoras em suas últimas $6$ partidas.

a) Calcule a média de pontos de cada jogadora.

b) Calcule a amplitude de cada uma.

c) Observando os gráficos e os cálculos, qual das duas é mais regular? Explique o que isso significa.

Para estudar a dispersão de suas notas ($5$, $6$, $7$ e $8$), um aluno subtrai a média de cada dado e obtém: $-1,5$; $-0,5$; $0,5$ e $1,5$. Como a soma dessas diferenças é $0$, ele afirma: «O desvio padrão é $0$, portanto minhas notas não se dispersam nada».

a) Explique o erro que ele cometeu em seu raciocínio.

b) Calcule corretamente o desvio padrão das quatro notas, arredondando para as centésimas.

Duas jogadoras de basquetebol de uma equipa de cadetes, a Lucía e a Marta, marcaram os seguintes pontos nos seus últimos $5$ jogos:

• Lucía: $14$, $15$, $16$, $17$, $18$

• Marta: $8$, $12$, $16$, $20$, $24$

a) Verifique rapidamente que ambas as jogadoras têm exatamente a mesma média aritmética de pontos.

b) Sem calcular ainda o desvio médio ($DM$), observe a distribuição dos dados em torno da média e estime de forma fundamentada qual das duas jogadoras terá um $DM$ maior. Aproximadamente quanto você acha que valerá o $DM$ de cada uma?

c) Calcule de forma exata a amplitude e o desvio médio ($DM$) de ambas as jogadoras.

d) Compare os seus resultados com a sua estimativa prévia e explique qual das duas jogadoras é mais regular. Por que razão, no esporte, a média por si só não basta para julgar a regularidade de um atleta?

A partir de dados meteorológicos registrados pela AEMET em uma semana de primavera, obtiveram-se as seguintes temperaturas máximas diárias (em $^\circ\text{C}$) em duas cidades espanholas:

• Santander: $15$, $17$, $16$, $18$, $14$

• Córdoba: $12$, $29$, $15$, $30$, $24$

a) Calcule, para cada uma das duas cidades, a média aritmética, a mediana e a amplitude das temperaturas máximas.

b) Calcule o desvio médio ($DM$) das temperaturas de ambas as localidades.

c) Interprete os parâmetros obtidos: se uma pessoa tiver de preparar uma mala para viajar nessa semana e apenas for informada da temperatura média, em qual das duas cidades é mais provável que passe frio ou calor imprevisto? Justifique a sua resposta indicando qual parâmetro estatístico de dispersão descreve melhor essa situação.

Um conhecido streamer está analisando as visualizações dos seus últimos 5 vídeos. A média de visualizações dos primeiros 4 vídeos é de $12\,500$ pessoas. Se ele quer que a média total dos 5 vídeos suba para $15\,000$ visualizações para atrair um novo patrocinador, quantas visualizações deve conseguir, no mínimo, no seu quinto vídeo? Explique o processo raciocinando se é possível que a mediana de visualizações seja maior do que a média neste caso.

Em uma competição de E-sports, duas equipes, o "Team Alpha" e o "Team Beta", obtiveram os seguintes tempos de resposta (em milissegundos) em um teste de reflexos. Os dados são apresentados nos seguintes gráficos de caixa (Box-plot):

Com base nos gráficos:

1. a) Qual equipe tem um tempo de resposta mediano mais baixo?
2. b) Qual das duas equipes é mais "regular" ou consistente em seus reflexos? Justifique sua resposta usando a amplitude interquartil.
3. c) Se para vencer a competição é valorizado nunca ultrapassar os $200$ ms, qual equipe tem melhores expectativas?

Um grupo de 10 amigos tem uma média de idade de exatamente $14$ anos. Ao se juntar ao grupo o irmão mais velho de um deles, a média aumenta para $15$ anos.

1. a) Calcule a idade do irmão mais velho.
2. b) Se depois se juntar uma menina de $10$ anos, qual será a nova média do grupo de 12 pessoas?
3. c) É possível que, após a entrada da menina, a mediana do grupo continue sendo $14$? Dê um exemplo das idades dos 10 amigos originais que cumpra essa condição.

Foi realizada uma pesquisa sobre o tempo diário (em minutos) que os adolescentes de uma escola passam utilizando as redes sociais. Os dados foram agrupados na seguinte tabela:

Sabendo que o tempo médio de utilização é de $57$ minutos:

1. a) Calcule o valor de $x$ (frequência absoluta do intervalo $[60, 90)$).
2. b) Determine a moda (intervalo modal) e a mediana (intervalo mediano) da distribuição.
3. c) Que porcentagem de alunos dedica $90$ minutos ou mais às redes sociais?

Duas jogadoras de basquete, Larissa e Maria, anotaram as seguintes quantidades de pontos em suas últimas 6 partidas:

• Larissa: $18, 22, 20, 19, 21, 20$

• Maria: $10, 35, 5, 40, 12, 18$

1. a) Calcule a média aritmética de pontos de cada jogadora.
2. b) Calcule a amplitude e o desvio médio de ambas.
3. c) Se o treinador busca uma jogadora confiável que garanta uma quantidade constante de pontos, mesmo que não seja muito alta, quem ele deveria escolher? Justifique sua resposta comparando a dispersão de cada uma.

O seguinte histograma mostra a distribuição das notas obtidas em uma prova de recuperação por 40 alunos. No entanto, o eixo das frequências foi parcialmente apagado.

Sabendo que o total de alunos é $40$ e que as alturas das barras são proporcionais às frequências:

1. a) Determine a frequência absoluta de cada intervalo.
2. b) Calcule a nota média estimada utilizando as marcas de classe.
3. c) Se para ser aprovado é preciso tirar $5$ e supondo que as notas se distribuem de forma uniforme dentro de cada intervalo, qual porcentagem estimada de alunos foi reprovada na prova?

Você pode fazer em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Considere um conjunto de 5 números inteiros positivos. Sabe-se que:

• A média é $10$.

• A mediana é $12$.

• A moda é $15$ e é única.

• A amplitude (alcance) é $12$.

Encontre os 5 números que formam esse conjunto. Explique os passos lógicos que você seguiu para deduzi-los.

Em uma empresa de desenvolvimento de aplicativos, os salários dos 10 funcionários são os seguintes: oito funcionários ganham $\text{R\$}\ 1\,500$ por mês, o subdiretor ganha $\text{R\$}\ 4\,000$ e o diretor ganha $\text{R\$}\ 7\,000$.

1. a) Calcule a média, a mediana e a moda dos salários.
2. b) O diretor afirma: "O salário médio em nossa empresa é de $\text{R\$}\ 2\,300$, somos muito generosos". Um funcionário responde: "A maioria de nós ganha apenas $\text{R\$}\ 1\,500$". Explique, usando os parâmetros calculados, por que ambos dizem a verdade, mas passam impressões tão diferentes.
3. c) Qual dos três parâmetros estatísticos representa melhor a realidade do que ganha um trabalhador típico dessa empresa? Justifique sua escolha.

Gabriel compara dois aplicativos de transporte para ir à escola. Nas últimas $8$ viagens, os minutos de espera foram:

• App A: $4$, $6$, $5$, $7$, $5$, $6$, $4$, $7$

• App B: $2$, $9$, $3$, $10$, $4$, $8$, $3$, $5$

a) Calcule a média de espera de cada aplicativo.

b) Calcule o desvio padrão de cada um, arredondando para as centésimas.

c) Se Gabriel dispõe de $10$ minutos exatos a cada manhã, qual aplicativo você lhe recomendaria? Raciocine a resposta usando a média e a dispersão.

Os gráficos mostram os pontos anotados por duas equipes de basquete em suas últimas $6$ partidas.

a) Calcule a média de pontos de cada equipe.

b) Calcule a amplitude e o desvio padrão de cada equipe, arredondando para as centésimas.

c) Um comentarista afirma: «As duas equipes têm o mesmo desempenho, porque têm a mesma média». Você concorda? Argumente sua resposta usando as medidas de dispersão.

As alturas de $5$ amigos são: $160$, $165$, $170$, $168$ e $162$ cm.

a) Calcule a média e a amplitude das alturas.

b) Um sexto amigo se junta ao grupo e a média não muda. Quanto mede o novo amigo?

c) Escreva duas alturas possíveis para o novo amigo que fariam aumentar a amplitude, e calcule a nova amplitude em cada caso.

O número de livros lidos neste trimestre pelos $20$ alunos de uma turma é dado por esta tabela:

a) Calcule a média de livros lidos.

b) Calcule a variância e o desvio padrão, arredondando para as centésimas.

Julgue se estas afirmações são verdadeiras ou falsas, apresentando exemplos quando conveniente:

a) Se dois conjuntos de dados têm a mesma média, eles têm a mesma dispersão.

b) O desvio padrão não pode ser negativo.

c) Se todos os dados de um conjunto são iguais, seu desvio padrão é $0$.

d) Se adicionarmos a um conjunto um dado igual à sua média, a amplitude não muda.

A tabela mostra as temperaturas médias mensais (em °C) do último ano em duas cidades litorâneas:

a) Calcule a média anual de temperatura de cada cidade.

b) Calcule a amplitude térmica de cada uma.

c) Uma família quer se mudar para uma cidade «sem temperaturas extremas». Qual você lhe recomendaria? Justifique a resposta com os dados calculados.

Numa pequena empresa de desenvolvimento de software no Brasil trabalham $8$ pessoas. Seus salários líquidos mensais (em reais) são os seguintes:

O último salário corresponde à diretora-geral e fundadora da empresa. A direção quer contratar um novo programador e redigir uma oferta indicando o «salário representativo» da equipe.

a) Calcule a média aritmética, a mediana e a moda do salário dos trabalhadores.

b) A direção propõe publicar na oferta a média aritmética, enquanto o representante sindical exige publicar a mediana. Compare os dois métodos e justifique de forma crítica qual deles reflete com maior fidelidade o salário típico da maioria dos trabalhadores.

c) Se a diretora decidir aumentar o seu salário no próximo mês para $8\,500\text{ \text{R\$}\ }$, mantendo-se os demais salários intactos, fundamente, sem fazer cálculos, qual parâmetro (entre a média e a mediana) mudará e qual permanecerá inalterado. Que propriedade fundamental da mediana essa situação demonstra?

Em um ensaio clínico realizado em um hospital espanhol, mediram-se os tempos de resposta (em milissegundos) a um estímulo em um grupo de $5$ pacientes, obtendo-se os seguintes registros:

a) Calcule a média aritmética $\bar{x}$, a amplitude e o desvio médio ($DM$) deste grupo inicial de pacientes.

b) Um sexto paciente vai ser incluído no ensaio. Que valor exato deve registrar o tempo dele para que a média aritmética do grupo se mantenha inalterada em $220\text{ ms}$? Justifique como você chegou a essa conclusão.

c) Se incluirmos esse sexto paciente com o valor obtido no item b), justifique se o novo desvio médio aumentará, diminuirá ou permanecerá igual em relação ao inicial, antes de fazer o cálculo. Em seguida, calcule o novo $DM$ para confirmar sua previsão.

d) Suponha agora que, a partir dos $5$ pacientes originais, queremos acrescentar um sexto paciente de modo que a amplitude dos tempos aumente exatamente para $35\text{ ms}$. Deduza os dois valores possíveis que o tempo desse sexto paciente poderia ter para que isso aconteça.

Desafio do tema. Como variou a temperatura máxima na sua região durante as últimas duas semanas? Transforme-se em analista climático para elaborar um relatório meteorológico real.

1. Coleta de dados: Acesse o site do INMET (ou o histórico meteorológico oficial) e anote a temperatura máxima diária ($T$) da sua localidade nos últimos $14$ dias. Defina com precisão a população, a amostra e o tipo de variável estatística.

2. Organização: Construa em uma planilha (ou no GeoGebra) uma tabela de frequências completa: frequências absolutas, relativas, porcentagens e frequências acumuladas.

3. Tratamento estatístico: Crie o gráfico mais representativo (gráfico de barras ou de linhas) e calcule as medidas de tendência central e de dispersão: média ($\bar{x}$), mediana ($Me$), moda ($Mo$) e amplitude. Escreva as casas decimais com vírgula (por exemplo, $18,5$ °C).

4. Relatório final: Redija um breve relatório fundamentado (meia página) em que você analise se a média é representativa diante de valores extremos e proponha uma medida prática de economia de energia para as famílias com base nos dados obtidos.

Será avaliado:

• Rigor na definição de conceitos e exatidão na tabela de frequências.

• Cálculo correto das medidas estatísticas ($\bar{x}$, $Me$, $Mo$, amplitude) e pertinência do gráfico.

• Capacidade crítica para interpretar os resultados e justificar a proposta final.