Exercícios: Operações com números inteiros

Em uma estação de esqui da Serra Gaúcha, o termômetro marcava $-4$ ºC às sete horas da manhã. Se ao meio-dia a temperatura subiu $9$ ºC, que temperatura o termômetro marca agora? Expresse a operação utilizando números inteiros.

Calcule as seguintes somas e subtrações simples de números inteiros:

1. a) $(+7) + (+5) =$
2. b) $(-8) + (-3) =$
3. c) $(+9) + (-4) =$
4. d) $(-6) + (+10) =$

Nadia tem $25$ reais em sua conta bancária. Se o banco lhe cobrar uma fatura de internet de $30$ reais, qual será o seu novo saldo? Expresse o resultado como um número inteiro.

Utilize a regra dos sinais para resolver estas multiplicações e divisões:

1. a) $(+4) \cdot (-3) =$
2. b) $(-5) \cdot (-2) =$
3. c) $(-20) : (+5) =$
4. d) $(-18) : (-3) =$

Um mergulhador está a uma profundidade de $-15$ metros em relação ao nível do mar. Se ele decidir descer mais $12$ metros, em que profundidade ele estará agora? Faça o desenho na reta numérica vertical.

Resolva as seguintes operações eliminando primeiro os parênteses:

1. a) $12 + (-5) =$
2. b) $8 - (+10) =$
3. c) $(-3) - (-7) =$
4. d) $(-5) + (+5) =$

Calcule o resultado destas operações combinadas simples, respeitando a ordem das operações (lembre-se: primeiro multiplicações e divisões, depois somas e subtrações):

1. a) $5 + 2 \cdot (-3) =$
2. b) $(-10) : 2 + 8 =$
3. c) $4 \cdot 3 - 15 =$

Você está no andar $2$ de um shopping center. Você sobe $3$ andares para ir à praça de alimentação e depois desce $6$ andares para chegar ao estacionamento. Em que andar fica o estacionamento? Indique cada movimento com um número inteiro.

O Marcos resolveu dois exercícios no caderno dele e cometeu erros muito comuns com os números inteiros:

• Exercício 1: Escreveu $(-7) + (-4) = +11$, justificando que «menos com menos dá mais».

• Exercício 2: Escreveu $-5^2 = 25$, justificando que «qualquer número elevado ao quadrado dá positivo».

1. a) Explique de forma fundamentada ao Marcos qual erro conceitual ele cometeu no Exercício 1, esclarecendo a diferença entre somar inteiros com o mesmo sinal e multiplicar números inteiros. Escreva a solução correta.
2. b) Explique ao Marcos por que $-5^2$ não dá o mesmo resultado que $(-5)^2$, a partir do significado da base de uma potência e da prioridade das operações. Escreva o valor correto de ambas as expressões.

No observatório meteorológico de Humaitá (Amazonas), o INMET registrou às 7:00 uma temperatura de $-7$ ºC. Ao longo do dia registraram-se as seguintes alterações consecutivas:

• Uma subida de $+11$ ºC durante a manhã.

• Uma descida de $6$ ºC no meio da tarde com a entrada de vento de sul.

• Uma descida adicional de $3$ ºC durante a noite.

1. a) Antes de calcular, faça uma estimativa: a temperatura final ao acabar a noite será positiva (acima de zero) ou negativa (abaixo de zero)? Justifique sua estimativa comparando a subida total com o efeito conjunto do frio inicial e das descidas, sem calcular ainda o valor exato.
2. b) Escreva uma única expressão com adições e subtrações de números inteiros para determinar a temperatura exata no final da noite e verifique se a sua estimativa estava correta.

Calcule o resultado das seguintes expressões numéricas, prestando atenção especial à hierarquia das operações e à regra dos sinais:

1. a) $15 - (8 - 12) + (-5) \cdot 2$

1. b) $(-3) \cdot [(-2) + (-4) \cdot (-3)]$

1. c) $24 : (-4) - (-6) : (+3)$

1. d) $(-10) + (-2) \cdot (-5) + (-20) : 5$

Uma estação meteorológica na Serra da Mantiqueira registrou as seguintes variações de temperatura ao longo de um dia de inverno:

1. Às 8:00 h, a temperatura era de $-5\ ^\circ C$.

2. Às 12:00 h, tinha subido $8\ ^\circ C$.

3. Às 18:00 h, caiu $4\ ^\circ C$ em relação à medição anterior.

4. Às 22:00 h, voltou a cair mais $6\ ^\circ C$.

Escreva uma única expressão matemática com números inteiros que reflita todas essas variações e calcule a temperatura final ao terminar o dia.

Aplique a propriedade distributiva para calcular da forma mais simples possível estas expressões (coloque o fator comum em evidência quando necessário):

1. a) $(-7) \cdot (+12) + (-7) \cdot (-2)$

1. b) $15 \cdot (-4) - 15 \cdot (+6)$

1. c) $(-10) \cdot (-3) + (-10) \cdot (+13)$

Um drone de inspeção parte de uma altura de $15$ metros sobre o nível de uma ponte. Realiza os movimentos indicados no gráfico (subidas em laranja, descidas em vermelho):

Calcule, por meio de uma soma de números inteiros, a posição final do drone em relação à ponte. Ele se encontra acima ou abaixo dela?

No extrato da conta bancária de uma loja de quadrinhos aparecem as seguintes movimentações:

• Saldo inicial: $+\text{R\$}\ 450$

• Pagamento a fornecedor: $-\text{R\$}\ 620$

• Venda de figuras de coleção: $+\text{R\$}\ 185$

• Devolução de um artigo com defeito: $-\text{R\$}\ 45$

• Recebimento por assinaturas: $+\text{R\$}\ 110$

Calcule o saldo final da conta. Se o banco cobrar uma comissão de $\text{R\$}\ 15$ caso a conta fique em números negativos (saldo menor que 0), o dono da loja terá que pagá-la?

Encontre o número inteiro que cumpre simultaneamente estas três condições:

1. Seu valor absoluto é maior que $5$ e menor que $10$.

2. Ao multiplicá-lo por $-3$, o resultado é um número positivo.

3. Se você somar o oposto dele a ele, o resultado é $0$.

Existe mais de uma solução possível? Justifique sua resposta.

Resolva as seguintes expressões numéricas com colchetes. Lembre-se de realizar primeiro o que está dentro dos parênteses:

1. a) $18 - [ 2 + (-5) - (4 - 7) ]$

1. b) $[ (-6) \cdot 2 - (-10) ] : (-2)$

1. c) $30 : [ (-4) + (-2) \cdot (-3) ]$

1. d) $(-5) \cdot [ 8 - (12 : (-3)) ]$

Uma equipe de pesquisa marinha utiliza um sonar para medir a distância entre um helicóptero de resgate e um submarino que está realizando testes de profundidade.

Se o helicóptero está a uma altura de $+120$ metros e o submarino a uma profundidade de $-85$ metros:

1. a) Qual é a distância vertical total que os separa?
2. b) Se o submarino subir $25$ metros e o helicóptero descer $30$ metros, qual será a nova distância entre eles? Expresse usando operações com números inteiros.

O estacionamento subterrâneo de uma estação de trem em Madrid tem $5$ andares abaixo do nível da rua (de $-1$ a $-5$) e o edifício de escritórios superior tem $6$ andares acima do solo (de $+1$ a $+6$). O nível da rua é o andar $0$.

Um funcionário da manutenção começa o seu dia de trabalho na rua e realiza os seguintes deslocamentos consecutivos:

1. Desce ao andar $-4$ para verificar os medidores.

2. Sobe $5$ andares para deixar material nos escritórios.

3. Desloca-se um número de andares igual ao simétrico de $+3$.

4. Finalmente, sobe o dobro do número de andares que desceu no passo anterior.

1. a) Modele todo o percurso por meio de uma única expressão combinada de números inteiros que determine o andar final do funcionário.
2. b) Resolva a expressão passo a passo e indique em que andar ele termina e se está acima ou abaixo do solo.
3. c) Se, a partir da posição final, ele tiver de ir à sala das caldeiras no andar $-5$, calcule a variação de andares por meio de uma subtração de inteiros na forma: $\text{piso de destino} - \text{piso de origem}$, e interprete o sinal do resultado obtido.

Para abrir uma caixa misteriosa numa oficina de matemática, você deve resolver dois desafios encadeados utilizando exclusivamente os números inteiros $-6$, $+4$, $-2$ e $+3$:

• Desafio 1: Utilize os quatro números exatamente uma vez cada um, juntamente com as operações que escolher ($+$, $-$, $\cdot$, $:$) e os parênteses de que precisar, para formar uma expressão combinada cujo resultado seja exatamente igual a $-12$. Escreva a expressão completa e verifique o seu resultado passo a passo.

• Desafio 2: Sem tentar combinações ao acaso, raciocine se é possível multiplicar três quaisquer desses quatro números e somar o quarto para obter um resultado estritamente positivo. Justifique a sua resposta utilizando a regra dos sinais da multiplicação e escreva, se for possível, uma combinação que cumpra essa condição com o respectivo cálculo.

Coloque os parênteses e colchetes necessários na seguinte expressão para que o resultado final seja exatamente igual a $-5$:

$-15 + 3 \cdot -4 - 12 : -6 + 1$

Uma equipe de espeleologia está explorando um abismo profundo. Eles começam na entrada (nível $0$ metros). Realizam os seguintes movimentos de forma consecutiva:

1. Descem $45$ metros.

2. Sobem $12$ metros para instalar um acampamento base.

3. Descem o triplo do que acabaram de subir.

4. Finalmente, descem mais $18$ metros até o fundo.

Escreva uma única expressão com números inteiros que reflita todo o processo e calcule a que profundidade se encontra o fundo do abismo.

Calcule o valor da seguinte expressão numérica passo a passo, respeitando rigorosamente a hierarquia das operações:

$(-2)^4 + \sqrt{25} \cdot (-3) - [(-8 + 10)^3 : (-2^2)]$

Nota: Preste atenção à diferença entre $(-2)^2$ e $-2^2$.

Em um jogo de estratégia, um jogador começa com $500$ pontos de honra. As regras são:

• Para cada batalha ganha: $+120$ pontos.

• Para cada batalha perdida: $-150$ pontos.

• Se perder três batalhas seguidas, o jogador é penalizado dobrando a pontuação negativa acumulada nessas três batalhas.

Se um jogador ganhar $2$ batalhas e depois perder $3$ batalhas seguidas, escreva a expressão numérica para calcular a pontuação final dele e resolva-a.

Encontre o número inteiro desconhecido $x$ em cada uma das seguintes igualdades:

1. a) $x \cdot (-4 + 9) = -25$

1. b) $(-30) : x + (-12) = -18$

1. c) $2 \cdot |x| = 14$ (Procure todas as soluções possíveis para $x$).

Diz-se que um "trio de inteiros" é equilibrado se a soma dos dois primeiros multiplicada pelo terceiro dá como resultado $-24$.

Determine quais dos seguintes trios são equilibrados realizando as operações correspondentes:

1. a) $(+5, -8, +8)$
2. b) $(-10, +2, +3)$
3. c) $(-4, -2, +4)$

Complete o seguinte "Muro dos Inteiros". O número de cada casa superior deve ser o resultado da multiplicação dos dois números das casas sobre as quais ele se apoia.

Invente um problema real que seja resolvido por meio da seguinte expressão matemática e, em seguida, calcule o resultado final para dar resposta ao seu problema:

$100 + 4 \cdot (-15) - 3 \cdot (10 - 4)$

Duas estudantes, a Ana e a Marta, precisam calcular o valor da seguinte expressão com números inteiros:

• A Ana aplica a prioridade habitual: realiza primeiro as duas multiplicações separadamente e depois soma os resultados obtidos.

• A Marta observa a estrutura do cálculo e aplica a propriedade distributiva no sentido inverso (colocar em evidência o fator comum): $C = (-15) \cdot (74 + 26)$.

1. a) Calcule o resultado seguindo detalhadamente o método da Ana e o método da Marta. Confirme que ambos os caminhos chegam à mesma solução.
2. b) Compare os dois métodos e justifique qual deles é mais eficiente para o cálculo mental e por que razão reduz o risco de errar nos sinais e nas operações intermediárias.
3. c) Crie uma nova operação combinada formada pela soma ou subtração de três produtos de números inteiros em que a aplicação da estratégia da Marta permita resolvê-la mentalmente em poucos segundos, sem necessidade de fazer contas longas no papel. Mostre a sua expressão e a resolução justificada.

Três números inteiros desconhecidos, $a$, $b$ e $c$, cumprem simultaneamente as três seguintes condições:

1. O seu produto é estritamente negativo: $a \cdot b \cdot c < 0$.

2. A divisão $a : b$ é exata e dá como resultado um número inteiro positivo: $a : b > 0$.

3. A soma de dois deles é zero: $a + c = 0$, sabendo ainda que $a \neq 0$.

1. a) Deduza de forma lógica e fundamentada o sinal (positivo ou negativo) de cada um dos três números ($a$, $b$ e $c$). Justifique cada passo com base no conceito de números simétricos e na regra dos sinais da multiplicação e da divisão.
2. b) Se você souber que $|b| = 2$ e que o produto dos três números é $a \cdot b \cdot c = -72$, determine os valores numéricos exatos de $a$, $b$ e $c$.
3. c) Com os valores encontrados no item anterior, calcule o resultado da seguinte operação combinada respeitando a prioridade das operações e a regra dos sinais: