Exercícios: Operações com frações

Em um lanche com amigos, foram compradas várias pizzas do mesmo tamanho, todas cortadas em 8 fatias iguais.

• Marcos comeu $\frac{3}{8}$ de uma pizza.

• Sara comeu $\frac{2}{8}$ de uma pizza.

Calcule que fração de pizza os dois comeram juntos e quantas fatias restam se apenas uma pizza tinha sido aberta.

Para um projeto de Artes, um grupo de alunos tem uma caixa com $60$ canetinhas. Se gastaram $\frac{2}{5}$ das canetinhas para fazer um mural, quantas canetinhas utilizaram no total?

Calcule as seguintes somas e subtrações de frações com o mesmo denominador, simplificando o resultado quando possível:

1. a) $\frac{5}{12} + \frac{1}{12}$

1. b) $\frac{11}{15} - \frac{4}{15}$

1. c) $\frac{7}{9} + \frac{2}{9} - \frac{4}{9}$

Uma jovem influencer dedica sua tarde a organizar seus vídeos. Gasta $\frac{1}{4}$ do tempo gravando, $\frac{1}{3}$ editando e o restante do tempo usa para responder comentários. Calcule que fração do tempo total ela dedica a gravar e editar (lembre-se de buscar um denominador comum).

Efetue as seguintes multiplicações de frações e simplifique os resultados até chegar à fração irredutível:

1. a) $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7}$

1. b) $\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5}$

1. c) $5 \cdot \frac{3}{10}$

Na cozinha de uma lanchonete querem repartir $3$ litros de suco de laranja em copos de $\frac{1}{4}$ de litro cada um. Quantos copos poderão encher completamente? Ilustre o seu raciocínio dividindo cada litro em partes. Na figura você tem os $3$ litros em três garrafas de $1$ L; você pode copiá-la para o seu caderno e dividir cada garrafa.

Resolva estas divisões utilizando o produto em cruz:

1. a) $\frac{4}{5} : \frac{2}{3}$

1. b) $\frac{1}{6} : \frac{1}{2}$

1. c) $\frac{3}{7} : 3$

Uma bateria de tablet indica que resta $\frac{7}{10}$ de carga. Se depois de ver alguns vídeos consumiu $\frac{2}{5}$ da carga total, que fração de bateria ainda resta? (Dica: transforme $\frac{2}{5}$ em uma fração com denominador $10$).

Numa festa de aniversário sobraram duas travessas com fatias de tortilha de batata do mesmo tamanho: em uma sobra $\frac{1}{2}$ de tortilha e na outra sobra $\frac{1}{4}$. O Sérgio quer calcular quanta tortilha sobra no total e escreve no caderno dele:

1. a) Sem fazer operações por escrito, explique por que o resultado do Sérgio é impossível na realidade (pense se, ao juntar comida, é lógico obter menos da metade da tortilha que já havia na primeira travessa).
2. b) Explique qual foi o erro matemático do Sérgio ao operar com as frações.
3. c) Resolva a soma corretamente, reduzindo ao denominador comum, e expresse o resultado em forma de fração irredutível.

Para preparar uma bebida isotônica no laboratório da escola, você despeja em uma jarra de $2$ litros de capacidade primeiro $\frac{4}{5}$ de litro de água mineral e, em seguida, adiciona $\frac{7}{10}$ de litro de suco de laranja.

1. a) Estime: Antes de calcular com exatidão, pense se a jarra chegará a transbordar (isto é, se a soma ultrapassará os $2$ litros) e se o volume final será maior, menor ou igual a $1$ litro e meio ($\frac{3}{2}$ de litro). Justifique a sua estimativa comparando mentalmente cada fração com a unidade ou com a metade.
2. b) Calcule: Encontre a quantidade exata de líquido na jarra somando as frações com o mínimo múltiplo comum. Expresse o resultado como fração irredutível.
3. c) Verifique: Converta a sua fração em um número decimal e verifique se confirma a sua estimativa do item a).

Para preparar um refresco tropical, um grupo de amigos mistura $\frac{3}{4}$ de litro de suco de abacaxi, $\frac{1}{3}$ de litro de suco de laranja e $\frac{5}{6}$ de litro de água com gás. Se depois de misturar tudo, bebem $\frac{2}{5}$ de litro antes de colocar na geladeira, que quantidade de refresco resta no total? Expresse o resultado simplificado em litros.

Uma plataforma de streaming divide seu catálogo de séries em três partes: $\frac{2}{5}$ são de ação, $\frac{1}{3}$ são de comédia e o restante são documentários. Se um usuário já assistiu a $\frac{3}{4}$ de todas as séries de ação disponíveis, que fração do total do catálogo representam as séries de ação que ele ainda não assistiu?

Calcule o resultado da seguinte operação combinada, respeitando a hierarquia das operações e simplificando o resultado final até obter a fração irredutível:

Um jardineiro gastou $\frac{2}{9}$ das economias que tinha para ferramentas comprando um cortador de grama e $\frac{3}{10}$ do orçamento inicial em uma tesoura de poda. Se ainda lhe restam $172$ reais em seu orçamento, quanto dinheiro ele tinha no início?

(Dica: Calcule primeiro que fração do total ele gastou somando ambas as quantidades).

Aplique as propriedades das potências e raízes para simplificar a seguinte expressão numérica:

Na oficina de tecnologia, estão sendo cortadas ripas de madeira. Temos uma ripa de $\frac{15}{2}$ metros de comprimento e queremos dividi-la em pedaços iguais que meçam $\frac{3}{4}$ de metro cada um. Quantos pedaços completos obteremos? Sobrará madeira?

Determine o valor da incógnita $x$ na seguinte igualdade de operações com frações:

Um drone decola do solo e sobe até uma altura de $12$ metros. Depois, devido a uma rajada de vento, desce $\frac{14}{3}$ de metro. Se depois volta a subir uma altura igual a $\frac{2}{5}$ da posição em que estava após a descida, a que altura do solo o drone se encontra finalmente?

Na aula de Matemática propõe-se resolver a seguinte operação combinada:

Duas colegas de turma defendem estratégias diferentes:

• A Sofia multiplica primeiro em linha os numeradores e os denominadores dos parênteses e, depois, aplica a divisão multiplicando em cruz os números grandes para simplificar apenas no fim de tudo.

• A Larissa transforma a divisão numa multiplicação pelo inverso, decompõe os números em fatores primos para simplificar fatores comuns em cima e embaixo antes de multiplicar, e calcula no fim.

1. a) Resolva a operação seguindo passo a passo o procedimento da Sofia.
2. b) Resolva a operação seguindo o procedimento da Larissa, indicando claramente como você simplifica antes de operar.
3. c) Compare os dois caminhos: qual dos dois é mais eficaz e reduz o risco de cometer erros de cálculo com números grandes? Justifique a sua resposta.

Queremos resolver um desafio de lógica com frações: encontre duas frações unitárias distintas (isto é, da forma $\frac{1}{a}$ e $\frac{1}{b}$, com numeradores iguais a $1$ e denominadores naturais diferentes) que cumpram estas duas condições simultaneamente:

1. O produto delas seja exatamente $\frac{1}{12}$.

2. A diferença entre elas (a maior menos a menor) seja exatamente $\frac{1}{12}$.

1. a) Deduza, com fundamentação, quais números devem ser $a$ e $b$, analisando os divisores do denominador comum.
2. b) Faça as operações e verifique que ambas as frações cumprem simultaneamente a condição do produto e a da subtração.
3. c) Justifique por que seria impossível que a soma de duas frações positivas desse como resultado uma fração menor do que qualquer uma das duas frações iniciais.

A editora de uma revista juvenil está analisando a procedência de seus leitores. Sabe que $\frac{2}{5}$ do total vivem no Brasil. Do restante de seus leitores, $\frac{3}{8}$ vivem em países da América Latina. Se ainda restam $1.500$ leitores que vivem no restante do mundo, quantos leitores a revista tem no total?

Calcule o resultado da seguinte operação combinada, simplificando o resultado até obter a fração irredutível:

Em um laboratório de química, um recipiente $A$ contém $\frac{3}{4}$ de litro de álcool, e um recipiente $B$ contém $\frac{2}{3}$ de litro de água. Transfere-se a metade do conteúdo do recipiente $A$ para o recipiente $B$. Que fração de litro de mistura há agora no recipiente $B$? Se depois derramam-se $\frac{1}{5}$ da mistura total de $B$, quantos litros restam nesse recipiente?

Um arquiteto está projetando uma casa sustentável. O jardim ocupa as $\frac{2}{7}$ partes do terreno total. A casa ocupa as $\frac{3}{5}$ partes da superfície restante. Se a garagem e a piscina ocupam os $120$ $m^2$ finais, qual é a superfície total do terreno?

Determine o valor da seguinte expressão com potências e raízes de números racionais. Lembre-se de aplicar a hierarquia das operações e simplificar ao máximo:

Três amigos, Alba, Bruno e Carla, compram uma pizza gigante para jantar. A Alba come $\frac{1}{4}$ da pizza. O Bruno come $\frac{1}{3}$ do que sobra. A Carla come $\frac{2}{5}$ do que sobra depois que a Alba e o Bruno comem.

1. a) Que fração da pizza sobrou?

1. b) Se a pizza pesava $1,2$ kg, quantos gramas cada um comeu?

Um ciclista percorre uma etapa de $120$ km em três trechos. Na primeira hora, percorre $\frac{2}{5}$ do trajeto. Na segunda hora, devido ao cansaço, sua velocidade diminui e percorre apenas $\frac{1}{3}$ da distância que faltava cobrir. Quantos quilômetros restam para ele percorrer na terceira hora? Que fração do total representa esse último trecho?

Calcule o valor da incógnita $x$ na seguinte igualdade de operações com frações:

De acordo com os dados de gestão de uma companhia de bacia hidrográfica em Espanha, um reservatório começa o outono com uma certa reserva de água armazenada. Durante o mês de outubro, ocorrem os seguintes movimentos:

• Liberam-se $\frac{3}{8}$ da água inicial para irrigação agrícola e vazão ecológica do rio.

• Da água que resta no reservatório após a irrigação, evapora-se $\frac{1}{5}$ devido às altas temperaturas tardias.

• No final do mês, um temporal fornece um volume de água equivalente a $\frac{1}{4}$ da água que existia inicialmente no começo do mês.

Após essas alterações, o reservatório armazena exatamente $150\text{ hm}^3$ (hectômetros cúbicos) de água.

1. a) Escreva uma única expressão combinada com frações que represente a fração da água inicial que restava imediatamente antes de o temporal começar.
2. b) Determine que fração do volume inicial existe no reservatório no final de outubro.
3. c) Calcule quantos hectômetros cúbicos de água o reservatório continha no início do mês.
4. d) Justifique se, ao longo do mês, o reservatório ganhou ou perdeu água em relação ao seu nível inicial, comparando a fração obtida com a unidade.

Um trem de alta velocidade da Renfe sai de Madrid rumo a Sevilla com todos os seus lugares ocupados e faz apenas duas paradas intermediárias durante o trajeto:

• Na primeira parada (Ciudad Real), saem exatamente $\frac{1}{4}$ dos passageiros e não entra nenhum.

• Na segunda parada (Córdoba), sai uma fração desconhecida $\frac{a}{b}$ das pessoas que viajavam nesse momento no trem e também não entra ninguém.

• O trem chega ao seu destino final em Sevilla com $120$ passageiros, o que representa exatamente $\frac{2}{5}$ do total de passageiros que iniciaram a viagem em Madrid.

1. a) Deduza quantos passageiros havia no total no trem ao sair de Madrid.
2. b) Calcule quantas pessoas viajavam no trem logo após sair da parada de Ciudad Real.
3. c) Que fração da lotação inicial de Madrid representaram os passageiros que saíram em Córdoba?
4. d) Determine o valor da fração desconhecida $\frac{a}{b}$, isto é, que fração dos passageiros que estavam nesse momento no trem saiu em Córdoba. Expresse o resultado como fração irredutível e justifique cada passo.

Desafio do tema. Como a sua casa gerencia os recursos? Transforme-se em auditor ambiental analisando o consumo de água da sua casa e comparando-o com dados oficiais.

1. Coleta de dados: Consulte no site do INE o consumo médio de água na Espanha (aprox. $133$ litros por pessoa por dia) ou anote a leitura do hidrômetro da sua casa durante dois dias consecutivos para calcular o gasto diário real.

2. Frações e racionais: Estime e classifique a distribuição da água por atividades (chuveiro, descarga, cozinha, limpeza). Expresse cada uso como uma fração do total e simplifique-a até obter a sua fração irredutível, justificando que ela pertence ao conjunto dos números racionais ($\mathbb{Q}$). Obtenha ainda duas frações equivalentes para cada caso, ampliando os valores.

3. Cálculo com decimais: Em uma planilha, sabendo que o preço médio do $m^3$ ($1000$ litros) é de $1,97$ reais, opere com decimais para calcular o custo diário de cada uso e a conta estimada de um mês ($30$ dias).

4. Proposta fundamentada: Redija um relatório breve propondo um plano para reduzir $2/15$ do consumo e calcule com decimais a economia mensal em reais.

Será valorizado:

• A obtenção rigorosa de frações irredutíveis e equivalentes a partir de dados reais.

• A correção nas operações combinadas com números decimais.

• A organização clara dos dados na planilha e a viabilidade da proposta.