Exercícios: Superfície

Para um projeto de arte, Lucas precisa de uma cartolina que mede exatamente $2.400 \text{ cm}^2$. Ao ir à papelaria, o atendente lhe diz que as medidas vêm expressas em decímetros quadrados. Quantos $\text{dm}^2$ Lucas deve pedir para o seu projeto?

Calcule a área da seguinte figura sombreada contando os quadrados da malha. Tenha em mente que cada quadrado pequeno representa uma superfície de $1 \text{ m}^2$. Expresse o resultado final em decâmetros quadrados ($\text{dam}^2$).

No mundo da agricultura são utilizadas unidades especiais. Relacione cada medida do Sistema Internacional com a sua unidade agrária correspondente:

1. a) $1 \text{ hm}^2$
2. b) $1 \text{ dam}^2$
3. c) $1 \text{ m}^2$

I. Are ($a$)

II. Hectare ($ha$)

III. Centiare ($ca$)

Uma prefeitura decidiu criar um parque central de $5 \text{ hectáreas}$. Se eles querem instalar uma área de brinquedos que ocupe $1.500 \text{ m}^2$, quantos metros quadrados ficarão disponíveis para árvores e caminhos no restante do parque?

Selecione a unidade de medida mais adequada para expressar a superfície dos seguintes objetos:

1. a) A tela de um smartphone.
2. b) Um campo de futebol da Série A.
3. c) A superfície do Brasil.
4. d) O piso do seu quarto.

(Opções: $km^2$, $hm^2$, $m^2$, $cm^2$)

Um agricultor tem três terrenos com as seguintes áreas:

• Terreno A: $0,45 \text{ hm}^2$

• Terreno B: $5.200 \text{ m}^2$

• Terreno C: $48 \text{ dam}^2$

Ordene os terrenos do menor para o maior em área, comparando as medidas em $\text{m}^2$.

Expresse na forma incomplexa (utilizando uma única unidade), em metros quadrados, a seguinte medida de superfície expressa na forma complexa:

$3 \text{ dam}^2$, $25 \text{ m}^2$ e $75 \text{ dm}^2$

Em um condomínio, vai-se pavimentar uma área comum quadrada que mede $10 \text{ metros}$ de lado. Serão utilizadas lajotas quadradas de $1 \text{ dm}^2$ de superfície cada uma. Quantas lajotas serão necessárias para cobrir toda a área?

O Mateo quer trocar o piso do seu quarto e precisa descobrir quantos decímetros quadrados mede um tapete de $3,5\text{ m}^2$. No caderno dele, está escrita a seguinte resolução: «Como de metros a decímetros se desce um degrau na escada, multiplica-se por $10$; portanto, $3,5\text{ m}^2 = 35\text{ dm}^2$».\na) Identifique o erro que o Mateo cometeu e explique com suas palavras (apoiando-se no conceito geométrico de um quadrado de $1\text{ m}$ de lado) por que nas unidades de superfície não se multiplica nem se divide por $10$.\nb) Corrija o cálculo e encontre a medida real do tapete em decímetros quadrados.

A prefeitura de uma cidade vai renovar o piso de uma sala de exposições de $60\text{ m}^2$ utilizando placas quadradas de $50\text{ cm}$ de lado.\na) Antes de operar com fórmulas, faça uma estimativa fundamentada: se cada placa mede meio metro de lado, de quantas placas você precisa para cobrir um único metro quadrado ($1\text{ m}^2$)? A partir desse dado, estime mentalmente quantas placas serão necessárias no total para a sala.\nb) Calcule a área de uma placa em metros quadrados ($m^2$) e obtenha a quantidade exata de placas necessárias.\nc) Compare o resultado exato com a sua estimativa inicial e justifique se a sua estimativa era coerente e útil.

Uma prefeitura está planejando a criação de um novo parque periurbano. Eles compraram três terrenos vizinhos cujas áreas estão expressas em unidades diferentes:

• Terreno A: $0,052\text{ km}^2$

• Terreno B: $140\text{ dam}^2$

• Terreno C: $8.500\text{ m}^2$

Expresse a área total do futuro parque em hectares ($ha$).

A tela de um novo modelo de tablet tem dimensões de $250\text{ mm}$ de altura por $160\text{ mm}$ de largura. O fabricante afirma que a área útil da tela é de exatamente $4\text{ dm}^2$. A afirmação do fabricante é verdadeira? Justifique sua resposta realizando os cálculos necessários em $\text{cm}^2$.

Um incêndio florestal afetou uma área da serra. As notícias indicam que foram queimados $12\text{ km}^2$ e $45\text{ hm}^2$ de floresta. Para organizar o reflorestamento, os técnicos florestais precisam saber a superfície afetada em ares ($a$) e centiares ($ca$). Faça a conversão para ambas as unidades.

Queremos trocar o piso de uma cozinha que tem formato retangular e mede $420\text{ cm}$ de comprimento por $3\text{ m}$ de largura. Se vamos utilizar ladrilhos quadrados de $20\text{ dm}^2$ de área cada um:

1. a) Calcule a área total da cozinha em $\text{m}^2$.
2. b) De quantos ladrilhos precisaremos para cobrir todo o piso?

Ordene da maior para a menor as seguintes superfícies de parques naturais brasileiros, convertendo todas previamente para uma mesma unidade (a que você preferir):

• Parque A: $12.400.000\text{ m}^2$

• Parque B: $1.350\text{ ha}$

• Parque C: $128\text{ km}^2$

• Parque D: $1.250.000\text{ dam}^2$

Um agricultor tem uma propriedade de $3\text{ ha}$, $5\text{ a}$ e $25\text{ ca}$. Ele decide vender uma parte do seu terreno para a construção de uma estrada. A parte vendida mede exatamente $4.200\text{ m}^2$. Qual superfície da propriedade, expressa de forma complexa (hectares, ares e centiares), resta ao agricultor?

Em uma planta em escala de um shopping center, o corredor central é representado por um retângulo que tem uma área de $450\text{ cm}^2$. Se sabemos que na realidade esse corredor ocupa $0,18\text{ dam}^2$:

1. a) Expresse ambas as quantidades em $\text{dm}^2$.
2. b) Quantas vezes a área real é maior que a área da planta?

Calcule a área da seguinte figura irregular decompondo-a em quadrados e retângulos. Cada quadrado da malha do fundo representa uma superfície de $100\text{ cm}^2$. Expresse o resultado final em decímetros quadrados ($\text{dm}^2$).

Nos relatórios de emergências florestais no Brasil, os dados de área queimada costumam ser registrados combinando o sistema métrico decimal e as unidades agrárias. Após um foco de incêndio em um município de Mato Grosso, os técnicos ambientais emitiram o seguinte relatório com dois focos detectados:\n- Foco A: afetou uma superfície de $0,045\text{ km}^2$.\n- Foco B: afetou uma área de $380\text{ ares}$.\na) Converta a superfície de cada foco para metros quadrados ($m^2$) e calcule a superfície total queimada expressa em hectares ($ha$).\nb) Nos telejornais, costuma-se traduzir essas catástrofes para «campos de futebol oficiais» (cuja superfície média padrão é de cerca de $0,7\text{ ha}$). A quantos campos de futebol inteiros equivale aproximadamente a área total devastada? Avalie de forma crítica se essa comparação ajuda a população a dimensionar o dano ambiental.

Uma cooperativa agrícola dispõe de um terreno retangular com uma área total de $1,2\text{ ha}$ e uma largura de $80\text{ m}$. Os sócios decidem organizar o terreno em três setores:\n- O setor de oliveiras ocupará exatamente $50\,\%$ do terreno.\n- O setor de horta ocupará $45\text{ ares}$.\n- O espaço restante será destinado a um reservatório de irrigação e a um galpão de equipamentos agrícolas.\na) Calcule o comprimento total do terreno em metros.\nb) Determine a área que o reservatório de irrigação e o galpão irão ocupar, expressando o resultado tanto em metros quadrados ($m^2$) quanto em centiares ($ca$).\nc) Se o setor de horta for desenhado aproveitando toda a largura do terreno ($80\text{ m}$), quantos metros de comprimento essa zona deve medir?

A prefeitura disponibilizou um terreno para hortas urbanas escolares com uma extensão de $0,12 \text{ km}^2$ e $5,4 \text{ hm}^2$. Para aproveitar melhor o terreno, eles o dividem em parcelas de $60 \text{ áreas}$ cada uma. Se cada uma dessas parcelas produz uma média de $850 \text{ kg}$ de hortaliças por ano e o preço médio de mercado das hortaliças é de $0,75 \text{ \text{R\$}\ /kg}$, calcule o valor total da produção de todo o terreno em uma colheita.

Para a construção de um novo shopping center, foi cercado um terreno retangular que mede $2,4 \text{ hm}$ de comprimento e $150 \text{ m}$ de largura. A prefeitura exige dedicar $25 \%$ da superfície total a áreas verdes e outros $15 \%$ a estacionamentos. Se o restante for dividido em lojas comerciais de $120 \text{ m}^2$ de superfície média, quantas lojas poderão ser construídas no total?

Um artista quer cobrir a fachada lateral de um edifício com painéis solares quadrados de $50 \text{ cm}$ de lado. A fachada é um retângulo de $12 \text{ m}$ de altura e $3,5 \text{ dam}$ de comprimento, mas é preciso descontar 8 janelas simétricas que medem $150 \text{ dm}^2$ cada uma. Calcule o número total de painéis solares que ele precisa comprar para cobrir toda a superfície disponível da fachada.

Em um plano de reflorestamento após um incêndio, vai-se trabalhar sobre uma superfície de $14 \text{ ha}, 5 \text{ a}$ e $20 \text{ ca}$. Os engenheiros florestais decidiram que se deve plantar uma árvore a cada $12 \text{ m}^2$ de terreno. Se o custo de cada muda é de $\text{R\$}\ 4,80$ e a mão de obra custa $\text{R\$}\ 250$ por cada decâmetro quadrado trabalhado, qual será o orçamento total necessário para o reflorestamento?

Um designer gráfico está criando um logotipo sobre uma chapa metálica. O logotipo consiste em um quadrado central de $4 \text{ dm}^2$ de área. Ao redor desse quadrado, ele adiciona quatro quadrados menores cujos lados medem metade do lado do quadrado central. Expresse a superfície total do logotipo em milímetros quadrados e em decímetros quadrados utilizando apenas a forma irredutível.

Um mapa de um parque natural tem uma escala tal que $1 \text{ cm}^2$ no papel representa $2.500 \text{ m}^2$ na realidade. Se o parque tem uma forma irregular que ocupa $480 \text{ cm}^2$ no mapa, calcule sua superfície real em hectares, ares e centiares (forma complexa). Se um incêndio destruir $0,4 \text{ km}^2$ do parque, qual porcentagem da superfície total ficou a salvo?

O piso de um ginásio poliesportivo de $12,5 \text{ dam}^2$ de superfície vai ser reformado. Foram compradas caixas de ladrilhos de alta resistência, em que cada caixa contém material para cobrir $2,5 \text{ m}^2$ e custa $\text{R\$}\ 45$. Além do custo do material, a empresa instaladora cobra $\text{R\$}\ 18$ por metro quadrado instalado. A quanto equivale o valor total da fatura se for comprado $5 \%$ a mais de material do que o necessário para compensar o que é desperdiçado em cortes e quebras?

Calcule a superfície total da seguinte figura composta por peças metálicas. A peça principal é um retângulo de $0,8 \text{ m}$ por $15 \text{ cm}$, à qual foram soldadas em cada um de seus quatro vértices abas quadradas de $25 \text{ mm}$ de lado. Além disso, no centro foi feito um orifício circular cuja superfície é de $450 \text{ mm}^2$. Expresse o resultado final em centímetros quadrados arredondando para as unidades.

Para pavimentar uma pracinha com a forma de «L», o departamento de obras dispõe de um esboço com esquinas perpendiculares e as seguintes medidas: uma base total de $60\text{ m}$, uma altura total de $40\text{ m}$ e uma esquina reentrante vazia que mede $25\text{ m}$ de largura por $15\text{ m}$ de profundidade.\nDois técnicos da prefeitura debatem como calcular a sua superfície em hectares ($ha$):\n- Método da Laura (aditivo): Decompor a figura em dois retângulos interiores que não se sobrepõem, calcular a área de cada um em $\text{m}^2$, somá-las e converter o total para hectares.\n- Método do Carlos (subtrativo): Calcular a área do retângulo completo que envolveria toda a figura ($60\text{ m} \times 40\text{ m}$), subtrair a área do vão retangular que não faz parte da praça e converter o resultado final para hectares.\na) Aplique detalhadamente ambos os métodos e verifique se conduzem exatamente ao mesmo resultado.\nb) Analise e justifique qual dos dois métodos requer menos operações e apresenta menor risco de erro ao interpretar as medidas que faltam.\nc) Um terceiro técnico propõe transformar todas as medidas dos lados em hectômetros ($hm$) antes de multiplicar para obter diretamente os hectares. Justifique se este terceiro caminho é mais ou menos vantajoso na hora de realizar as operações com decimais.

Uma empresa projeta instalar uma usina de energia solar fotovoltaica no Pantanal. A legislação ambiental regional exige que, para proteger a fauna local, pelo menos um terço ($1/3$) da superfície total da propriedade seja mantido intacto como corredor ecológico, sem qualquer construção.\nO memorial técnico do projeto indica que os painéis solares ocuparão $180\text{ dam}^2$, enquanto as vias de acesso, inversores e a subestação de transformação ocuparão uma superfície de $60\text{ ares}$.\na) Modele matematicamente a situação e calcule a superfície mínima total que a propriedade deve ter (expressa em hectares, $ha$) para que o projeto cumpra rigorosamente a legalidade ambiental.\nb) Se o preço de mercado do solo rural nessa zona for de $\text{R\$}\ 12\,500$ por hectare, qual será o desembolso mínimo que a empresa responsável pelo projeto terá de fazer para adquirir a propriedade?\nc) Se um agricultor da zona propuser a venda de uma propriedade contígua de $0,032\text{ km}^2$, determine de forma fundamentada se essa propriedade é suficiente para realizar o projeto ou se deve ser rejeitada.