Exercícios: Comprimento

No estudo da matemática e da física, é fundamental distinguir entre o que medimos e a unidade que utilizamos. Classifique os seguintes conceitos em seu caderno conforme sejam uma grandeza ou uma unidade de medida:

• Comprimento

• Metro ($m$)

• Centímetro ($cm$)

• Largura de uma mesa

• Quilômetro ($km$)

• Distância entre duas cidades

Para medir com precisão, devemos escolher a unidade mais adequada. Indique qual unidade do Sistema Métrico Decimal ($mm$, $cm$, $m$ ou $km$) você utilizaria para medir os seguintes objetos:

1. a) O comprimento de um clipe de papel.
2. b) A altura do seu melhor amigo ou amiga.
3. c) A distância que um ônibus escolar percorre entre duas cidades.
4. d) A espessura da tela de um celular de última geração.

O Sistema Métrico Decimal é decimal porque cada unidade é $10$ vezes maior que a anterior. Complete as seguintes igualdades convertendo para a unidade indicada:

1. a) $7\text{ m} = \dots\dots\dots\text{ dm}$
2. b) $25\text{ cm} = \dots\dots\dots\text{ mm}$
3. c) $1,5\text{ m} = \dots\dots\dots\text{ cm}$
4. d) $0,8\text{ dm} = \dots\dots\dots\text{ mm}$

Quando medimos distâncias grandes, usamos os múltiplos do metro. Realize as seguintes conversões:

1. a) $3.000\text{ m} = \dots\dots\dots\text{ km}$
2. b) $450\text{ m} = \dots\dots\dots\text{ hm}$
3. c) $12\text{ dam} = \dots\dots\dots\text{ m}$
4. d) $0,5\text{ km} = \dots\dots\dots\text{ hm}$

Três amigos comparam o comprimento dos cabos dos seus fones de ouvido para ver qual é o mais comprido. As medidas são:

• Marcos: $1,2\text{ m}$

• Júlia: $125\text{ cm}$

• Hugo: $11,5\text{ dm}$

Expresse todas as medidas em centímetros e ordene-as de menor para maior usando o símbolo $<$.

Uma etapa de uma trilha pela Serra da Mantiqueira está dividida em dois trechos. O primeiro trecho mede $3\text{ km y } 450\text{ m}$, e o segundo trecho mede $2.100\text{ m}$. Quantos quilômetros mede a etapa completa?

Sara está projetando uma capa para o seu tablet. Ela usa uma régua e observa que o comprimento do tablet é de $24,5\text{ cm}$. Se ela quer colocar uma borda de proteção de $5\text{ mm}$ em cada uma das duas extremidades do comprimento, qual será o comprimento total da capa em centímetros?

Calcule o perímetro (a soma de todos os seus lados) de uma quadra de futsal cujas medidas são $40\text{ m}$ de comprimento e $200\text{ dm}$ de largura. Expresse o resultado final em metros.

(Dica: Lembre-se de que, para somar medidas, todas devem estar na mesma unidade).

O Mateo precisa cortar uma tira de madeira para um projeto de Tecnologia e precisa de exatamente $4\text{ m e } 5\text{ cm}$. Para anotar a medida no caderno em uma única unidade (forma incomplexa em metros), ele escreve diretamente $4,5\text{ m}$.\na) Explique de maneira fundamentada por que a anotação do Mateo está incorreta, apoiando-se no valor posicional de cada algarismo no sistema métrico decimal.\nb) Qual é a expressão correta em metros da medida de que ele precisa?\nc) Que comprimento real, em centímetros, a tira teria se o Mateo cortasse os $4,5\text{ m}$ que anotou por erro? Calcule a diferença em centímetros entre o que ele precisa e o que cortaria.

Numa escola querem instalar um rodapé protetor numa das salas de aula do 1.º ano do Ensino Básico (7.º ano). A sala é retangular e mede $82\text{ dm}$ de comprimento e $580\text{ cm}$ de largura. A porta de entrada mede $9\text{ dm}$ de largura e, obviamente, não levará rodapé.\na) Antes de calcular com exatidão, estima mentalmente quantos metros de rodapé serão necessários arredondando as medidas das paredes ao metro mais próximo. Achas que bastará comprar um lote padrão de $25\text{ m}$ de rodapé? Justifica a tua resposta.\nb) Exprime todas as dimensões em metros e calcula o comprimento exato de rodapé necessário.\nc) Compara a tua estimativa prévia com o resultado exato e explica se a estimativa inicial foi suficiente para tomar uma decisão na compra.

Três amigos estão comparando as distâncias que percorreram esta manhã treinando para uma corrida solidária. Ana diz que correu $4,2 \text{ km}$, Marcos afirma ter feito $38 \text{ hm}$ e $15 \text{ dam}$, e Sofia registrou em seu relógio inteligente um total de $4.050 \text{ m}$.

Ordene os três amigos da maior para a menor distância percorrida, expressando todas as medidas em metros para poder compará-las.

Um drone de entregas realiza um trajeto dividido em três etapas. Na primeira etapa, percorre uma distância de $1 \text{ km}$ e $25 \text{ m}$. Na segunda, voa $85 \text{ hm}$ e $7 \text{ dam}$. Na última etapa, percorre mais $450 \text{ m}$.

Calcule a distância total do trajeto, expressando o resultado em uma única unidade, em quilômetros.

Em uma loja de tecnologia, as telas dos monitores são medidas pelo comprimento de sua diagonal em polegadas. Sabemos que $1 \text{ pulgada} = 2,54 \text{ cm}$.

Se comprarmos um monitor cuja diagonal mede $27 \text{ pulgadas}$, qual é a sua medida aproximada em milímetros?

Um carpinteiro tem uma ripa de madeira de $3 \text{ m}$ de comprimento. Ele precisa cortar pedaços de $35 \text{ cm}$ cada um para fazer as pernas de banquinhos.

1. a) Quantos pedaços completos de $35 \text{ cm}$ ele poderá obter da ripa?
2. b) Quantos milímetros de madeira vão sobrar depois de fazer os cortes?

O perímetro de um circuito de karts mede $0,85 \text{ km}$. Durante uma corrida, um piloto completou $12$ voltas no circuito.

Calcule a distância total percorrida pelo piloto e expresse-a em forma complexa (utilizando quilômetros, hectômetros e decâmetros).

Um biólogo está estudando o crescimento de uma raiz ao microscópio. No primeiro dia, a raiz media $12 \text{ mm}$. Após uma semana, a raiz mede $4,5 \text{ cm}$.

Quantos micrômetros ($\mu m$) a raiz cresceu no total durante essa semana? (Lembre-se de que $1 \text{ mm} = 1.000 \mu m$).

Para instalar a fibra óptica em um edifício, são necessários $3$ rolos de cabo de $1,2 \text{ hm}$ cada um. Se o técnico já usou $245 \text{ m}$ de cabo, quantos decâmetros de cabo ainda restam?

Uma formiga percorre a borda de uma mesa retangular que mede $1,2 \text{ m}$ de comprimento e $80 \text{ cm}$ de largura. Se a formiga der $5$ voltas completas ao redor da borda da mesa:

1. a) Quantos metros ela percorre no total?
2. b) Expresse o resultado anterior em hectômetros.

Na prova de salto em distância da semana esportiva da escola, o Hugo registrou uma marca de $3\text{ m e } 8\text{ cm}$, enquanto a sua colega Daniela conseguiu um salto de $2\text{ m, } 7\text{ dm e } 5\text{ cm}$. Para descobrir por quanto o Hugo superou a marca da Daniela, o professor propõe três caminhos possíveis:\n- Método A: Converter ambas as marcas para metros usando números decimais e subtrair.\n- Método B: Expressar ambas as medidas em centímetros como números inteiros e subtrair.\n- Método C: Operar diretamente na forma complexa, subtraindo unidades da mesma ordem ($3\text{ m} - 2\text{ m}$, etc.) e transformando unidades quando necessário.\na) Resolva a subtração utilizando o Método A e o Método B, verificando que você obtém o mesmo resultado.\nb) Analise as vantagens e desvantagens dos três métodos e justifique qual deles você considera mais recomendável para evitar erros de cálculo neste caso concreto.

O livro de itinerário oficial de uma etapa ciclística que percorre estradas de montanha marca uma distância total prevista de $164,8\text{ km}$. O percurso divide-se em quatro setores:\n- Setor 1 (largada e plano): $42\text{ km e } 600\text{ m}$.\n- Setor 2 (subida de montanha): $185\text{ hm}$.\n- Setor 3 (vale): $6.400\text{ dam}$.\n- Setor 4 (subida final até a linha de chegada): comprimento pendente de confirmação.\nDevido a obras imprevistas no vale, a organização precisa acrescentar um desvio obrigatório de $3.250\text{ m}$ dentro do Setor 3.\na) Apresente as operações necessárias em uma mesma unidade para determinar o comprimento original do Setor 4 antes das obras, e escreva o resultado na forma complexa utilizando quilômetros e metros.\nb) Modele o comprimento definitivo que terá a etapa completa após incorporar o desvio, expressando o resultado final em hectômetros ($hm$).

Um clube de caminhada está projetando uma nova rota circular na Serra da Mantiqueira. No mapa (escala $1:25.000$), a rota se divide em três trechos: o primeiro mede $12,4$ $cm$, o segundo $85$ $mm$ e o terceiro $0,06$ $dm$. Se um caminhante anda a uma velocidade constante e cada um de seus passos mede exatamente $75$ $cm$, calcule quantos passos dará para completar a rota inteira na realidade. Expresse também a distância total da rota em hectômetros ($hm$).

Em um laboratório de nanotecnologia, um cientista observa uma fibra sintética cuja espessura é de $450$ nanômetros ($nm$). Para um experimento, precisa colocar essas fibras lado a lado até cobrir uma distância de $0,27$ milímetros ($mm$). Sabendo que $1$ micrômetro ($\mu m$) são $1.000$ $nm$ e que $1$ $mm$ são $1.000$ $\mu m$, quantas fibras o cientista deverá colocar? Se cada fibra custasse $0,002$ reais, qual seria o custo total da amostra?

Antigamente na Espanha utilizava-se a "vara castelhana", que equivale aproximadamente a $83,59$ $cm$. Um agricultor lê em um documento antigo que seu terreno tem uma fachada de $120$ varas. Para cumprir a norma atual, deve instalar uma cerca que custa $15,50$ reais o metro linear. No entanto, a cada $5$ decâmetros ($dam$) de cerca, a loja dá um desconto de $10\%$ sobre o preço desses metros. Quanto dinheiro custará cercar a fachada completa do seu terreno?

Um drone de competição percorre um circuito com formato de hexágono irregular. Os comprimentos de seus lados são: $0,15$ $km$, $2,4$ $hm$, $35$ $dam$, $1.200$ $dm$, $8.500$ $cm$ e $95.000$ $mm$. O drone deve completar um total de $15$ voltas no circuito. Qual é a distância total que o drone percorrerá em quilômetros? Se a bateria do drone dura o suficiente para percorrer $185$ hectômetros, ele conseguirá terminar todas as voltas ou ficará sem bateria antes? Justifique sua resposta com cálculos.

Um livro didático de Matemática tem uma espessura total (sem contar as capas) de $2,4$ $cm$. Se o livro tem exatamente $400$ páginas ($200$ folhas), qual é a espessura de uma única folha expressa em micrômetros ($\mu m$)? Sabendo que um fio de cabelo humano tem uma espessura média de $0,08$ $mm$, quantos fios de cabelo humano seriam necessários empilhar para igualar a espessura de uma única folha deste livro?

Uma designer de produtos da escola precisa contornar $12$ bandeirolas circulares idênticas com uma fita decorativa. O contorno de cada bandeirola é de $37,5$ decímetros ($dm$). A fita é vendida em rolos de $0,5$ hectômetros ($hm$).

1. a) Quantos rolos completos a designer deve comprar no mínimo para não faltar fita?
2. b) Uma vez terminadas as $12$ bandeirolas, quantos centímetros de fita vão sobrar no total?
3. c) Se cada metro de fita custa $1,20$ reais, qual é o preço de um rolo completo?

A distância entre duas cidades, A e B, é de $145,6$ $km$. No ponto médio exato da estrada que as une, há uma placa que indica a distância a uma terceira cidade C, situada a $34.500$ metros desse ponto médio. Se um carro viaja de A para B e para quando já percorreu $820$ hectômetros ($hm$):

1. a) A que distância se encontra da cidade B?
2. b) A que distância se encontra da placa que indica o caminho para a cidade C?

Expresse todos os resultados em metros.

Um satélite artificial orbita a Terra a uma altura constante de $350$ $km$. No entanto, devido ao atrito com a atmosfera, a cada dia perde $450$ metros de altura.

1. a) A que altura em quilômetros o satélite se encontrará após $3$ semanas de órbita?
2. b) Se o satélite deixa de funcionar quando cai abaixo dos $330$ $km$ de altura, quantos dias completos poderá estar operacional?
3. c) Expresse a altura inicial do satélite em uma forma complexa utilizando quilômetros, hectômetros e metros.

Uma parcela comunitária tem a forma de um quadrilátero e o seu perímetro total mede exatamente $0,15\text{ km}$. Não conhecemos todas as medidas diretas, mas dispõe-se dos seguintes dados:\n- O lado $A$ mede $35\text{ m e } 40\text{ dm}$.\n- Os quatro lados medem uma quantidade exata e inteira de metros.\n- O lado $D$ tem um comprimento que, expresso em decâmetros ($dam$), é um número inteiro exato, e sabe-se que mede mais de $20\text{ m}$ mas menos de $45\text{ m}$.\n- O lado $B$ mede exatamente o dobro do lado $C$.\na) Deduza de forma fundamentada qual é o único comprimento possível para o lado $D$, descartando as opções que não cumpram todas as condições.\nb) A partir do valor encontrado para $D$, calcule a medida exata dos lados $B$ e $C$, e exprima-as na forma complexa combinando decâmetros e metros.\nc) Verifique que a soma dos quatro lados reproduz com exatidão o perímetro inicial em quilômetros.

Uma equipe do Instituto Geográfico Nacional está sinalizando uma trilha de montanha de $14,4\text{ km}$ de comprimento total entre dois refúgios. Por motivos de segurança e visibilidade diante da neblina, instalam-se marcos de pedra ao longo do caminho seguindo estas normas:\n- Trecho baixo (os primeiros $4\text{ km e } 8\text{ hm}$): o caminho é largo e coloca-se um marco a cada $120\text{ m}$.\n- Trecho intermediário (desde o fim do trecho baixo até o ponto quilométrico $11,2\text{ km}$ da trilha): coloca-se um marco a cada $8\text{ dam}$.\n- Trecho alto de cume (desde o ponto quilométrico $11,2\text{ km}$ até o fim da trilha): a vereda é pedregosa e coloca-se um marco a cada $2.500\text{ cm}$.\nColoca-se um marco no início da trilha ($0\text{ m}$), outro em cada mudança de trecho e outro no refúgio final.\na) Calcule o comprimento exato de cada um dos três trechos expresso em metros.\nb) Determine o número total de marcos que serão necessários para sinalizar toda a trilha do início ao fim.\nc) Um dos caminhantes afirma: «Como o trecho alto de cume é o mais curto dos três em distância, com certeza é o trecho onde menos marcos há para carregar e colocar». Analise de forma crítica e numérica se a afirmação dele é verdadeira ou falsa, justificando qual grandeza tem maior influência no resultado.