Exercícios: Retas

No desenho a seguir de uma estrada reta, identifique que nome recebe cada um dos elementos marcados.

Indique qual é um segmento, qual é uma semirreta e qual representa uma reta completa.

Observe o plano destas ruas. Indique qual é a posição relativa (paralelas, secantes ou perpendiculares) dos seguintes pares de ruas:

• Rua A e Rua B.

• Rua B e Rua C.

• Rua A e Rua C.

Classifique os seguintes ângulos segundo a sua abertura. Indique se são agudos, retos ou obtusos:

• $\alpha = 45^\circ$

• $\beta = 120^\circ$

• $\gamma = 90^\circ$

Dois ângulos são complementares se a soma deles é $90^\circ$. Se o ângulo $\alpha$ mede $35^\circ$, quanto deve medir o ângulo $\beta$ para que sejam complementares?

Um radar de navegação gira um total de $5^\circ$ a cada segundo. Expresse este movimento em minutos sexagesinais ($'$). Lembre-se de que $1^\circ = 60'$.

Determine o valor do ângulo $\hat{X}$ na figura a seguir sabendo que os dois ângulos são suplementares (somam $180^\circ$).

Desenhe no seu caderno uma reta $r$ e um ponto $P$ que não pertença a ela. Utilizando o seu esquadro e compasso, trace uma reta $s$ que passe por $P$ e seja paralela a $r$. Quantas retas paralelas a $r$ podem passar por esse ponto $P$?

Você pode fazer isso em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Quando duas retas se cortam, os ângulos opostos pelo vértice são iguais. Observe a figura e, sem usar o transferidor, indique quanto mede o ângulo $\hat{A}$ e quanto mede o ângulo $\hat{B}$.

Um grupo de amigos está projetando um novo circuito de skate em um terreno baldio. Para isso, traçaram no chão várias linhas que representam as bordas das rampas. Observe o plano que desenharam e responda às perguntas sobre a posição relativa das linhas:

1. a) Indique um par de linhas que sejam paralelas entre si.
2. b) Encontre duas linhas que sejam secantes mas não perpendiculares.
3. c) Identifique uma linha que seja perpendicular à linha $s$.
4. d) Se a linha $t$ e a linha $u$ nunca se cruzam, por mais que as prolonguemos, que relação geométrica elas têm?

Uma câmera de segurança de um shopping center tem um ângulo de visão total de $110^\circ$. O técnico de manutenção decide dividir este ângulo em duas zonas: a Zona A, que cobre as lojas, e a Zona B, que cobre os corredores.

Se a Zona A mede $64^\circ 35' 50''$, calcule a medida exata (em graus, minutos e segundos) que a Zona B deve ter para cobrir o resto do campo de visão.

Em um jogo eletrônico de estratégia, um raio laser ricocheteia em uma superfície metálica. Sabe-se que o ângulo de incidência $\alpha$ e o ângulo de reflexão $\beta$ são iguais.

Se o ângulo total que formam o raio de entrada e o de saída é de $115^\circ 20'$, calcule quanto mede o ângulo $\alpha$. Em seguida, indique se o ângulo suplementar de $\alpha$ é agudo, reto ou obtuso.

Estamos analisando a estrutura de uma estante moderna. As prateleiras horizontais são paralelas entre si e estão atravessadas por um suporte inclinado.

Sabendo que o ângulo $\hat{1}$ mede $124^\circ$, utilize as propriedades dos ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal para calcular, sem usar transferidor, a medida dos ângulos $\hat{2}, \hat{3}$ e $\hat{4}$. Justifique cada resposta (por serem opostos pelo vértice, correspondentes, alternos internos, etc.).

Um relógio de parede marca 15:40.

1. a) Calcule o ângulo que o ponteiro das horas e o dos minutos formam. Leve em consideração que o ponteiro das horas se desloca um pouco conforme os minutos avançam.
2. b) Como você classificaria esse ângulo segundo a sua abertura (agudo, reto, obtuso ou raso)?

Na planta de um parque infantil, quer-se colocar um poste de luz que esteja exatamente à mesma distância do escorregador ($T$) e dos balanços ($C$). A figura mostra a posição de ambos e a distância que os separa.

1. a) Que nome recebe a linha imaginária onde deveriam estar todos os pontos que cumprem essa condição?

1. b) Se a distância entre o escorregador e os balanços é de $12$ metros e você coloca o poste de luz no ponto médio do segmento $TC$, a que distância estará o poste de cada um deles?

1. c) Desenhe no seu caderno um esquema do segmento $TC$ e da sua mediatriz.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Duas avenidas principais de uma cidade cruzam-se formando um ângulo de $72^\circ 15'$. Deseja-se construir uma rua de pedestres que divida esse ângulo exatamente ao meio.

1. a) Como se chama tecnicamente a linha que representa essa rua de pedestres?
2. b) Calcule o valor do ângulo que a nova rua formará com cada uma das avenidas.
3. c) Que tipo de ângulo é o resultado (agudo, reto ou obtuso)?

Observe a figura a seguir onde são mostrados vários ângulos relacionados. Sabemos que as retas $m$ e $n$ são paralelas. Se o ângulo $\hat{A} = 48^\circ$, calcule fundamentadamente o valor dos ângulos $\hat{B}$ e $\hat{C}$.

Um satélite de comunicações orbita a Terra e realiza três medições de giro angular para corrigir sua trajetória. A primeira rotação é de $42^\circ \ 35' \ 48''$. A segunda rotação é o dobro da primeira. Se no final do dia o satélite tiver de ter girado um ângulo total correspondente a um ângulo raso completo para ficar alinhado com a base terrestre, quanto deve medir a terceira rotação? Expresse o resultado em forma complexa (graus, minutos e segundos).

No projeto de uma estrutura metálica para um telhado, há duas vigas principais paralelas, $r$ e $s$. Uma terceira viga transversal $t$ corta-as formando um ângulo obtuso de $135^\circ \ 20'$. Decide-se instalar um reforço que coincida exatamente com a bissetriz do ângulo agudo formado pelo cruzamento das vigas $s$ e $t$. Que ângulo esse reforço formará com a viga $r$ na parte interna da estrutura? Raciocine se os ângulos serão alternos internos ou correspondentes.

Foram desenhadas quatro retas secantes em um plano de tal forma que cada uma corta todas as outras, mas nunca três retas passam pelo mesmo ponto.

1. a) Qual é o número máximo de pontos de interseção que podem se formar?
2. b) Em quantas regiões fica dividido o plano?

Desenhe um esquema que represente isso e justifique a sua resposta contando as regiões.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

O ângulo $\alpha$ é tal que o seu suplementar mede o triplo do seu complementar.

1. a) Escreva uma igualdade lógica utilizando os conceitos de ângulo complementar ($90^\circ - \alpha$) e suplementar ($180^\circ - \alpha$).
2. b) Calcule o valor do ângulo $\alpha$.
3. c) Como você classificaria o ângulo $\alpha$ segundo a sua abertura?

Um arquiteto está desenhando uma praça com forma de triângulo escaleno cujos vértices são três fontes situadas nos pontos $A$, $B$ e $C$ (a figura mostra um esquema da praça). Quer colocar um poste de luz num ponto $P$ que cumpra duas condições:

1. Que esteja à mesma distância da fonte $A$ que da fonte $B$.

2. Que esteja à mesma distância da rua que une $A$ com $C$ que da rua que une $B$ com $C$.

Que construções geométricas (mediatriz, bissetriz, etc.) o arquiteto deve realizar para encontrar o ponto exato do poste de luz? Explique a propriedade dos pontos dessas retas que justifica a sua resposta.

Calcule o ângulo exato que formam os ponteiros de um relógio analógico quando marca 03:40.

Dica: Considere que o ponteiro das horas não fica fixo no 3, mas avança proporcionalmente enquanto o ponteiro dos minutos se desloca.

1. a) Quantos graus avança o ponteiro das horas a cada minuto que passa?

1. b) Calcule a posição, em graus, de ambos os ponteiros em relação às 12:00 e determine a diferença.

Consideram-se dois ângulos adjacentes, $\widehat{AOB}$ e $\widehat{BOC}$, que compartilham o lado $OB$ e cujos outros lados $OA$ e $OC$ formam uma linha reta (ou seja, $A$, $O$ e $C$ estão alinhados e os dois ângulos somam $180°$). Traçam-se as bissetrizes $OX$ do ângulo $\widehat{AOB}$ e $OY$ do ângulo $\widehat{BOC}$.

Demonstre, realizando o cálculo passo a passo, quanto mede o ângulo $\widehat{XOY}$ formado por ambas as bissetrizes. Este resultado depende da medida individual dos ângulos iniciais? Justifique a sua resposta.

Dada uma reta $r$ e um ponto exterior $P$, sabemos que só existe uma reta paralela a $r$ que passa por $P$.

Imagine agora que temos três retas paralelas entre si ($r, s, t$) e duas retas transversais ($m, n$) que não são paralelas entre si.

1. a) Qual é o número total de ângulos que se formam nos pontos de interseção?
2. b) Se todos os ângulos agudos formados pela reta $m$ com as paralelas medem $70^\circ$, e os ângulos agudos formados pela reta $n$ com as paralelas medem $55^\circ$, calcule o ângulo que as retas $m$ e $n$ formam entre si.