Ejercicios: Intervalos

En el diseño de componentes electrónicos, la tolerancia de voltaje de un sensor está definida por el conjunto de valores reales $x$ que cumplen la siguiente condición de desigualdad:

$-3 \leq x < 4,5$

Expresa este conjunto de valores utilizando la notación de intervalo e indica de qué tipo de intervalo se trata (abierto, cerrado o semibierto).

Dada la siguiente representación gráfica sobre la recta real, escribe el conjunto resaltado en notación de intervalo y en notación de conjunto (usando desigualdades).

Un servidor de datos de una empresa tecnológica mantiene su temperatura óptima de funcionamiento en el intervalo dado por $I = (-10, 35]$. Representa este intervalo en la recta real y determina si los siguientes valores de temperatura pertenecen al conjunto:

• $a = -10$

• $b = 0$

• $c = 35$

• $d = 35,1$

Expresa mediante un único intervalo el resultado de la siguiente unión de conjuntos:

$A = (- \infty, 2) \cup [0, 6]$

Apóyate en una representación gráfica si lo consideras necesario.

Determina la intersección de los siguientes intervalos de números reales:

$I_1 = [-3, 4]$

$I_2 = (0, + \infty)$

Escribe el resultado final tanto en forma de intervalo como de desigualdad.

En el estudio de límites, es fundamental el concepto de entorno reducido. Si tenemos el entorno $E(3; 0,5)$, que representa todos los números reales cuya distancia al centro $3$ es menor que $0,5$:

1. a) Escribe este conjunto en forma de intervalo.
2. b) Escribe el entorno reducido $E^*(3; 0,5)$, es decir, el mismo conjunto pero excluyendo el punto central.

Relaciona cada valor absoluto con su intervalo correspondiente:

1. $|x| \leq 3$

2. $|x| < 5$

3. $|x - 2| \leq 1$

Intervalos disponibles:

• $A = ( -5, 5)$

• $B = [ -3, 3]$

• $C = [ 1, 3]$

Escribe en forma de intervalo el dominio de definición de una función que solo acepta valores positivos de $x$ menores o iguales que $100$, pero excluyendo el valor exacto $x = 25$ debido a una singularidad técnica. Expón el resultado como una resta de conjuntos o como una unión de dos intervalos.

En una prueba de evaluación, Lucía debe hallar el complementario en $\mathbb{R}$ del intervalo de temperaturas de conservación de un fármaco, dado por el conjunto $A = [-8, 2)$. Lucía escribe en su examen:

y argumenta: «El complementario consiste en dar la vuelta a los corchetes y paréntesis: como el $-8$ estaba cerrado, lo pongo abierto; como el $2$ estaba abierto, lo mantengo abierto; y en el infinito pongo corchete porque incluye todos los números que vienen a continuación».

1. a) Identifica y explica de forma razonada los dos errores conceptuales que ha cometido Lucía en el resultado (en el extremo $2$ y en el símbolo $+\infty$). Además, comenta si el extremo $-8$ de su resultado es correcto y si la regla de «dar la vuelta» que usa es válida.

1. b) Escribe la expresión correcta del complementario en forma de unión de intervalos.

El Servicio Nacional de Meteorología e Hidrología (SENAMHI) activa el aviso por calor en una provincia de Santa Cruz cuando la temperatura máxima $T$ (en $^\circ\text{C}$) se encuentra en el intervalo $I_{\text{AEMET}} = [39, 44)$. Por su parte, la normativa laboral de un sector fija la suspensión de trabajos pesados al aire libre si la temperatura es de al menos $41,5\,^\circ\text{C}$, lo que corresponde a la semirrecta $I_{\text{trabajo}} = [41,5, +\infty)$.

1. a) Determina el intervalo de temperaturas en el que coinciden simultáneamente el aviso del SENAMHI y la suspensión laboral ($I_{\text{AEMET}} \cap I_{\text{trabajo}}$). Justifica si este intervalo es abierto, cerrado o semiabierto.
2. b) Expresa mediante una semirrecta o unión de intervalos el rango térmico en el que está activa al menos una de las dos medidas ($I_{\text{AEMET}} \cup I_{\text{trabajo}}$), y razona si dicho conjunto está acotado superiormente o inferiormente.
3. c) Determina el supremo y el ínfimo de $I_{\text{AEMET}}$, indicando razonadamente si coinciden con su máximo o su mínimo.

En el laboratorio de física, un sensor de precisión mide el diámetro de una pieza metálica. El sistema de control acepta piezas cuyo diámetro $x$ (en mm) cumple la siguiente condición de tolerancia expresada mediante un valor absoluto:

Representa gráficamente esta situación en la recta real y expresa el conjunto de valores admitidos en forma de intervalo y como un entorno $E(a; r)$.

Puedes apoyarte en esta recta, donde solo se ha marcado el centro de la tolerancia, $12$. Complétala en tu cuaderno: señala los extremos, sombrea los valores admitidos e indica el radio.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Calcula la intersección y la unión de los siguientes conjuntos de números reales. Expresa el resultado final utilizando la notación de intervalos:

$A = \{x \in \mathbb{R} : -2 \leq x < 5\}$

$B = \{x \in \mathbb{R} : |x - 3| \leq 4\}$

Para estudiar la continuidad de una función en el punto $x = 3$, necesitamos trabajar en un entorno reducido de dicho punto con un radio de $0,1$ unidades.

1. a) Escribe la definición de dicho conjunto utilizando la notación $E^*(a, r)$.

1. b) Exprésalo mediante una desigualdad que incluya un valor absoluto.

1. c) Represéntalo como la unión de dos intervalos abiertos.

Dada la función racional $f(x) = \frac{1}{x^2 - 9}$, determina su dominio de definición y exprésalo como una unión de intervalos. Posteriormente, indica si el valor $x = 3,0001$ pertenece a un entorno de centro $3$ y radio $\delta = 0,001$.

Un dron de vigilancia debe mantener una altitud de vuelo $h$ (en metros) de modo que su distancia a la altura de seguridad de $100$ metros sea siempre inferior a $5$ metros, pero por motivos de turbulencias, no puede volar exactamente a $100$ metros.

Expresa la condición de la altura $h$ mediante:

1. a) Un entorno reducido.
2. b) Una desigualdad con valor absoluto.
3. c) Una unión de intervalos.

En la definición formal de límite, cuando decimos que $\lim_{x \to 2} f(x) = 5$, afirmamos que para todo $\varepsilon>0$ existe un $\delta>0$ tal que, si $0<|x-2|<\delta$, entonces $|f(x)-5|<\varepsilon$. Tomamos $\varepsilon = 0,2$, que determina un entorno de $5$ en el eje $Y$. La gráfica muestra la función $f(x) = 2x + 1$ y el punto de la curva con $x = 2$.

1. a) Determina el intervalo correspondiente al entorno $E(5; 0,2)$.

1. b) Si sabemos que la función es $f(x) = 2x + 1$, encuentra el intervalo de valores de $x$ en el eje $X$ cuyas imágenes caen dentro del intervalo obtenido en el apartado anterior.

Dados los intervalos $I = (-\infty, 4]$ y $J = (-2, +\infty)$, realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en notación de intervalos y de forma gráfica:

1. a) $I \cap J$
2. b) $I \cup J$
3. c) $\mathbb{R} - (I \cap J)$

Determina el conjunto de valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad cuadrática, expresando el resultado como un intervalo o unión de intervalos:

¿Es este conjunto un entorno de algún número real? Justifica tu respuesta calculando el centro y el radio si fuera posible.

Se desea diseñar la expresión algebraica de una función real $f(x)$ que modele la respuesta de un sensor y combine una raíz cuadrada, un logaritmo y un denominador de la forma:

de modo que su dominio exacto de definición sea el conjunto $D = (3, 4) \cup (4, 9]$.

1. a) Deduce de manera justificada qué valores numéricos deben tomar las constantes reales $a$ y $k$.
2. b) Demuestra paso a paso que la intersección de las tres restricciones analíticas (radicando de índice par mayor o igual que cero, argumento del logaritmo estrictamente positivo y denominador no nulo) da exactamente como resultado el conjunto $D$.
3. c) Indica el supremo, el ínfimo, el máximo y el mínimo del conjunto $D$ (o justifica cuáles de ellos no existen).

Considera la función real $g(x) = \sqrt{x^2 - 9} + \frac{1}{\ln(7 - x)}$.

1. a) Estima: antes de resolver inecuaciones formales, analiza por simple inspección los valores enteros $x = -4$, $x = 0$, $x = 3$, $x = 6$ y $x = 7$. Justifica cuáles de ellos no pueden pertenecer al dominio (señalando qué restricción incumplen) y cuáles sí. A partir de esta prueba, conjetura si la semirrecta de valores muy negativos, $(-\infty, -3]$, formará parte del dominio.
2. b) Comprueba: determina formalmente el dominio de $g(x)$ planteando y resolviendo la intersección de las tres condiciones analíticas (radicando $\ge 0$, argumento del logaritmo $> 0$ y denominador $\ne 0$). Expresa el resultado final en notación de intervalos.
3. c) Valora: compara el dominio exacto obtenido con tu estimación inicial y explica por qué el extremo $3$ se incluye con corchete mientras que el extremo $6$ queda excluido con paréntesis.

Determina el conjunto de valores reales $x$ que satisfacen simultáneamente la siguiente inecuación racional y el intervalo definido por el valor absoluto. Expresa el resultado final en forma de intervalo o unión de intervalos:

En el diseño de una pieza de precisión para un telescopio, el radio de curvatura $R$ debe pertenecer al dominio de la siguiente función para asegurar la estabilidad estructural. Halla dicho dominio y exprésalo como unión de intervalos:

$f(R) = \sqrt{\frac{\ln(R^2 - 8)}{R - 4}}$

Se define un entorno del punto $a = 3$ mediante la expresión $|x - 3| < \delta$. Determina el valor máximo de $\delta$ para que todos los puntos $x$ de dicho entorno cumplan que sus cuadrados, $x^2$, se encuentren a una distancia menor de $0,5$ del valor $9$. Es decir, resuelve la implicación:

Halla el conjunto de soluciones de la siguiente inecuación con valores absolutos anidados. Representa la solución sobre la recta real y especifica si se trata de un conjunto acotado, indicando, en caso afirmativo, su supremo e ínfimo:

Determina el valor del parámetro real $k > 0$ para que la intersección de los conjuntos $A$ y $B$ sea un intervalo de longitud exactamente igual a $3$ unidades, siendo:

Pista: expresa $A$ y $B$ como intervalos de la recta real y estudia, según el valor de $k$, cómo queda $A \cap B$.

Un sensor de control térmico en una planta de procesamiento de biomasa opera correctamente siempre que la temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) cumpla la condición $T \in [90, 150]$. Si la temperatura del proceso evoluciona temporalmente según la función $T(t) = t^2 - 20t + 175$, donde $t$ es el tiempo en minutos ($t \geq 0$), determina los intervalos de tiempo durante los cuales el sensor detecta una temperatura fuera de su rango de operación.

Sean los conjuntos $S_1$ y $S_2$ definidos por las siguientes condiciones. Calcula de forma exacta el conjunto resultante de la operación $(S_1 \cup S_2)^c$ (complementario de la unión):

Considera la función $g(x) = \log_2\left( |x^2 - 1| - 2 \right)$.

1. a) Determina el conjunto de valores reales de $x$ para los que la función no está definida.

1. b) Expresa dicho conjunto como un intervalo o como una unión de intervalos.

1. c) Clasifica cada intervalo obtenido como abierto, cerrado o semiabierto.

Para calcular el dominio de la función $h(x) = \sqrt{\ln\left(\frac{3x - 12}{x + 2}\right)}$, dos estudiantes proponen caminos distintos:

• Estrategia 1 (intersección sistemática): resolver por separado la condición del logaritmo, $\frac{3x - 12}{x + 2} > 0$, obteniendo el conjunto $S_1$; resolver después la condición del radicando, $\ln\left(\frac{3x - 12}{x + 2}\right) \geq 0 \iff \frac{3x - 12}{x + 2} \geq 1$, obteniendo el conjunto $S_2$; y finalmente calcular $S_1 \cap S_2$.

• Estrategia 2 (implicación lógica): argumentar que si una expresión cumple $\frac{3x - 12}{x + 2} \geq 1$, entonces necesariamente es mayor que cero, por lo que la condición del logaritmo queda absorbida por la del radicando y basta resolver directamente $\frac{3x - 12}{x + 2} \geq 1$ vigilando que $x + 2 \neq 0$.

1. a) Evalúa razonadamente si la Estrategia 2 es matemáticamente rigurosa o si encierra el peligro de omitir soluciones o puntos conflictivos.
2. b) Aplica la estrategia que consideres más eficiente para obtener el dominio de $h(x)$ en forma de intervalos.
3. c) Halla el complementario en $\mathbb{R}$ del dominio obtenido y determina si dicho complementario es un conjunto acotado, indicando su supremo e ínfimo si existen.

En una planta química de Tarragona, la estabilidad de una reacción depende de la presión $x$ (en bar) a través del índice analítico:

El protocolo de seguridad exige que la planta opere únicamente dentro del dominio de definición matemática de $S(x)$ y, además, fuera del intervalo de resonancia mecánica $R = [3,5; 4,8]$.

1. a) Determina el conjunto admisible de presiones (el dominio de $S(x)$) mediante la intersección razonada de las condiciones sobre la raíz cuadrada, el argumento del logaritmo y el denominador. Expresa el resultado como unión de intervalos.
2. b) Determina el conjunto operativo seguro $C = \text{Dom}(S) \setminus R$. Presta especial atención al carácter abierto o cerrado de cada extremo resultante y justifica por qué cada uno de ellos queda incluido o excluido.
3. c) Demuestra si el conjunto $C$ está acotado superior e inferiormente. Determina de forma justificada su supremo, su ínfimo y razona si alguno de ellos alcanza la categoría de máximo o mínimo de $C$.