Ejercicios: El trabajo

El trabajo que realiza una fuerza constante sobre un cuerpo que se desplaza es $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F \cdot d \cdot \cos \alpha$, donde $\alpha$ es el ángulo que forman la fuerza y el desplazamiento. Sin hacer cálculos, indica si el trabajo es positivo, negativo o nulo en cada caso, justificándolo con el valor de $\alpha$:

1. a) La fuerza de tracción de un tractor que arrastra un remolque por un camino horizontal.
2. b) La fuerza de rozamiento que se opone al avance del remolque.
3. c) La fuerza normal que el suelo ejerce sobre el remolque.
4. d) La fuerza con la que un operario sujeta sobre su hombro una caja que está en reposo.

Un operario de un almacén empuja un palé con una fuerza horizontal constante de $250\ \text{N}$ y lo desplaza $12\ \text{m}$ por el suelo en línea recta.

1. a) ¿Qué ángulo forma la fuerza con el desplazamiento?
2. b) Calcula el trabajo que realiza el operario.

Una persona pasea a su perro tirando de la correa con una fuerza constante de $80\ \text{N}$, que forma $60^\circ$ con la horizontal, durante un tramo recto de $25\ \text{m}$ ($\cos 60^\circ = 0,5$), como se muestra en la figura.

Calcula el trabajo que realiza.

Colocas una caja de herramientas de $10\ \text{kg}$ sobre un estante situado a $2,5\ \text{m}$ del suelo (toma $g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula el peso de la caja.
2. b) Calcula el trabajo que realiza el peso durante la subida. Recuerda que el peso apunta hacia abajo y el desplazamiento, hacia arriba.
3. c) ¿Qué trabajo realizas tú contra el peso, como mínimo?

Un viajero empuja su carrito de maletas por la terminal de un aeropuerto, en línea recta y sobre un suelo horizontal.

1. a) Razona, usando la expresión $W = F \cdot d \cdot \cos \alpha$, por qué el trabajo de la fuerza normal y el trabajo del peso son nulos durante el trayecto.
2. b) Si el viajero ejerce una fuerza horizontal de $18\ \text{N}$ durante $100\ \text{m}$, ¿qué trabajo realiza?

Al arrastrar un sofá $8\ \text{m}$ por el suelo de un salón, la fuerza de rozamiento cinético vale $35\ \text{N}$.

1. a) ¿Qué ángulo forma la fuerza de rozamiento con el desplazamiento?
2. b) Calcula el trabajo que realiza el rozamiento e interpreta su signo.

El teorema de las fuerzas vivas establece que el trabajo neto realizado sobre un cuerpo es igual a la variación de su energía cinética: $W_{neto} = \Delta E_c = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 - \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_0^2$. Una bola de demostración de $2\ \text{kg}$ aumenta su velocidad de $3\ \text{m/s}$ a $5\ \text{m/s}$ sobre una mesa de aire.

1. a) Calcula su energía cinética inicial y su energía cinética final.
2. b) ¿Cuánto vale el trabajo neto realizado sobre la bola?

El trabajo que realiza una fuerza sobre un cuerpo que se desplaza se calcula como $W = F \cdot d \cdot \cos \alpha$, donde $\alpha$ es el ángulo que forman la fuerza y el desplazamiento. Tiras de un carrito con la misma fuerza y durante la misma distancia en tres casos: con la cuerda horizontal ($\alpha = 0^\circ$), formando $45^\circ$ y formando $90^\circ$ ($\cos 0^\circ = 1$; $\cos 45^\circ \approx 0,71$; $\cos 90^\circ = 0$). La figura muestra los tres casos.

Ordena los tres trabajos de mayor a menor y justifícalo con la fórmula.

Un operario empuja un palé con una fuerza horizontal de $150\ \text{N}$ y lo desplaza $8\ \text{m}$ por el suelo del almacén. Calcula el trabajo que realiza.

Colocas una caja de libros de $8\ \text{kg}$ en la repisa superior de un armario, a $1,5\ \text{m}$ del suelo (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) ¿Qué fuerza tienes que vencer, como mínimo, para subirla?
2. b) ¿Qué trabajo realizas contra el peso?

El motor de una cinta transportadora de un centro de paquetería realiza un trabajo de $18000\ \text{J}$ en $60\ \text{s}$. La potencia se calcula como $P = W/t$. Calcula la potencia del motor, en vatios.

Un niño tira de un carro con una cuerda que forma $60^\circ$ con la horizontal, ejerciendo una fuerza de $200\ \text{N}$, y lo arrastra $10\ \text{m}$ ($\cos 60^\circ = 0,5$), como se muestra en la figura.

Calcula el trabajo realizado.

Clasifica las siguientes unidades según midan trabajo (o energía) o potencia, y explica el criterio que has usado:

1. a) $\text{J}$
2. b) $\text{W}$
3. c) $\text{N} \cdot \text{m}$
4. d) $\text{kWh}$
5. e) $\text{kW}$

Para arrastrar un piano $3\ \text{m}$ por el suelo del escenario se ha realizado un trabajo de $900\ \text{J}$. ¿Con qué fuerza media horizontal se ha empujado? Despeja antes la fuerza de la fórmula del trabajo.

En una gymkana, un alumno arrastra una caja de libros $15\ \text{m}$ por el suelo horizontal del gimnasio empujando con una fuerza horizontal de $120\ \text{N}$, mientras el rozamiento cinético se opone con $40\ \text{N}$, como se muestra en la figura.

1. a) Calcula el trabajo que realiza el alumno.
2. b) Calcula el trabajo del rozamiento (recuerda que es negativo: $\alpha = 180^\circ$).
3. c) Calcula el trabajo del peso y el de la normal, justificando sus valores.
4. d) Halla el trabajo neto sobre la caja.

Para cargar una nevera de $60\ \text{kg}$ en una furgoneta se empuja por una rampa de $3\ \text{m}$ que forma $20^\circ$ con la horizontal ($\sen 20^\circ \approx 0,34$; toma $g = 10\ \text{m/s}^2$), como se muestra en la figura.

1. a) Calcula la componente del peso paralela a la rampa.
2. b) Calcula el trabajo que realiza el peso durante la subida.
3. c) ¿Qué trabajo mínimo, contra esa componente del peso, debe realizar quien empuja?

Un musher tira del trineo de su equipo con una cuerda que forma $37^\circ$ con la horizontal, ejerciendo una fuerza constante de $100\ \text{N}$ durante $50\ \text{m}$ ($\sen 37^\circ \approx 0,6$; $\cos 37^\circ \approx 0,8$). El rozamiento con la nieve se opone con $30\ \text{N}$.

1. a) Calcula el trabajo que realiza el musher.
2. b) Calcula el trabajo del rozamiento.
3. c) Halla el trabajo neto sobre el trineo.

Una grúa de obra baja una viga de $500\ \text{kg}$ desde $8\ \text{m}$ de altura hasta el suelo, con velocidad constante (toma $g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula el trabajo que realiza el peso durante la bajada.
2. b) Calcula el trabajo que realiza la tensión del cable.
3. c) ¿Cuánto vale el trabajo neto? Relaciónalo con el hecho de que la velocidad sea constante, usando el teorema de las fuerzas vivas.

Un turismo de $1200\ \text{kg}$ acelera desde el reposo hasta $108\ \text{km/h}$ al incorporarse a una autovía.

1. a) Expresa la velocidad final en $\text{m/s}$.
2. b) Calcula la variación de la energía cinética del turismo.
3. c) ¿Qué trabajo neto han realizado las fuerzas que actúan sobre el coche? Exprésalo en $\text{kJ}$.

Un coche de $1000\ \text{kg}$ que circula a $20\ \text{m/s}$ frena hasta detenerse en una distancia de $50\ \text{m}$, en un tramo horizontal.

1. a) Calcula la variación de la energía cinética durante el frenado.
2. b) Aplicando el teorema de las fuerzas vivas, halla el trabajo de la fuerza neta de frenado.
3. c) ¿Cuánto vale, de media, esa fuerza neta de frenado? Indica su sentido.

Un bombero de $80\ \text{kg}$ con su equipo sube por una escalera de incendios desde el suelo hasta una terraza situada $18\ \text{m}$ más arriba (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula el trabajo que realiza el peso durante la subida.
2. b) Calcula el trabajo que realiza el bombero contra el peso.
3. c) Si en lugar de la escalera hubiera subido por una rampa más larga hasta la misma terraza, ¿cómo cambiaría ese trabajo? Justifícalo.

Un montañero y su mochila suman $75\ \text{kg}$ y ascienden $720\ \text{m}$ de desnivel en $1,5\ \text{h}$ (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) ¿Qué fuerza vence al subir?
2. b) ¿Qué trabajo realiza contra el peso?
3. c) ¿Qué potencia media desarrolla? Recuerda pasar el tiempo a segundos.

Aitana corta el césped empujando el cortacésped con una fuerza de $80\ \text{N}$ aplicada sobre el manillar, que forma $30^\circ$ con la horizontal ($\cos 30^\circ \approx 0,87$), y recorre $20\ \text{m}$ de pradera, como se muestra en la figura.

1. a) Calcula el trabajo realizado.
2. b) ¿Qué trabajo habría realizado empujando en horizontal con la misma fuerza? ¿A qué se debe la diferencia?

Una taladradora tiene una potencia de $600\ \text{W}$ y está funcionando $2\ \text{min}$ ($1\ \text{kWh} = 3,6\cdot10^{6}\ \text{J}$).

1. a) Expresa el tiempo en segundos.
2. b) Calcula el trabajo (la energía) que ha realizado.
3. c) Expresa esa energía en $\text{kWh}$.

Un operario empuja un contenedor $12\ \text{m}$ por el suelo de una nave con una fuerza horizontal de $80\ \text{N}$, mientras el rozamiento se opone con $45\ \text{N}$, como se muestra en la figura. Recuerda que el trabajo de una fuerza que se opone al desplazamiento es negativo ($\alpha = 180^\circ$, $\cos 180^\circ = -1$).

1. a) Calcula el trabajo que realiza el operario.
2. b) Calcula el trabajo que realiza el rozamiento.
3. c) ¿Cuál es el trabajo neto sobre el contenedor?

La bomba de depuración de una piscina tiene una potencia de $750\ \text{W}$ y funciona $8\ \text{h}$ al día ($1\ \text{kWh} = 3,6\cdot10^{6}\ \text{J}$).

1. a) Calcula la energía que consume al día, en julios.
2. b) Exprésala en $\text{kWh}$, la unidad en la que factura la compañía eléctrica.

Una grúa eleva una viga de acero de $25\ \text{kg}$ hasta $12\ \text{m}$ de altura, a velocidad constante (toma $g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) ¿Qué fuerza ejerce el cable?
2. b) ¿Qué trabajo realiza la grúa?

El motor de un toldo de terraza tiene una potencia de $40\ \text{W}$ y tarda $15\ \text{s}$ en recogerlo.

1. a) ¿Qué trabajo realiza?
2. b) Si el toldo sube $1,5\ \text{m}$, ¿qué fuerza media ejerce el motor?

Dos niños arrastran el mismo trineo $50\ \text{m}$ por la nieve, como se muestra en la figura. El primero tira con la cuerda horizontal, con una fuerza de $60\ \text{N}$; el segundo tira con la cuerda formando $60^\circ$ con la horizontal, con una fuerza de $100\ \text{N}$ ($\cos 60^\circ = 0,5$).

1. a) Calcula el trabajo de cada uno.
2. b) ¿Quién realiza más trabajo? ¿Por qué el segundo no aprovecha toda su fuerza?

Una caja de $25\ \text{kg}$ parte del reposo sobre el suelo horizontal de una nave, donde el coeficiente de rozamiento cinético es $\mu = 0,2$. Se la empuja con una fuerza horizontal constante de $100\ \text{N}$ durante $12\ \text{m}$ (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$), como se muestra en la figura.

1. a) Calcula la fuerza de rozamiento cinético, $F_{roz} = \mu \cdot N$, teniendo en cuenta que en un suelo horizontal la normal es $N = m \cdot g$.
2. b) Calcula el trabajo de cada una de las fuerzas (empuje, rozamiento, peso y normal) y el trabajo neto.
3. c) Aplica el teorema de las fuerzas vivas para hallar la velocidad de la caja al final de los $12\ \text{m}$.

Se sube un bloque de $10\ \text{kg}$ por un plano inclinado $30^\circ$ sin rozamiento, tirando con una fuerza $\vec{F}$ paralela al plano, de modo que el bloque asciende con velocidad constante a lo largo de $5\ \text{m}$ ($\sen 30^\circ = 0,5$; toma $g = 10\ \text{m/s}^2$), como se muestra en la figura.

1. a) Calcula el valor de $F$ para que la velocidad sea constante.
2. b) Calcula el trabajo de cada fuerza: la fuerza aplicada, el peso y la normal.
3. c) Halla el trabajo neto y explica, con el teorema de las fuerzas vivas, por qué ese resultado era de esperar.

Un turismo de $1000\ \text{kg}$ circula a $20\ \text{m/s}$ por una carretera horizontal y bloquea las ruedas en un frenazo de emergencia. El coeficiente de rozamiento entre los neumáticos y el asfalto es $\mu = 0,5$ (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula la fuerza de rozamiento durante el frenazo.
2. b) Aplica el teorema de las fuerzas vivas para calcular la distancia que recorre hasta detenerse.
3. c) Razona, a partir de la expresión obtenida, qué le ocurre a la distancia de frenado si la velocidad inicial se duplica: ¿se duplica también?

Una cabina de teleférico con sus pasajeros tiene una masa total de $800\ \text{kg}$. En el trayecto de ida sube desde la estación base, a $1200\ \text{m}$ de altitud, hasta la estación cima, a $1750\ \text{m}$. Después desciende parcialmente hasta una estación intermedia situada a $1550\ \text{m}$ (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$), como se muestra en la figura.

1. a) Calcula el trabajo que realiza el peso durante la subida.
2. b) Calcula el trabajo que realiza el peso durante la bajada parcial.
3. c) Calcula el trabajo total del peso en todo el recorrido y comprueba que solo depende del desnivel neto entre el punto de partida y el de llegada. ¿Qué propiedad de la fuerza gravitatoria pone de manifiesto este resultado?

Un operario sube una caja de $25\ \text{kg}$ por una rampa de $20\ \text{m}$ que forma $37^\circ$ con la horizontal, tirando con una cuerda paralela a la rampa y con velocidad constante ($\sen 37^\circ \approx 0,6$; $\cos 37^\circ \approx 0,8$; coeficiente de rozamiento $\mu = 0,25$; toma $g = 10\ \text{m/s}^2$), como se muestra en la figura.

1. a) Calcula la normal que ejerce la rampa y la fuerza de rozamiento.
2. b) Calcula la fuerza con la que tira el operario.
3. c) Calcula el trabajo de cada fuerza (tirada, peso, rozamiento y normal) y comprueba que el trabajo neto es nulo. ¿Por qué tenía que serlo?

En una pista de hielo se lanza un disco de masa $m$ con velocidad inicial $v_0 = 10\ \text{m/s}$, y se desliza en línea recta hasta detenerse por el rozamiento ($\mu = 0,25$; toma $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Escribe la expresión del trabajo del rozamiento y, aplicando el teorema de las fuerzas vivas, obtén la distancia de parada $d$ en función de $v_0$, $\mu$ y $g$.
2. b) Calcula numéricamente esa distancia.
3. c) Razona, a partir de la expresión obtenida, si la distancia de parada depende de la masa del disco. ¿Qué implicación práctica tiene este resultado para la seguridad vial?

La cabina de un ascensor con sus ocupantes tiene una masa de $600\ \text{kg}$. Arranca desde el reposo y sube $12\ \text{m}$ con una aceleración constante de $1,2\ \text{m/s}^2$ (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula la fuerza que ejerce el cable aplicando la segunda ley de Newton: $T - m \cdot g = m \cdot a$.
2. b) Calcula el trabajo que realiza el cable y el que realiza el peso durante esos $12\ \text{m}$.
3. c) Halla el trabajo neto y, con el teorema de las fuerzas vivas, la velocidad de la cabina al cabo de los $12\ \text{m}$. Comprueba el resultado con la cinemática: $v^2 = 2 \cdot a \cdot h$.

En una competición de halterofilia, una atleta levanta una pesa de $100\ \text{kg}$ desde el suelo hasta $2\ \text{m}$ de altura en $2\ \text{s}$, la mantiene quieta sobre su cabeza durante $3\ \text{s}$ y después camina $10\ \text{m}$ en horizontal con ella hasta salir de la plataforma (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$). La figura muestra las tres fases.

1. a) ¿Qué trabajo realiza contra el peso mientras la levanta?
2. b) ¿Qué potencia desarrolla en ese levantamiento?
3. c) ¿Realiza trabajo contra el peso mientras la mantiene quieta? ¿Y mientras camina en horizontal? Justifica ambas respuestas con la definición de trabajo.

El corazón humano realiza un trabajo de unos $1,2\ \text{J}$ en cada latido ($1\ \text{kWh} = 3,6\cdot10^{6}\ \text{J}$).

1. a) Calcula su potencia media en reposo, con $60$ latidos por minuto.
2. b) ¿Cuánta energía bombea en un día completo? Exprésala en julios y en $\text{kWh}$.
3. c) Compárala con la potencia de una bombilla LED de $10\ \text{W}$ y comenta el resultado.

Un funicular de $2400\ \text{kg}$ con sus pasajeros salva un desnivel de $500\ \text{m}$ en $10\ \text{min}$ (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula el trabajo que realiza contra el peso.
2. b) Calcula su potencia media, en vatios y en kilovatios.
3. c) Si hiciera el mismo trayecto en la mitad de tiempo, ¿cómo cambiarían el trabajo y la potencia? Justifícalo.

Un piragüista arrastra su kayak $40\ \text{m}$ por la arena tirando de una cuerda que forma $45^\circ$ con la horizontal, con una fuerza de $50\ \text{N}$ ($\cos 45^\circ \approx 0,71$). El rozamiento con la arena se opone con $20\ \text{N}$.

1. a) Calcula el trabajo que realiza el piragüista.
2. b) Calcula el trabajo del rozamiento (recuerda que es negativo).
3. c) ¿Cuál es el trabajo neto sobre el kayak? ¿En qué se nota ese trabajo neto?

Un todoterreno de $1800\ \text{kg}$ sube un puerto ganando $100\ \text{m}$ de altura en $2\ \text{min}$, a velocidad constante (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula el trabajo realizado contra el peso.
2. b) Calcula la potencia útil empleada en subir, en $\text{kW}$.
3. c) El motor del coche declara $150\ \text{kW}$ de potencia: explica al menos dos razones por las que la potencia útil que has calculado es mucho menor.

En un almacén automatizado, un robot sube paquetes de $5\ \text{kg}$ a una estantería de $6\ \text{m}$ de altura, a razón de $120$ paquetes por hora (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) ¿Qué trabajo realiza con cada paquete?
2. b) ¿Qué trabajo total realiza en una hora?
3. c) ¿Qué potencia media desarrolla?
4. d) El motor del robot es de $500\ \text{W}$, bastante más de lo que has calculado: razona por qué hace falta ese margen.

Un repartidor arrastra un carrito de paquetes en dos tramos. En el primero tira de la cuerda, que forma $30^\circ$ con la horizontal, con una fuerza de $40\ \text{N}$ durante $20\ \text{m}$ ($\cos 30^\circ \approx 0,87$); en el segundo, la cuerda va horizontal y tira con $40\ \text{N}$ durante $15\ \text{m}$.

1. a) Calcula el trabajo en cada tramo y el trabajo total.
2. b) Si invierte $36\ \text{s}$ en todo el recorrido, ¿qué potencia media desarrolla?

Para cargar una caja de $60\ \text{kg}$ en un camión, cuya plataforma está a $1,2\ \text{m}$ del suelo, puedes subirla en vertical o empujarla por una rampa de $3\ \text{m}$ de largo sin rozamiento (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$). La figura muestra las dos opciones.

1. a) Calcula el trabajo necesario en cada caso y explica por qué es el mismo.
2. b) Calcula la fuerza que hay que aplicar en cada caso.
3. c) ¿Qué ventaja tiene la rampa? ¿Cuál es su «precio»?