Aproximación y errores

En la pantalla de tu calculadora aparece el número irracional $\sqrt{10} = 3,16227766...$

Copia la siguiente tabla en tu cuaderno y complétala realizando las aproximaciones indicadas para ese número:

Estás ayudando a organizar una carrera solidaria en tu colegio. Al calcular la distancia exacta de un tramo del recorrido con el GPS, obtienes 2,3458 km.

Para hacer los carteles informativos, necesitas simplificar esta cifra. Escribe cómo quedaría esta distancia si aproximamos por redondeo:

1. a) A las unidades (km).
2. b) A las décimas.
3. c) A las centésimas.

Ayúdate de la siguiente recta numérica para visualizar dónde cae el número:

Has ido al supermercado a comprar ingredientes para una cena. Los precios reales de los productos son:

• Pasta: 1,85 bolivianos

• Salsa de tomate: 2,15 bolivianos

• Queso rallado: 3,48 bolivianos

• Refresco: 1,25 bolivianos

1. a) Haz una estimación rápida del costo total redondeando cada precio a las unidades antes de sumar.
2. b) Calcula la suma exacta de los precios.
3. c) Calcula la diferencia (error absoluto) entre tu estimación y el precio real. ¿Crees que ha sido una buena estimación para saber si llevabas 10 bolivianos en el bolsillo?

Un famoso streamer ha subido un video que tiene exactamente 3.894.215 visualizaciones.

1. a) Escribe esta cantidad redondeada a los millones.
2. b) Escribe la cantidad redondeada a las centenas de millar.
3. c) ¿Cuántas cifras significativas has utilizado en el inciso b?

En el ámbito científico y tecnológico es crucial saber con qué precisión estamos trabajando. Redondea los siguientes números a tres cifras significativas:

1. a) La cantidad de visitas de un video viral: $14\,592\,301$.
2. b) La masa de una partícula de polvo: $0,00040961$ gramos.
3. c) El número $\pi$: $3,141592...$
4. d) La capacidad de un disco duro en bytes: $1\,024\,576\,000$.

Después, expresa cada resultado utilizando la notación científica.

Vamos a calcular el error relativo ($E_r$) para comparar dos pesajes distintos. Recuerda que la fórmula es $E_r = \frac{E_a}{|V_{real}|}$.

1. Caso A: Pesas una manzana cuyo peso real es 200 g y tu balanza marca 205 g.

2. Caso B: Pesas a tu perro cuyo peso real es 20.000 g (20 kg) y la báscula marca 20.005 g.

Calcula el error relativo en ambos casos (puedes expresarlo en forma decimal o porcentaje) e indica qué medición ha sido más precisa (de mayor calidad).

Vamos a analizar el error que cometemos al usar decimales en lugar de fracciones. Considera la fracción $\frac{7}{3}$.

1. a) Escribe su expresión decimal y redondéala a las centésimas.
2. b) Calcula el error absoluto ($E_a$) cometido con esta aproximación.
3. c) Calcula el error relativo ($E_r$) y exprésalo en forma de porcentaje.

Nota: Recuerda que para el cálculo del error, debes usar el valor exacto (la fracción) como referencia.

Dos estudiantes realizan mediciones distintas para un proyecto de ciencias.

• Lucía mide la longitud de un campo de fútbol y obtiene $105$ m, con un error absoluto de $0,5$ m.

• Marcos mide la longitud de la pantalla de un celular y obtiene $15$ cm, con un error absoluto de $0,1$ cm.

¿Cuál de las dos mediciones es más precisa (tiene mayor calidad)? Justifica tu respuesta calculando los errores relativos de ambas medidas.

Mira la siguiente imagen que representa el velocímetro digital de una bicicleta eléctrica:

El velocímetro solo muestra números enteros (sin decimales) y marca 24 km/h mediante redondeo a las unidades.

Esto significa que la velocidad real no es exactamente 24 km/h, sino que está comprendida en un intervalo. ¿Entre qué dos valores (cota inferior y cota superior) se encuentra la velocidad real de la bicicleta?

Las básculas de baño digitales suelen tener una precisión de $100$ gramos ($0,1$ kg). Esto significa que si la báscula marca $54,2$ kg, el peso real podría estar un poco por encima o un poco por debajo, pero redondeado a ese decimal.

1. a) Escribe el intervalo de valores reales posibles para un peso medido de $54,2$ kg.
2. b) ¿Cuál es la cota de error absoluto de esta báscula?

Un velocímetro digital de una bicicleta marca la velocidad con un solo decimal. En un momento dado, marca $24,5 \text{ km/h}$.

Sabemos que este aparato aproxima por redondeo a la décima más cercana.

1. a) Escribe el intervalo de valores reales posibles en el que se encuentra la velocidad exacta de la bicicleta. Es decir, ¿cuál es la velocidad mínima y máxima que podría llevar el ciclista para que el aparato marque 24,5?
2. b) Si el ciclista mantiene esa velocidad durante 2 horas exactas, ¿cuál es la diferencia máxima en kilómetros (cota de error absoluto) entre la distancia calculada con el valor 24,5 y la distancia real posible?

Queremos calcular el área de un círculo cuyo radio hemos medido con una regla.

La medida del radio es $r = 5$ cm.

Sabemos que el área de un círculo es $A = \pi \cdot r^2$.

1. a) Si utilizamos la aproximación de $\pi \approx 3$, ¿cuál es el área calculada?
2. b) Si utilizamos la aproximación de $\pi \approx 3,14$, ¿cuál es el área calculada?
3. c) Sabiendo que el valor "real" (usando la tecla $\pi$ de la calculadora) es aproximadamente 78,54 cm², calcula el error absoluto cometido en el inciso a y en el inciso b. ¿Qué aproximación de $\pi$ es más adecuada usar en matemáticas de 3° de secundaria?

En muchas estaciones de servicio, el precio del combustible se muestra con tres decimales (milésimas de bolivianos), aunque nosotros pagamos con monedas que solo llegan a los centavos (centésimas).

El precio del diésel hoy es de $1,489$ bolivianos/litro.

Vas a cargar exactamente $35$ litros.

1. a) Calcula el precio real exacto multiplicando los $35$ litros por el precio con tres decimales.
2. b) Calcula el precio si primero redondeamos el precio del litro a dos decimales ($1,49$ bolivianos/L).
3. c) ¿Cuál es la diferencia en bolivianos entre ambos métodos? ¿Quién sale ganando con el redondeo previo, el cliente o la estación de servicio?

Queremos pintar una pista de aterrizaje para helicópteros (helipuerto) que tiene forma circular. Para calcular la cantidad de pintura necesaria, medimos el radio y obtenemos $r = 12,5 \text{ m}$. Sabemos que la fórmula del área es $A = \pi \cdot r^2$.

1. a) Calcula el área "exacta" utilizando la tecla $\pi$ de tu calculadora.
2. b) Calcula el área aproximada utilizando el valor redondeado $\pi \approx 3,14$.
3. c) Calcula el error absoluto y el error relativo cometido al usar la aproximación de $\pi$ respecto al valor de la calculadora.
4. d) Si un bote de pintura cubre $5 \text{ m}^2$, ¿afecta el error cometido al número de botes que debemos comprar?