Ejercicios: Inecuaciones

Resuelve la siguiente inecuación de primer grado, expresando la solución en forma de intervalo:

$\frac{3x - 1}{2} - \frac{x + 4}{3} \leq \frac{5x}{6} + 1$

Halla el conjunto de soluciones de la siguiente inecuación de segundo grado:

$-2x^2 + 8x - 6 > 0$

Determina los valores de $x$ que verifican la siguiente inecuación racional:

$\frac{x - 3}{x + 2} \leq 0$

Resuelve la siguiente inecuación con valor absoluto y representa la solución en la recta real:

$|2x - 5| < 3$

Encuentra el conjunto de soluciones de la inecuación:

$|3x + 1| \geq 8$

Resuelve la siguiente inecuación polinómica de grado superior, que ya se encuentra factorizada:

$(x - 1)(x + 2)(x - 4) \leq 0$

Determina el intervalo de valores de $x$ que satisfacen la siguiente inecuación irracional, teniendo en cuenta el dominio de la raíz:

$\sqrt{2x - 4} < 4$

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones lineales con una incógnita:

$2x - 3 < 5$

$4 - x \leq 2$

Una empresa de alquiler de vehículos ofrece dos tarifas. La tarifa A cobra 50 dólares fijos más 0,20 dólares por kilómetro recorrido. La tarifa B cobra 30 dólares fijos más 0,35 dólares por kilómetro recorrido. Plantea una inecuación y determina a partir de cuántos kilómetros resulta estrictamente más económica la tarifa A.

La altura $h$ (en metros) de un cohete de agua en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Determina el intervalo de tiempo durante el cual el cohete se encuentra a una altura estrictamente superior a 17 metros.

Resuelve la siguiente inecuación racional, asegurándote de agrupar todos los términos en un solo miembro antes de operar:

$\frac{2x + 1}{x - 3} \geq 2$

En una fábrica de piezas de precisión, el diámetro $d$ de un cilindro metálico debe medir 45 mm, con una tolerancia de error máxima de 0,02 mm. Expresa esta condición mediante una inecuación con valor absoluto y determina el intervalo de medidas aceptables para el diámetro.

Halla el conjunto de soluciones de la siguiente inecuación polinómica de cuarto grado. (Pista: utiliza la regla de Ruffini para factorizar el polinomio).

$x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6 < 0$

Resuelve la siguiente inecuación irracional. Presta especial atención al dominio de definición de la raíz cuadrada y a las condiciones que se generan al elevar al cuadrado:

$\sqrt{x + 2} \leq x$

Para que un determinado compuesto químico se mantenga estable, su temperatura $T$ (en grados Celsius) debe cumplir simultáneamente dos condiciones: el doble de la temperatura disminuida en 5 grados no debe superar los 35 grados, y la tercera parte de la temperatura aumentada en 10 grados debe ser estrictamente mayor que 15 grados. Plantea un sistema de inecuaciones y halla el rango de temperaturas en el que se mantiene estable el compuesto.

Determina el valor o los valores del parámetro $k$ para que la inecuación de segundo grado $x^2 - 6x + k > 0$ se cumpla para cualquier número real $x$.

Resuelve la siguiente inecuación racional. Ten en cuenta que los polinomios del numerador y del denominador pueden tener raíces comunes que simplifiquen la expresión, pero debes respetar el dominio original:

$\frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - x - 6} \leq 0$

Halla el conjunto de soluciones de la siguiente inecuación que involucra un valor absoluto sobre una expresión cuadrática:

$|x^2 - 5x + 4| > 2$

Un ciclista planea una ruta de entrenamiento de 60 km. Se da cuenta de que si aumenta su velocidad media habitual en 5 km/h, tardaría al menos 1 hora menos en completar el recorrido. Si su velocidad media habitual es $v$ (en km/h), plantea una inecuación racional y resuélvela para determinar las posibles velocidades medias habituales del ciclista.

Resuelve la siguiente inecuación irracional, analizando cuidadosamente el dominio conjunto de las raíces y las implicaciones de elevar al cuadrado en cada paso:

$\sqrt{2x + 3} - \sqrt{x - 2} > 1$

Discute, en función de los valores del parámetro real $m$, el conjunto de soluciones de la inecuación cuadrática:

$mx^2 - 2mx + 3 \leq 0$

Resuelve la siguiente inecuación que combina valor absoluto y una expresión racional. Expresa la solución como unión de intervalos:

$\left| \frac{2x - 1}{x + 3} \right| \geq 2$

Una empresa tecnológica fabrica placas solares. El costo de producción diario (en dólares) al fabricar $x$ placas es $C(x) = 200 + 10x$. Los ingresos por la venta de $x$ placas vienen dados por la función $I(x) = 50x - 0,5x^2$. Plantea una inecuación para determinar cuántas placas deben fabricarse y venderse diariamente para que las ganancias superen los 400 dólares.

Demuestra teóricamente que para cualquier número real $x > 0$, se cumple la desigualdad $x + \frac{1}{x} \geq 2$. A partir de este resultado, determina el conjunto de soluciones de la inecuación $\frac{x^2 + 9}{x} \geq 6$.