Ejercicios: Cambios por desplazamiento de emisor y receptor (efecto Doppler)

En los espectros de galaxias lejanas, las líneas de absorción del hidrógeno aparecen desplazadas hacia longitudes de onda mayores que las medidas en el laboratorio.

1. a) ¿Cómo se denomina este desplazamiento y qué indica sobre el movimiento de la galaxia respecto a la Tierra?
2. b) Relaciona la observación generalizada de este fenómeno con la expansión del universo.
3. c) Razona por qué el efecto Doppler lumínico no necesita medio material, a diferencia del efecto Doppler sonoro.

La línea H$\alpha$ del hidrógeno se mide en el laboratorio a $\lambda_0 = 656,3\ \text{nm}$ y en el espectro de una galaxia aparece a $\lambda' = 662,0\ \text{nm}$. La figura muestra ambas medidas.

El corrimiento al rojo se define como $z = \frac{\lambda' - \lambda_0}{\lambda_0}$ (fórmula dada).

Calcula $z$ e interpreta su signo en términos de acercamiento o alejamiento.

Un radar de tráfico emite microondas que se reflejan en los vehículos y regresan al aparato. El esquema muestra la emisión y el eco.

1. a) Explica los dos efectos Doppler sucesivos que sufre la onda: el carro como «observador» que recibe la señal y como «fuente» que reemite el eco.
2. b) Razona por qué el eco regresa con mayor frecuencia si el carro se acerca al radar.
3. c) ¿Qué fenómeno ondulatorio hace posible que la señal regrese al radar?

Un radar de tráfico emite microondas de $f = 2,4 \cdot 10^{10}\ \text{Hz}$. Para velocidades muy menores que la de la luz, el cambio de frecuencia del eco es $\Delta f \approx \frac{2 \cdot f \cdot v}{c}$ (fórmula dada; $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$). Un carro que se acerca devuelve un eco con $\Delta f = 4 \cdot 10^{3}\ \text{Hz}$.

1. a) Despeja la velocidad del carro de la fórmula y calcúlala en $\text{m/s}$.
2. b) Exprésala en $\text{km/h}$.

Para velocidades pequeñas frente a la de la luz, el corrimiento al rojo cumple $z \approx \frac{v}{c}$ (fórmula dada; $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$). Una galaxia presenta $z = 0,02$.

1. a) Calcula su velocidad en $\text{m/s}$ y en $\text{km/s}$.
2. b) Indica si la galaxia se acerca o se aleja de nosotros, justificándolo con el signo de $z$.

El Sol gira sobre su eje: su borde oriental se acerca a nosotros a $2\ \text{km/s}$ y el occidental se aleja a la misma velocidad. La figura esquematiza la rotación solar.

Para velocidades pequeñas se cumple $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$ (fórmula dada; $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula el desplazamiento $\Delta \lambda$ de la línea de $\lambda = 589\ \text{nm}$ en la luz procedente de cada borde, en nanómetros.
2. b) Determina la diferencia de longitud de onda entre las líneas de ambos bordes, que es lo que miden los espectrógrafos para estudiar la rotación solar.

Un radar del INTT emite a $1,0 \cdot 10^{10}\ \text{Hz}$ y mide el eco de los vehículos con $\Delta f \approx \frac{2 \cdot f \cdot v}{c}$ (fórmula dada; $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula el $\Delta f$ que produce un carro que se acerca a $144\ \text{km/h}$ ($40\ \text{m/s}$).
2. b) En un tramo limitado a $120\ \text{km/h}$, razona si este vehículo comete una infracción.
3. c) Explica el origen del factor $2$ de la fórmula (doble efecto Doppler en la ida y en la vuelta del eco) y por qué el radar debe medir frecuencias con una precisión extraordinaria.

La línea H$\alpha$ del hidrógeno ($\lambda_0 = 656,3\ \text{nm}$ en el laboratorio) se observa en el espectro de una galaxia a $\lambda' = 678,9\ \text{nm}$ (datos: $z = \frac{\Delta \lambda}{\lambda_0}$; $v \approx z \cdot c$; ley de Hubble $v = H_0 \cdot d$, con $H_0 = 70\ \text{km/s}$ por $\text{Mpc}$; $c = 3 \cdot 10^{5}\ \text{km/s}$).

1. a) Calcula el corrimiento al rojo $z$ de la galaxia.
2. b) Calcula su velocidad en $\text{km/s}$.
3. c) Calcula su distancia en $\text{Mpc}$.
4. d) Explica qué consecuencia cosmológica se deduce del hecho de que las galaxias lejanas presenten sistemáticamente $z > 0$.

El método de velocidad radial detecta exoplanetas por el bamboleo que provocan en su estrella: las líneas espectrales oscilan periódicamente con $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$ (fórmula dada; $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$). En la línea de $\lambda = 656,3\ \text{nm}$ de una estrella se mide una oscilación máxima $\Delta \lambda = 1,3 \cdot 10^{-4}\ \text{nm}$. El esquema muestra el bamboleo de la estrella.

1. a) Expresa ambas longitudes en metros y calcula la velocidad máxima de la estrella.
2. b) Explica por qué esa oscilación periódica delata un planeta invisible que obliga a la estrella a orbitar el centro de masas común del sistema.
3. c) Razona qué información adicional sobre el planeta aportaría el período de la oscilación.

Un radar meteorológico emite a $5,6 \cdot 10^{9}\ \text{Hz}$ y mide el eco de las gotas de lluvia con $\Delta f \approx \frac{2 \cdot f \cdot v}{c}$ (fórmula dada; $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula $\Delta f$ para gotas que se alejan del radar a $15\ \text{m/s}$.
2. b) Indica si el eco regresa con mayor o menor frecuencia que la emitida y justifícalo.
3. c) Explica cómo, barriendo el haz en distintas direcciones, el radar reconstruye un mapa del viento en el interior de una tormenta.

Un satélite en órbita baja transmite a $f = 2,2\ \text{GHz}$ y se mueve a $7,6\ \text{km/s}$ respecto a la estación terrestre. Para $v \ll c$ se cumple $\frac{\Delta f}{f} = \frac{v}{c}$ (fórmula dada; $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula el desplazamiento máximo $\Delta f$, expresado en $\text{kHz}$.
2. b) Determina el rango de frecuencias que la estación debe barrer durante un pase completo, con el satélite primero acercándose y luego alejándose.
3. c) Razona por qué los receptores de satélites deben reajustar la sintonía continuamente durante cada pase.