Ejercicios: Espectros y modelo de Bohr

Un puntero láser utilizado habitualmente en demostraciones de clase emite radiación electromagnética visible de color rojo con una longitud de onda de $656{,}3\,\mathrm{nm}$. A partir de estos datos, calcula:

1. a) La frecuencia asociada a dicha radiación electromagnética expresada en unidades del Sistema Internacional.
2. b) La energía que transporta un único fotón emitido por el dispositivo láser.

Datos: velocidad de la luz en el vacío, $c = 3{,}00 \cdot 10^8\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$; constante de Planck, $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$.

El análisis de la luz emitida o absorbida por las sustancias constituye una herramienta fundamental para comprender la corteza atómica.

1. a) Explica la diferencia física esencial entre un espectro continuo y un espectro discontinuo o de líneas.
2. b) Justifica por qué el espectro de emisión atómica de un gas a baja presión está formado por líneas discretas y explica la correspondencia que guardan dichas líneas con las observadas en su espectro de absorción.

En el modelo atómico propuesto por Bohr para el átomo de hidrógeno, la energía asociada a cada nivel electrónico depende del número cuántico principal $n$ mediante la expresión:

$$E_n = -\frac{2{,}18 \cdot 10^{-18}}{n^2}\,\mathrm{J}$$

1. a) Calcula el valor de la energía del electrón en el estado fundamental ($n=1$) y en el primer estado excitado ($n=2$).
2. b) Explica el significado físico del signo negativo asignado a estos niveles de energía y qué representa el estado en el que $n \rightarrow \infty$.

El siguiente esquema muestra los tres primeros niveles energéticos del átomo de hidrógeno y dos transiciones electrónicas etiquetadas como A y B:

. A partir del diagrama y de los datos facilitados:

1. a) Razona si las transiciones A y B corresponden a procesos de absorción o de emisión de energía.
2. b) Calcula la energía (en $\mathrm{eV}$) y la longitud de onda (en $\mathrm{nm}$) del fotón involucrado en la transición A ($3 \rightarrow 2$), e indica razonadamente cuál de las dos transiciones (A o B) emite radiación de menor longitud de onda.

Datos: $E_1 = -13{,}6\,\mathrm{eV}$; $E_2 = -3{,}4\,\mathrm{eV}$; $E_3 = -1{,}51\,\mathrm{eV}$; factor de conversión: $1\,\mathrm{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J}$; $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$; $c = 3{,}00 \cdot 10^8\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$.

En un espectrómetro óptico se registra una línea de emisión del átomo de hidrógeno en el intervalo visible (serie de Balmer, cuyo nivel de llegada es $n_f = 2$) con una longitud de onda experimental de $\lambda = 434{,}1\,\mathrm{nm}$.

1. a) Calcula la energía del fotón emitido en julios y determina el número cuántico principal del nivel orbital inicial $n_i$ del que procedía el electrón, aplicando la expresión de Bohr $E_n = -\frac{2{,}18 \cdot 10^{-18}}{n^2}\,\mathrm{J}$.
2. b) Justifica rigurosamente mediante el balance energético pertinente si un fotón incidente de radiación con una energía de $3{,}00\,\mathrm{eV}$ podría ser absorbido por un átomo de hidrógeno que se halla en el estado $n=2$.

Datos: $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$; $c = 3{,}00 \cdot 10^8\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$; $1\,\mathrm{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J}$.