Ejercicios: Núcleos atómicos y estabilidad de isótopos

El potasio de las bananas contiene una pequeña fracción del isótopo potasio-40, cuyo núcleo tiene número atómico $Z = 19$ y número másico $A = 40$.

1. a) Indicá cuántos protones y cuántos neutrones tiene ese núcleo.
2. b) Escribí su símbolo con la notación ${}^{A}_{Z}\text{X}$.
3. c) ¿Cuántos electrones tiene el átomo neutro de potasio-40? Justificá la respuesta.

En un núcleo de helio hay dos protones confinados en una región de unos $10^{-15}\ \text{m}$ de diámetro. Como ambos tienen carga positiva, se repelen eléctricamente con fuerza considerable; sin embargo, el núcleo no se deshace.

1. a) Explicá qué es la fuerza nuclear fuerte y por qué consigue mantener unido el núcleo.
2. b) Razoná por qué, aun existiendo esa fuerza, los núcleos con demasiados protones acaban siendo inestables.

El carbono tiene tres isótopos naturales: carbono-12, carbono-13 y carbono-14, todos con $Z = 6$.

1. a) Explicá qué significa que dos núcleos sean isótopos.
2. b) Calculá el número de neutrones del núcleo de cada uno de los tres isótopos.
3. c) ¿Tienen los tres isótopos las mismas propiedades químicas? Razoná la respuesta pensando en sus electrones.

La unidad de masa atómica (u) se define como la doceava parte de la masa de un átomo de carbono-12, y equivale a $1\ \text{u} = 1,66 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$.

1. a) La masa del núcleo de oxígeno-16 es de unas $16\ \text{u}$: expresala en kilogramos, en notación científica.
2. b) Razoná por qué en física nuclear resulta más cómodo trabajar en unidades u que en kilogramos.

De los cerca de $3000$ núclidos conocidos, apenas unos $250$ son estables; el resto acaba desintegrándose tarde o temprano.

1. a) Explicá qué significa que un núcleo sea estable y qué le ocurre a un núcleo inestable.
2. b) En los núcleos ligeros estables, el número de neutrones $N$ y el de protones $Z$ son casi iguales: indicá cuánto vale, aproximadamente, la razón $\frac{N}{Z}$ en esos núcleos.

El radio de un átomo es del orden de $10^{-10}\ \text{m}$, mientras que el de su núcleo es del orden de $10^{-15}\ \text{m}$, como se muestra en la figura.

1. a) Calculá cuántas veces es mayor el radio del átomo que el del núcleo.
2. b) El volumen de una esfera es proporcional al cubo del radio: estimá cuántas veces es mayor el volumen del átomo que el del núcleo.
3. c) Explicá, a la vista del resultado, por qué se dice que el átomo está casi vacío.

Las medidas de precisión muestran que la masa de un núcleo de helio-4 es menor que la suma de las masas de sus dos protones y dos neutrones medidos por separado.

1. a) Explicá qué es el defecto de masa de un núcleo.
2. b) ¿En qué se transformó la masa que «falta»? Mencioná en tu explicación la relación de Einstein $E = \Delta m \cdot c^2$.

La energía de enlace por nucleón es la energía media que cuesta arrancar un nucleón de un núcleo.

1. a) Definí qué es la energía de enlace de un núcleo.
2. b) La energía de enlace por nucleón es máxima en los núcleos de masa intermedia, como el hierro, y menor en los muy livianos y en los muy pesados: razoná qué núcleos serán los más estables.

Considerá estos cinco núclidos: ${}^{14}_{6}\text{C}$, ${}^{14}_{7}\text{N}$, ${}^{12}_{6}\text{C}$, ${}^{16}_{8}\text{O}$ y ${}^{15}_{7}\text{N}$.

1. a) Calculá el número de protones y de neutrones de cada uno.
2. b) Indicá qué parejas son isótopos (igual $Z$) y qué pareja es isóbara (igual $A$).
3. c) Señalá dos núclidos que tengan el mismo número de neutrones (isótonos).

Datos: masa del protón $m_p = 1,0073\ \text{u}$, masa del neutrón $m_n = 1,0087\ \text{u}$, masa del núcleo de helio-4 $m_{\alpha} = 4,0015\ \text{u}$ y $1\ \text{u} = 1,66 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$.

1. a) Calculá la suma de las masas de los dos protones y los dos neutrones que forman el núcleo de helio-4, medidos por separado.
2. b) Calculá el defecto de masa $\Delta m$ del núcleo, en unidades u.
3. c) Expresá ese defecto de masa en kilogramos, en notación científica.

El defecto de masa del núcleo de helio-4 es $\Delta m = 0,0305\ \text{u}$, equivalente a $5,06 \cdot 10^{-29}\ \text{kg}$. Datos: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$ y $1\ \text{eV} = 1,6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Calculá la energía de enlace del núcleo con la relación de Einstein, $E = \Delta m \cdot c^2$, expresada en julios.
2. b) Convertí el resultado a $\text{MeV}$ (tené en cuenta que $1\ \text{MeV} = 10^{6}\ \text{eV}$).
3. c) Calculá la energía de enlace por nucleón del helio-4.

En las tablas de núclidos se lee que la energía de enlace por nucleón del hierro-56 vale $8,8\ \text{MeV}$ y la del uranio-235, $7,6\ \text{MeV}$, como se muestra en la figura.

1. a) Calculá la energía de enlace total de cada uno de esos dos núcleos.
2. b) Explicá por qué el hierro-56 es más estable que el uranio-235 aunque su energía de enlace total sea menor.
3. c) Relacioná el resultado con el hecho de que el uranio-235 libere energía al fisionarse.

Dos protones dentro de un núcleo están separados por una distancia de $10^{-15}\ \text{m}$, como se muestra en la figura. Datos: constante de Coulomb $K = 9 \cdot 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$ y carga del protón $e = 1,6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$.

1. a) Calculá la fuerza eléctrica de repulsión entre ellos aplicando la ley de Coulomb, $F = K \cdot \frac{e^2}{r^2}$.
2. b) El valor obtenido es enorme para ser una fuerza entre partículas: explicá qué conclusión se deduce sobre la intensidad de la fuerza nuclear fuerte que los mantiene unidos.

La razón $\frac{N}{Z}$ de los núcleos estables vale aproximadamente $1$ en los ligeros y crece hasta unos $1,5$ en los más pesados, como muestra la figura.

Calculá la razón $\frac{N}{Z}$ de cada uno de estos núclidos y predecí, comparando con esa tendencia, si cabe esperar que sean estables o inestables:

1. a) ${}^{12}_{6}\text{C}$
2. b) ${}^{14}_{6}\text{C}$
3. c) ${}^{206}_{82}\text{Pb}$
4. d) ${}^{238}_{92}\text{U}$

Marie Curie aisló el radio en $1898$, y durante décadas la actividad de $1\ \text{g}$ de radio-226 sirvió como unidad de medida, el curio. Datos: $N_A = 6,02 \cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$ y masa molar del radio-226: $226\ \text{g/mol}$.

1. a) Calculá cuántos núcleos de radio-226 hay en una muestra de $1\ \text{mg}$.
2. b) Calculá cuántos núcleos hay en $1\ \text{g}$, la cantidad que definía el curio.

En física nuclear se usa la equivalencia entre masa y energía $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$.

1. a) El defecto de masa del deuterio (núcleo de hidrógeno-2) es $\Delta m = 0,0024\ \text{u}$: calculá su energía de enlace en $\text{MeV}$.
2. b) Calculá su energía de enlace por nucleón y compará con la del hierro-56 ($8,8\ \text{MeV}$ por nucleón): razoná cuál de los dos núcleos es más estable.

Datos: masa del protón $m_p = 1,0073\ \text{u}$, masa del neutrón $m_n = 1,0087\ \text{u}$, masa del núcleo de hierro-56 $m(\text{Fe}) = 55,9207\ \text{u}$ y $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$.

1. a) El hierro-56 tiene $Z = 26$: indicá cuántos protones y cuántos neutrones contiene su núcleo.
2. b) Calculá su defecto de masa, en unidades u.
3. c) Calculá su energía de enlace total y su energía de enlace por nucleón, en $\text{MeV}$.
4. d) Sabiendo que la energía de enlace por nucleón del carbono-12 es de $7,7\ \text{MeV}$, razoná cuál de los dos núcleos es más estable y qué proceso, fusión o fisión, podría liberar energía partiendo de cada uno.

La curva de energía de enlace por nucleón frente al número másico $A$ crece rápidamente desde los núcleos más livianos, alcanza un máximo en torno al hierro-56 ($8,8\ \text{MeV}$ por nucleón) y desciende después suavemente hasta unos $7,6\ \text{MeV}$ en el uranio-235.

1. a) Esbozá en tu cuaderno esa curva, marcando el máximo y las zonas de núcleos livianos y pesados.
2. b) Explicá, a partir de la forma de la curva, por qué la fusión de núcleos livianos libera energía.
3. c) Explicá, con el mismo argumento, por qué la fisión de núcleos muy pesados también libera energía.
4. d) Razoná por qué no se puede obtener energía ni fusionando ni fisionando núcleos de hierro.

Podés hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

La energía de enlace total del tritio (núcleo de hidrógeno-3) es de $8,48\ \text{MeV}$. Datos: $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$, $m_p = 1,0073\ \text{u}$ y $m_n = 1,0087\ \text{u}$.

1. a) Calculá el defecto de masa del tritio, en unidades u.
2. b) Sabiendo que el tritio tiene un protón y dos neutrones, calculá la masa de su núcleo.
3. c) Calculá su energía de enlace por nucleón y, comparándola con la del helio-4 ($7,1\ \text{MeV}$), razoná por qué la fusión de deuterio y tritio para formar helio libera energía.

El oxígeno solo tiene tres isótopos estables: ${}^{16}_{8}\text{O}$, ${}^{17}_{8}\text{O}$ y ${}^{18}_{8}\text{O}$. Los isótopos con exceso de neutrones tienden a desintegrarse por emisión beta menos ($\beta^{-}$: un neutrón se convierte en protón), y los con déficit de neutrones, por emisión beta más ($\beta^{+}$: un protón se convierte en neutrón).

1. a) Calculá la razón $\frac{N}{Z}$ del ${}^{14}_{8}\text{O}$ y del ${}^{21}_{8}\text{O}$ y comparala con la del ${}^{16}_{8}\text{O}$.
2. b) Predecí qué tipo de desintegración sufrirá cada uno de esos dos isótopos inestables, justificando la respuesta.
3. c) Escribí la ecuación de cada proceso e identificá el núclido hijo que se forma en cada caso.

Poco después del Big Bang, los protones y neutrones del universo primitivo se unieron formando deuterio, y en cada unión se emitió un fotón gamma. Datos: $m_p = 1,0073\ \text{u}$, $m_n = 1,0087\ \text{u}$, masa del núcleo de deuterio $m_d = 2,0136\ \text{u}$ y $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$.

1. a) Calculá el defecto de masa del proceso en el que un protón y un neutrón forman un núcleo de deuterio.
2. b) Calculá la energía liberada en la formación de cada núcleo de deuterio, en $\text{MeV}$.
3. c) ¿Dónde va a parar esa energía? Explicá el papel del fotón gamma emitido.

El radio de un núcleo se puede estimar con la expresión $R = R_0 \cdot A^{1/3}$, donde $R_0 = 1,2 \cdot 10^{-15}\ \text{m}$ y $A$ es el número másico. Para el hierro-56 tomá $A^{1/3} \approx 3,8$ y una masa nuclear de $9,3 \cdot 10^{-26}\ \text{kg}$. El volumen de una esfera es $V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot R^3$, con $\pi \approx 3,14$.

1. a) Calculá el radio del núcleo de hierro-56.
2. b) Calculá su volumen y su densidad, en $\text{kg/m}^3$.
3. c) La materia de una estrella de neutrones tiene una densidad parecida a la nuclear: calculá la masa que tendría una cucharadita de $5\ \text{cm}^3$ de esa materia y comentá el resultado.

Cuando una estrella masiva agota el combustible de su núcleo, acaba produciendo hierro-56, un núclido situado prácticamente en el máximo de la energía de enlace por nucleón.

1. a) Explicá, a partir de la curva de energía de enlace por nucleón, por qué fusionar hierro no libera energía, sino que la consume.
2. b) Razoná qué consecuencia tiene eso para la estrella, que deja de tener fuente de energía en su núcleo.
3. c) Los elementos más pesados que el hierro se forman sobre todo por captura de neutrones durante las explosiones de supernova: explicá por qué esos elementos son mucho más escasos en el universo que el hierro.

Toda la electricidad consumida en España durante un año es del orden de $9 \cdot 10^{17}\ \text{J}$. Datos: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Suponé que esa energía se obtuviera convirtiendo masa directamente en energía, con un rendimiento del $100\ \%$: calculá, con $E = \Delta m \cdot c^2$, la masa que habría que convertir.
2. b) Comentá el resultado: ¿te parece mucha o poca masa para abastecer de electricidad a un país entero durante un año?
3. c) Un alumno afirma: «en las reacciones nucleares la masa se conserva, igual que en las reacciones químicas». Corregí su afirmación y explicá qué es lo que sí se conserva en una reacción nuclear.