Ejercicios: Límite de una función

Calcula el valor del siguiente límite mediante sustitución directa:

$\lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - x + 1}{x + 3}$

Observa la gráfica de la función $f(x)$ definida a trozos y determina los límites laterales $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ y $\lim_{x \to 1^+} f(x)$. A partir de estos resultados, indica si existe el límite $\lim_{x \to 1} f(x)$.

Estudia el comportamiento de la función $f(x) = \frac{2x}{x-3}$ cuando $x$ se acerca a $3$, calculando sus límites laterales e indicando si existe una asíntota vertical.

Dada la siguiente función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 1 \\ x^2 + 2 & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$

Calcula $\lim_{x \to 1} f(x)$.

Resuelve el siguiente límite que presenta una indeterminación del tipo $0/0$:

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$

Calcula los límites laterales de la siguiente función en $x = 1$ para determinar el signo del infinito:

$\lim_{x \to 1} \frac{x + 2}{x - 1}$

Calcula el límite de la siguiente función con valor absoluto en un punto donde su argumento interno no se anula:

$\lim_{x \to -2} |x^2 + 4x + 3|$

Observa la gráfica de la función $f(x)$. Determina el valor de $\lim_{x \to 2} f(x)$ y el valor de $f(2)$, y explica brevemente la diferencia entre ambos conceptos.

Resuelve el siguiente límite, que presenta una indeterminación del tipo $0/0$, factorizando previamente los polinomios del numerador y del denominador:

$\lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 4}{x^2 + 3x + 2}$

Calcula el siguiente límite multiplicando numerador y denominador por la expresión conjugada para resolver la indeterminación:

$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$

Determina el valor del parámetro $a$ para que exista el límite de la función $f(x)$ en el punto $x = 2$:

$f(x) = \begin{cases} ax^2 - 3 & \text{si } x < 2 \\ 5x + a & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$

Resuelve el siguiente límite, que presenta una indeterminación inicial del tipo $\infty - \infty$, operando algebraicamente las fracciones:

$\lim_{x \to 1} \left( \frac{1}{x-1} - \frac{2}{x^2-1} \right)$

Calcula el siguiente límite, que resulta en una indeterminación del tipo $1^\infty$, utilizando la fórmula relacionada con el número $e$:

$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+3}{x-1} \right)^{2x}$

A partir de la gráfica de la función $g(x)$ (cada marca de los ejes corresponde a 1 unidad), determina los siguientes límites y deduce las ecuaciones de sus asíntotas vertical y horizontal:

• $\lim_{x \to +\infty} g(x)$

• $\lim_{x \to -\infty} g(x)$

• $\lim_{x \to -2^-} g(x)$

• $\lim_{x \to -2^+} g(x)$

Estudia la existencia del límite de la siguiente función en el punto donde se anula el valor absoluto, calculando previamente sus límites laterales:

$\lim_{x \to 4} \frac{|x - 4|}{x - 4}$

Calcula el siguiente límite lateral de una función logarítmica. Justifica el signo del infinito resultante:

$\lim_{x \to 3^+} \ln(x - 3)$

El área de un triángulo depende de un parámetro $x$ según la función $A(x) = \frac{x^2 - 25}{x - 5}$. Calcula el límite del área cuando el parámetro $x \to 5$.

Estudia la existencia de los siguientes límites que involucran la función valor absoluto, calculando previamente sus límites laterales y analizando el signo del argumento:

1. a) $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$
2. b) $\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 9}{|x+3|}$

La velocidad $v(t)$ (en m/s) de un paracaidista en caída libre, teniendo en cuenta la resistencia del aire, se modela mediante la función $v(t) = \frac{m \cdot g}{k} \left(1 - e^{\frac{-k \cdot t}{m}}\right)$, donde $m$ es la masa, $g$ la aceleración de la gravedad y $k$ el coeficiente de resistencia aerodinámica (todas constantes positivas). Calcula la velocidad límite del paracaidista, es decir, $\lim_{t \to \infty} v(t)$, y razona matemáticamente qué ocurre con el término exponencial.

Se construye un triángulo rectángulo cuya base mide $x$ unidades (con $x > 2$) y su altura viene dada por la expresión $\frac{1}{x-2}$. Sea $A(x)$ la función que representa el área de dicho triángulo. Calcula los límites $\lim_{x \to 2^+} A(x)$ y $\lim_{x \to \infty} A(x)$, interpretando geométricamente el resultado en cada caso.

Resuelve el siguiente límite, que presenta una doble indeterminación con raíces en el numerador y en el denominador, aplicando la multiplicación por las respectivas expresiones conjugadas:

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3} - 2}{\sqrt{x} - 1}$

Considera un punto $P(x, e^{-x})$ que se mueve sobre la curva de la función exponencial decreciente $y = e^{-x}$ para $x > 0$. Se forma un rectángulo cuyos vértices son el origen de coordenadas $(0,0)$, el punto $(x,0)$ sobre el eje de abscisas, el punto $P$, y el punto $(0, e^{-x})$ sobre el eje de ordenadas.

Expresa el área $A(x)$ de este rectángulo en función de $x$ y determina su límite cuando $x \to \infty$. ¿Qué ocurre con el área a medida que el rectángulo se hace infinitamente largo?

Calcula el siguiente límite trigonométrico utilizando las identidades fundamentales para resolver la indeterminación:

$\lim_{x \to \pi/2} \frac{1 - \sin(x)}{\cos^2(x)}$

La posición de un móvil en función del tiempo $t$ está dada por $s(t) = \frac{\sqrt{t + 9} - 3}{t}$. Calculá la velocidad instantánea en el instante $t = 0$, que se define como el límite de la posición dividido entre el tiempo cuando $t \to 0$.

A partir de la gráfica de la función $h(x)$, determina el valor de los límites laterales $\lim_{x \to 1^-} (h(x))^2$ y $\lim_{x \to 1^+} (h(x))^2$. A continuación, justifica si existe el límite global $\lim_{x \to 4} \frac{1}{h(x)}$.