Ejercicios: Energía cinética y energía potencial

La energía cinética se calcula como $E_c = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$. Un arquero de handball lanza la pelota, de $0,4\ \text{kg}$, a $25\ \text{m/s}$. Calculá su energía cinética.

La energía potencial gravitatoria se calcula como $E_p = m \cdot g \cdot h$. Un macetero de $6\ \text{kg}$ está en el alféizar de una ventana, a $4\ \text{m}$ del suelo (tomá $g = 10\ \text{m/s}^2$). Calculá su energía potencial respecto al suelo.

La energía potencial elástica de un resorte se calcula como $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$, donde $k$ es la constante elástica y $x$ la deformación. Un resorte de $k = 300\ \text{N/m}$ se estira $0,1\ \text{m}$. El esquema se muestra en la figura.

1. a) Calculá la energía potencial elástica que almacena.
2. b) Si en vez de estirarlo se comprime $0,1\ \text{m}$, ¿la energía almacenada es mayor, menor o igual? Justificalo fijándote en cómo aparece $x$ en la fórmula.

Indicá qué energías mecánicas tiene cada cuerpo (cinética, potencial gravitatoria o potencial elástica; puede tener más de una):

1. a) Un arco tensado con la flecha preparada, antes de soltarla.
2. b) Un avión en vuelo de crucero.
3. c) Un auto estacionado en lo alto de un paso de montaña.
4. d) El resorte de un reloj de cuerda recién armado.

Un dron de reparto de $2\ \text{kg}$ vuela a $3\ \text{m/s}$ a $30\ \text{m}$ de altura (tomá $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calculá su energía cinética.
2. b) Calculá su energía potencial.
3. c) ¿Cuál es su energía mecánica, $E_m = E_c + E_p$?

Una lamparita colgada del techo, a $2,5\ \text{m}$ del suelo, tiene una energía potencial de $98\ \text{J}$ (tomá $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). Despejá la masa de la fórmula $E_p = m \cdot g \cdot h$ y calculala.

Dos resortes idénticos se estiran en el laboratorio: el primero $5\ \text{cm}$ y el segundo $10\ \text{cm}$. Sin hacer cálculos numéricos, razoná con la fórmula $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ cuál almacena más energía elástica y cuántas veces más.

Una motocicleta con su piloto suma $250\ \text{kg}$ y circula a $72\ \text{km/h}$.

1. a) Expresá la velocidad en $\text{m/s}$.
2. b) Calculá su energía cinética.

Una pelota de golf de $0,045\ \text{kg}$ sale del tee con una energía cinética de $81\ \text{J}$. Despejá la velocidad de la fórmula $E_c = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$ y calculá con qué velocidad sale.

Una persona en monopatín eléctrico circula a $10\ \text{m/s}$ y su energía cinética es de $3600\ \text{J}$. Despejá la masa de la fórmula de la energía cinética y calculá la masa total del conjunto persona-monopatín.

Un depósito de riego contiene $200\ \text{kg}$ de agua y su energía potencial respecto al suelo es de $5880\ \text{J}$ (tomá $g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Despejá la altura de la fórmula $E_p = m \cdot g \cdot h$ y calculá a qué altura está el agua.
2. b) Si se vacía la mitad del depósito, ¿cuánto valdrá la energía potencial del agua restante?

El resorte de un amortiguador de juguete se comprime $0,15\ \text{m}$ y almacena una energía potencial elástica de $2,25\ \text{J}$.

1. a) Despejá la constante elástica de la fórmula $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ y calculala.
2. b) ¿Qué energía almacenaría si se comprimiera $0,3\ \text{m}$?

Calculá la energía cinética de cada vehículo:

1. a) Un auto de $1200\ \text{kg}$ que circula a $30\ \text{m/s}$.
2. b) Un camión de $9000\ \text{kg}$ que circula a $12\ \text{m/s}$.

¿Cuál tiene más energía cinética? Comentá qué pesa más en el resultado: la masa o la velocidad.

Un dron de reparto de $3\ \text{kg}$ desciende desde $50\ \text{m}$ hasta $20\ \text{m}$ de altura manteniendo una velocidad constante de $8\ \text{m/s}$ (tomá $g = 10\ \text{m/s}^2$). La situación se muestra en la figura.

1. a) Calculá su energía cinética: ¿cambia durante el descenso?
2. b) Calculá la energía potencial que pierde.
3. c) ¿Cómo cambia su energía mecánica? Explicá qué pasó con esa energía.

Un resorte de constante $k = 300\ \text{N/m}$ se va estirando por etapas en el laboratorio.

1. a) Calculá la energía potencial elástica cuando $x = 0,1\ \text{m}$.
2. b) Calculá la energía cuando $x = 0,2\ \text{m}$.
3. c) ¿Cuántas veces mayor es la segunda que la primera? Explicá el resultado a partir de la fórmula y predecí, sin calcularlo con la calculadora, la energía para $x = 0,4\ \text{m}$.

Un tren de alta velocidad de $400\ \text{t}$ circula a $180\ \text{km/h}$.

1. a) Expresá su masa en kilogramos, con notación científica, y su velocidad en $\text{m/s}$.
2. b) Calculá su energía cinética y expresala en notación científica.
3. c) Calculá la energía cinética que tendría circulando a $90\ \text{km/h}$ y determiná qué relación guarda con la anterior.

Un auto de $900\ \text{kg}$ circula primero a $10\ \text{m/s}$ y después a $30\ \text{m/s}$.

1. a) Calculá su energía cinética en cada caso.
2. b) ¿Cuántas veces mayor es la segunda que la primera? Relacioná ese factor con el factor por el que se multiplicó la velocidad.
3. c) Predecí, usando la proporcionalidad, la energía cinética a $40\ \text{m/s}$ y comprobalo con la fórmula.
4. d) Extraé una consecuencia para la seguridad vial del hecho de que la energía cinética crezca con el cuadrado de la velocidad.

Un ciclista y su bicicleta suman $80\ \text{kg}$ y descienden una cuesta a $15\ \text{m/s}$.

1. a) Calculá su energía cinética.
2. b) Una patinadora de $45\ \text{kg}$ lleva exactamente la misma energía cinética: despejá la velocidad y calculá a cuánto circula.
3. c) La relación de masas es $80/45 = 16/9$. Explicá, usando la fórmula de la energía cinética, por qué la relación de velocidades es la raíz cuadrada de la relación de masas invertida, es decir, $4/3$.

Querés comprobar en el laboratorio que la energía potencial elástica es proporcional al cuadrado de la deformación, usando un resorte de $k = 200\ \text{N/m}$, una regla y un juego de pesas.

1. a) Explicá qué medirías y cómo obtendrías la energía almacenada en cada medida.
2. b) Predecí los resultados: calculá la energía potencial para deformaciones de $0,05\ \text{m}$, $0,10\ \text{m}$ y $0,15\ \text{m}$.
3. c) Si representaras la energía frente a la deformación $x$, ¿qué forma tendría el gráfico? ¿Y si la representaras frente a $x^2$? Justificalo.

Tu compañero calcula la energía potencial elástica de un resorte de $k = 500\ \text{N/m}$ comprimido $0,2\ \text{m}$ y obtiene $20\ \text{J}$, porque usó la expresión $E_p = k \cdot x^2$. La figura muestra cómo crece la fuerza necesaria al comprimir el resorte.

1. a) ¿Qué error cometió?
2. b) Calculá vos correctamente la energía potencial elástica.
3. c) El factor $\frac{1}{2}$ aparece porque, al estirar o comprimir el resorte, la fuerza necesaria crece desde $0$ hasta $k \cdot x$, y el trabajo realizado se calcula con la fuerza media. Calculá la fuerza media en este caso y comprobá que fuerza media por deformación da el resultado correcto.

Un libro de $0,5\ \text{kg}$ está sobre una mesa de $80\ \text{cm}$ de altura, en un aula de un segundo piso situada $8\ \text{m}$ por encima de la calle (tomá $g = 10\ \text{m/s}^2$). La figura muestra los tres niveles.

1. a) Calculá su energía potencial tomando como origen la superficie de la mesa.
2. b) Calculala tomando como origen el suelo del aula.
3. c) Calculala tomando como origen la calle.
4. d) Explicá qué significa elegir un nivel de referencia y razoná por qué, en los problemas de conservación de la energía, el resultado no depende del origen elegido (pensá en qué magnitud aparece realmente: la altura o la diferencia de alturas).

Un resorte de $k = 800\ \text{N/m}$ almacena $16\ \text{J}$ de energía potencial elástica.

1. a) Despejá la deformación de la fórmula $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ y calculala.
2. b) ¿Qué fuerza ejerce el resorte en esa situación? Usá la ley de Hooke, $F = k \cdot x$.
3. c) ¿Qué fuerza media fue necesario aplicar para llevarlo desde la posición natural hasta esa deformación? Comprobá que el trabajo de esa fuerza media coincide con la energía almacenada.

Calculá las energías mecánicas de estos dos vehículos y compará­las (tomá $g = 9,8\ \text{m/s}^2$):

1. a) Un avión comercial de $80000\ \text{kg}$ que vuela a $10000\ \text{m}$ de altura a $250\ \text{m/s}$: calculá su energía cinética, su energía potencial y su energía mecánica, en notación científica.
2. b) Un monoplaza de Fórmula 1 de $800\ \text{kg}$ que corre a $80\ \text{m/s}$ en un circuito al nivel del mar: calculá su energía cinética y explicá por qué su energía potencial puede tomarse como nula.
3. c) Comentá qué término de la energía mecánica domina en cada caso y a qué se debe.

Un cohete sonda de $500\ \text{kg}$ asciende acelerando. Cuando está a $1000\ \text{m}$ de altura lleva una velocidad de $100\ \text{m/s}$, y unos segundos después pasa por $3000\ \text{m}$ de altura a $200\ \text{m/s}$ (tomá $g = 10\ \text{m/s}^2$). La figura muestra los dos puntos del ascenso.

1. a) Calculá su energía mecánica en el primer punto.
2. b) Calculá su energía mecánica en el segundo punto.
3. c) ¿Cuánto aumentó su energía mecánica? ¿De dónde salió esa energía?
4. d) ¿Se conserva la energía mecánica durante el ascenso del cohete? Justificalo.