Ejercicios: Variables cinemáticas: posición, velocidad y aceleración vectoriales

Un dron de reparto se encuentra en el punto de coordenadas $(4, 3)$ de un mapa, con las distancias en metros. La figura muestra el punto y su vector de posición.

1. a) Escribí su vector de posición $\vec{r}$ en función de los vectores unitarios $\vec{i}$ y $\vec{j}$.
2. b) Calculá el módulo de $\vec{r}$ y explicá qué representa físicamente.

Un robot de un depósito automatizado pasa de la posición $\vec{r}_1 = 2\,\vec{i} + \vec{j}$ a la posición $\vec{r}_2 = 8\,\vec{i} + 9\,\vec{j}$, con las posiciones en metros. La figura representa ambas posiciones y el desplazamiento entre ellas.

1. a) Calculá el vector desplazamiento $\Delta\vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$.
2. b) Calculá su módulo.

Un atleta da exactamente una vuelta a una pista y regresa al punto de salida tras recorrer $400\ \text{m}$.

1. a) ¿Cuánto vale su desplazamiento?
2. b) ¿Cuánto vale la distancia que recorrió?
3. c) Explicá con tus palabras la diferencia entre la distancia recorrida y el desplazamiento.

Una patinadora se mueve en línea recta y se desplaza $20\ \text{m}$ en la dirección del eje $x$ en $4\ \text{s}$.

1. a) Escribí su vector desplazamiento en función del vector unitario $\vec{i}$.
2. b) Calculá su velocidad media $\vec{v}_m$ como vector, recordando que $\vec{v}_m = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$.

El desplazamiento de un corredor de orientación entre dos balizas es $\Delta\vec{r} = 30\,\vec{i} - 40\,\vec{j}$, en metros, y lo completa en $10\ \text{s}$.

1. a) Calculá su velocidad media vectorial.
2. b) Calculá el módulo de esa velocidad media.

Un repartidor en bicicleta va del local a una casa y vuelve al local por el mismo camino.

1. a) ¿Cuánto vale su desplazamiento total?
2. b) ¿Cuánto vale su velocidad media en todo el trayecto?
3. c) ¿Es cero también su rapidez media? Razoná la respuesta y explicá la diferencia entre velocidad media y rapidez media.

La posición de un carrito de laboratorio viene dada, en unidades del Sistema Internacional, por $\vec{r}(t) = 3t\,\vec{i} + 2\,\vec{j}$.

1. a) ¿Cuál es su posición inicial?
2. b) Calculá su posición cuando $t = 4\ \text{s}$.
3. c) Razoná por qué la trayectoria es una recta horizontal: fijate en qué ocurre con la coordenada $y$.

Una motocicleta en línea recta pasa de $\vec{v}_1 = 5\,\vec{i}\ \text{m/s}$ a $\vec{v}_2 = 20\,\vec{i}\ \text{m/s}$ en $5\ \text{s}$. Los vectores velocidad inicial y final se muestran en la figura.

1. a) Calculá el incremento de velocidad $\Delta\vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$.
2. b) Calculá su aceleración media $\vec{a}_m = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$.
3. c) Explicá qué significa el resultado: ¿cuánto varía su velocidad cada segundo?

Un robot de limpieza de un centro comercial (shopping) está en la posición $\vec{r}_1 = \vec{i} + \vec{j}$ cuando $t = 0$ y en la posición $\vec{r}_2 = 7\,\vec{i} + 9\,\vec{j}$ cuando $t = 2\ \text{s}$, con las posiciones en metros.

1. a) Calculá el vector desplazamiento y su módulo.
2. b) Calculá la velocidad media vectorial y su módulo.

Una estación meteorológica mide la velocidad del viento como $\vec{v} = 12\,\vec{i} - 5\,\vec{j}\ \text{m/s}$, donde el eje $x$ apunta al este y el eje $y$ al norte. La figura muestra el vector velocidad del viento y sus componentes.

1. a) Calculá el módulo de la velocidad del viento.
2. b) Calculá el ángulo que forma con el semieje $x$ positivo y describí con palabras hacia dónde sopla el viento.

La posición de una lancha teledirigida en un estanque es, en unidades del Sistema Internacional, $\vec{r}(t) = 2t\,\vec{i} + t^2\,\vec{j}$. La trayectoria y ambas posiciones se muestran en la figura.

1. a) Calculá las posiciones en los instantes $t_1 = 1\ \text{s}$ y $t_2 = 3\ \text{s}$.
2. b) Calculá el desplazamiento entre esos instantes y su módulo.
3. c) Calculá la velocidad media en ese intervalo y su módulo.

Un ferry sale del puerto A, situado en el punto $(2, 3)$, y llega al puerto B, en el punto $(14, 15)$, con las coordenadas en kilómetros. La travesía dura $2\ \text{h}$.

1. a) Calculá el vector desplazamiento.
2. b) Calculá la velocidad media vectorial en $\text{km/h}$ y su módulo.
3. c) Expresá el módulo de la velocidad media en $\text{m/s}$, con un decimal.

Un avión en maniobras pasa de $\vec{v}_1 = 2\,\vec{i} + 3\,\vec{j}\ \text{m/s}$ a $\vec{v}_2 = 8\,\vec{i} + 9\,\vec{j}\ \text{m/s}$ en $2\ \text{s}$. La figura representa ambos vectores velocidad.

1. a) Calculá el incremento de velocidad $\Delta\vec{v}$.
2. b) Calculá la aceleración media vectorial y su módulo.

Un monopatín eléctrico de alquiler sale del origen y su posición, en unidades del Sistema Internacional, es $\vec{r}(t) = 3t\,\vec{i} + 2t\,\vec{j}$.

1. a) Calculá su posición cuando $t = 10\ \text{s}$.
2. b) ¿En qué instante pasa por un punto con coordenada $x = 90\ \text{m}$? ¿Cuál es su posición completa en ese momento?
3. c) Obtené la ecuación de la trayectoria $y(x)$ eliminando el tiempo y razoná qué tipo de curva es.

Un senderista sale del refugio y se desplaza $1,2\ \text{km}$ hacia el este y después $1,6\ \text{km}$ hacia el norte, en un tiempo total de $0,5\ \text{h}$. El esquema muestra el recorrido del senderista.

1. a) Calculá el módulo de su desplazamiento total.
2. b) Escribí su velocidad media vectorial en $\text{km/h}$ y calculá su módulo.
3. c) Calculá el ángulo que forma su desplazamiento con la dirección este.

Un sensor de un laboratorio registra que un carrito está en el punto $(2, 5)$ cuando $t_1 = 1\ \text{s}$ y en el punto $(14, 17)$ cuando $t_2 = 5\ \text{s}$, con las posiciones en metros.

1. a) Calculá el desplazamiento del carrito y el intervalo de tiempo transcurrido.
2. b) Calculá la velocidad media vectorial y su módulo.
3. c) ¿Qué ángulo forma la velocidad media con el eje $x$? Justificalo a partir de las componentes.

La posición de una partícula, en unidades del Sistema Internacional, es $\vec{r}(t) = 3t\,\vec{i} + (t^2 + 1)\,\vec{j}$.

1. a) Calculá las posiciones en $t = 0$ y en $t = 4\ \text{s}$.
2. b) Calculá el desplazamiento en ese intervalo y su módulo.
3. c) Calculá la velocidad media vectorial en ese intervalo y su módulo.
4. d) La trayectoria entre ambos puntos es curva: razoná si la rapidez media en ese intervalo puede coincidir con el módulo de la velocidad media.

Una partícula se mueve según $\vec{r}(t) = 2t\,\vec{i} + t^2\,\vec{j}$, en unidades del Sistema Internacional.

1. a) Escribí las ecuaciones paramétricas $x(t)$ e $y(t)$.
2. b) Eliminá el tiempo y obtené la ecuación de la trayectoria $y(x)$. ¿Qué tipo de curva es?
3. c) Comprobá si la partícula pasa por el punto $(6, 9)$, en metros, y, en caso afirmativo, indicá en qué instante lo hace.

La posición de un barco, en unidades del Sistema Internacional, es $\vec{r}(t) = (2 + 3t)\,\vec{i} + 4t\,\vec{j}$.

1. a) ¿Cuál es su posición inicial?
2. b) Obtené la ecuación de la trayectoria $y(x)$ y clasificala.
3. c) Comprobá si pasa por el punto $(8, 8)$, en metros, e indicá en qué instante.
4. d) Calculá la distancia del barco al origen en ese instante.

Un auto entra en una rotonda con velocidad $\vec{v}_1 = 12\,\vec{i}\ \text{m/s}$ y sale de ella con $\vec{v}_2 = 12\,\vec{j}\ \text{m/s}$ tras $3\ \text{s}$. La figura muestra la trayectoria en la rotonda y ambos vectores velocidad.

1. a) Comprobá que el módulo de la velocidad no cambió.
2. b) Calculá el incremento de velocidad $\Delta\vec{v}$ y su módulo.
3. c) Calculá la aceleración media vectorial y su módulo.
4. d) Explicá por qué existe aceleración si la rapidez se mantuvo constante.

Una persona camina $30\ \text{m}$ hacia el este en $10\ \text{s}$ y después $40\ \text{m}$ hacia el norte en otros $10\ \text{s}$.

1. a) Calculá la distancia total recorrida y la rapidez media.
2. b) Calculá el desplazamiento total, su módulo y el módulo de la velocidad media.
3. c) Compará los resultados de los dos apartados y enunciá la relación general que guardan la rapidez media y el módulo de la velocidad media, indicando cuándo coinciden.

Un robot cortacésped se mueve por un jardín según $\vec{r}(t) = 2t\,\vec{i} + (12 - t)\,\vec{j}$, en unidades del Sistema Internacional.

1. a) Calculá su posición inicial.
2. b) Determiná el instante en que cruza la bisectriz del primer cuadrante, es decir, cuando sus coordenadas $x$ e $y$ coinciden, y la posición en ese momento.
3. c) Calculá su distancia al origen en ese instante.
4. d) Calculá la velocidad media entre $t = 0$ y ese instante.

Dos drones de vigilancia se mueven, en unidades del Sistema Internacional, según $\vec{r}_A(t) = 5t\,\vec{i} + 3t\,\vec{j}$ y $\vec{r}_B(t) = (60 - 5t)\,\vec{i} + 18\,\vec{j}$. Las trayectorias de ambos drones se muestran en la figura.

1. a) Escribí las ecuaciones $x(t)$ e $y(t)$ de cada dron.
2. b) Determiná el instante y la posición en que se encuentran.
3. c) Calculá la distancia del punto de encuentro al origen.
4. d) Razoná si las trayectorias de ambos drones podrían cruzarse en algún otro punto distinto.