Ejercicios: Satélites y cuerpos celestes

La Estación Espacial Internacional (ISS) orbita a una altura de $400\ \text{km}$ sobre la superficie terrestre. La velocidad orbital de un satélite en órbita circular es $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, masa de la Tierra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y radio terrestre $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. El esquema muestra la órbita de la estación (sin escala):

1. a) Expresá el radio de la órbita, $r = R_T + h$, en metros.
2. b) Calculá la velocidad orbital de la ISS, en $\text{m/s}$, y expresala en $\text{km/s}$.

La Luna, el satélite natural de la Tierra, orbita a una distancia media entre centros de $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ y $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calculá su velocidad orbital con $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$, en $\text{m/s}$.
2. b) Compará esa velocidad con la velocidad orbital de la ISS, unos $7,7\ \text{km/s}$: ¿cuál de los dos cuerpos orbita más rápido y por qué?

La velocidad orbital circular de un satélite es $v = \sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}$.

1. a) Razoná, a partir de la expresión, si un satélite más alejado del centro de la Tierra orbita más rápido o más despacio que uno cercano.
2. b) Si el radio de la órbita se multiplica por $4$, ¿qué le ocurre a la velocidad orbital? Justificalo con la expresión.

Un satélite de observación describe una órbita circular de radio $r = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$ con una velocidad orbital de $7,67\ \text{km/s}$.

1. a) Escribí la expresión del período en función del radio y de la velocidad, $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$.
2. b) Calculá el período en segundos y expresalo en minutos.

Los satélites de comunicaciones Intelsat son geoestacionarios.

1. a) Explicá qué significa que un satélite sea geoestacionario.
2. b) Indicá las tres condiciones que debe cumplir su órbita: forma, plano que la contiene y período.
3. c) Razoná por qué un satélite geoestacionario no puede quedarse «quieto» sobre la vertical de España (latitud $40^\circ$), sino sobre el ecuador.

En una órbita rasante (muy baja) el radio orbital es aproximadamente el radio terrestre, $r \approx R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calculá la velocidad orbital rasante con $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{R_T}}$, en $\text{km/s}$.
2. b) Comprobá que se obtiene prácticamente el mismo valor con $v = \sqrt{g\cdot R_T}$ y explicá, a partir de $g = \frac{G\cdot M_T}{R_T^2}$, por qué ambas expresiones coinciden.

La Luna orbita la Tierra a una distancia media $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ con una velocidad orbital de $1,02\ \text{km/s}$.

1. a) Calculá su período orbital con $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$, en segundos.
2. b) Expresalo en días y compará con la duración de una lunación (unas cuatro semanas).

Las antenas parabólicas de televisión por satélite se instalan fijas, apuntando siempre al mismo punto del cielo.

1. a) Explicá, usando las características de la órbita geoestacionaria, por qué no es necesario que la antena persiga al satélite.
2. b) Citá dos aplicaciones de los satélites geoestacionarios y razoná qué ventaja aporta en ellas que el satélite parezca inmóvil.

El telescopio espacial Hubble describe una órbita circular a $540\ \text{km}$ de altura. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calculá su velocidad orbital, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{R_T + h}}$.
2. b) Calculá su período orbital, $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$, y expresalo en minutos.

La Estación Espacial Internacional completa una órbita en $T = 92\ \text{min}$.

1. a) Calculá cuántas órbitas completas da alrededor de la Tierra en un día ($24\ \text{h}$).
2. b) Razoná cuántos amaneceres y cuántas puestas de Sol contemplan los astronautas cada día.
3. c) Si la estación orbitara a mayor altura, ¿daría más o menos órbitas al día? Razoná la respuesta con la tercera ley de Kepler.

Un satélite geoestacionario debe tener un período $T = 24\ \text{h}$. Combinando $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$ con $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$ se obtiene $r^3 = \frac{G\cdot M_T\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Observá el esquema (sin escala):

1. a) Expresá el período en segundos.
2. b) Calculá $r^3$ y, extrayendo la raíz cúbica, el radio de la órbita geoestacionaria.
3. c) Calculá la altura sobre la superficie, $h = r - R_T$, y expresala en $\text{km}$.

Los satélites del sistema europeo de navegación Galileo tienen un período orbital de $14\ \text{h}$. Usá $r^3 = \frac{G\cdot M_T\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$ con $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Expresá el período en segundos y calculá el radio de la órbita.
2. b) Calculá la altura de los satélites sobre la superficie terrestre.
3. c) Calculá su velocidad orbital, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$.

En la superficie terrestre $g_0 = 9,8\ \text{m/s}^2$, pero la gravedad disminuye con la altura según $g = \frac{G\cdot M_T}{r^2}$. La ISS orbita con $r = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ y $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calculá el valor de $g$ en la órbita de la ISS.
2. b) Expresalo como porcentaje del valor en superficie.
3. c) Con ese resultado, explicá por qué no es correcto afirmar que en la ISS «no hay gravedad» y qué significa que la estación y sus tripulantes se encuentren en caída libre continua.

Fobos, la mayor de las lunas de Marte, orbita a solo $r = 9,38\cdot10^{6}\ \text{m}$ del centro del planeta. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ y masa de Marte $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$.

1. a) Calculá su velocidad orbital, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_M}{r}}$.
2. b) Calculá su período, $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$, y expresalo en horas.
3. c) Marte rota sobre sí mismo en $24,6\ \text{h}$, en el mismo sentido en que orbita Fobos. Razoná si Fobos, visto desde la superficie marciana, sale por el este o por el oeste.

El satélite español de observación de la Tierra PAZ describe una órbita circular a $514\ \text{km}$ de altura. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calculá su velocidad orbital.
2. b) Calculá su período y expresalo en minutos.
3. c) Calculá cuántas vueltas completas a la Tierra da cada día.

Compará la velocidad orbital de la ISS ($r_{ISS} = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$) con la de la Luna ($r_L = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$) alrededor de la Tierra.

1. a) Demostrá, a partir de $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$, que el cociente de velocidades es $\frac{v_{ISS}}{v_L} = \sqrt{\frac{r_L}{r_{ISS}}}$.
2. b) Calculá ese cociente con los datos del enunciado.
3. c) Explicá, con ayuda de la ley de la gravitación universal, por qué los cuerpos más alejados orbitan más despacio.

En las misiones Apolo, el módulo de mando permanecía en una órbita lunar circular a $110\ \text{km}$ de altura mientras el módulo lunar descendía a la superficie. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, masa de la Luna $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$ y radio lunar $R_L = 1,74\cdot10^{6}\ \text{m}$. Fijate en el esquema (sin escala):

1. a) Calculá el radio de la órbita del módulo de mando.
2. b) Calculá su velocidad orbital, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_L}{r}}$, y expresala en $\text{km/s}$.
3. c) Calculá su período, en horas, y estimá cuántas vueltas completas a la Luna daba por día el astronauta que quedaba a bordo.

Para futuras misiones tripuladas a Marte se estudia colocar satélites de comunicaciones «areoestacionarios», es decir, estacionarios respecto al suelo marciano. Datos: Marte rota en $T = 24,6\ \text{h}$; masa de Marte $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$; radio de Marte $R_M = 3,39\cdot10^{6}\ \text{m}$; $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Razoná qué período orbital deben tener esos satélites.
2. b) Calculá el radio de la órbita areoestacionaria con $r^3 = \frac{G\cdot M_M\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$.
3. c) Calculá su altura sobre la superficie de Marte y compará con los $3,6\cdot10^{4}\ \text{km}$ de la órbita geoestacionaria terrestre, explicando a qué se debe la diferencia.

Supongamos que la Tierra tuviera la mitad de su masa actual, pero conservara su radio y su período de rotación de $24\ \text{h}$. Datos: $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; el radio geoestacionario actual es $r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$.

1. a) Razoná, a partir de $r^3 = \frac{G\cdot M_T\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$, si el radio de la órbita geoestacionaria sería mayor, menor o igual que el actual.
2. b) Calculá el nuevo radio geoestacionario teniendo en cuenta que, al ser $r^3$ proporcional a $M_T$, el nuevo radio es $r' = r\cdot(1/2)^{1/3}$.
3. c) ¿Seguiría siendo el período de $24\ \text{h}$? ¿Cambiaría la velocidad orbital del satélite? Justificá ambas respuestas.

Un estudiante escribe en un escrito: «un satélite geoestacionario está en reposo, porque no se mueve respecto al suelo terrestre; por tanto, no necesita velocidad orbital ni tiene aceleración».

1. a) Identificá los dos errores del razonamiento.
2. b) Calculá la velocidad orbital real de un satélite geoestacionario ($r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$, $T = 24\ \text{h}$), en $\text{km/s}$.
3. c) Calculá su aceleración centrípeta, $a_c = \frac{v^2}{r}$, e indicá qué fuerza la proporciona.

La tercera ley de Kepler también se aplica a los satélites artificiales. Datos: ISS ($r = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$, $T = 92\ \text{min}$) y Luna ($r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$, $T = 27,3$ días). El esquema compara ambas órbitas (sin escala):

1. a) Expresá ambos períodos en segundos y calculá el cociente $\frac{T^2}{r^3}$ para la ISS y para la Luna, en unidades del Sistema Internacional.
2. b) Comprobá que ambos cocientes coinciden (salvo redondeos) y explicá por qué tiene que ser así.
3. c) Utilizá ese valor común para predecir el período de un satélite que orbite con $r = 2,0\cdot10^{7}\ \text{m}$ y expresalo en horas.

Las constelaciones de internet por satélite, como Starlink, emplean miles de satélites a $550\ \text{km}$ de altura, mientras que tres satélites geoestacionarios bastan para dar cobertura a casi todo el planeta. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. El esquema compara las dos órbitas (sin escala):

1. a) Calculá la velocidad y el período orbital de un satélite Starlink.
2. b) Calculá el cociente entre su período y el de un satélite geoestacionario ($24\ \text{h}$) y razoná, con la tercera ley de Kepler, por qué los satélites bajos «pasan» tan rápido sobre un observador.
3. c) Explicá por qué una órbita baja exige una constelación de miles de satélites para dar cobertura continua, mientras que en órbita geoestacionaria bastan tres.