Ejercicios: Las leyes del movimiento planetario

Johannes Kepler dedujo tres leyes que describen el movimiento de los planetas alrededor del Sol a partir de las observaciones de Tycho Brahe.

1. a) Enunciá la primera ley de Kepler (ley de las órbitas).
2. b) Dibujá en tu cuaderno una órbita elíptica y señalá en ella los dos focos de la elipse, la posición del Sol, el perihelio (punto más cercano al Sol) y el afelio (punto más alejado).
3. c) Indicá qué es el semieje mayor $a$ de la órbita y escribí su expresión en función de las distancias del perihelio, $r_p$, y del afelio, $r_a$.

Podés hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

1. a) Enunciá la segunda ley de Kepler (ley de las áreas).
2. b) Un planeta recorre su órbita elíptica pasando por el perihelio y por el afelio. Aplicá la ley de las áreas para razonar en cuál de esos dos puntos se mueve más rápido.
3. c) La velocidad areolar (área barrida por el radio vector por unidad de tiempo) es constante porque el momento angular del planeta se conserva. Explicá cualitativamente por qué un radio vector más corto en el perihelio implica una velocidad mayor.

La Tierra pasa por el perihelio a una distancia del Sol $r_p = 1,471\cdot10^{11}\ \text{m}$ y por el afelio a $r_a = 1,521\cdot10^{11}\ \text{m}$. La figura muestra la órbita con ambas distancias (sin escala):

1. a) Calculá el semieje mayor de la órbita terrestre, $a = \frac{r_p + r_a}{2}$.
2. b) Sabiendo que $1\ \text{UA} = 1,496\cdot10^{11}\ \text{m}$ (unidad astronómica: distancia media Tierra–Sol), expresá el resultado en unidades astronómicas y comentá lo que observás.

Para los cuerpos que orbitan el Sol, si el período $T$ se expresa en años y el semieje mayor $a$ en unidades astronómicas, la tercera ley de Kepler se reduce a $T^2 = a^3$. Mercurio orbita con un semieje mayor $a = 0,387\ \text{UA}$.

1. a) Calculá el período orbital de Mercurio, en años.
2. b) Expresalo en días terrestres ($1$ año $= 365,25$ días).

Un asteroide del cinturón principal tarda $T = 8$ años en completar su órbita alrededor del Sol. Para los cuerpos que orbitan el Sol se cumple $T^2 = a^3$, con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas.

1. a) Despejá el semieje mayor $a$ de la expresión anterior.
2. b) Calculá su valor, en $\text{UA}$.

Dibujá en tu cuaderno una órbita elíptica alargada con el Sol situado en uno de sus focos.

1. a) Marcá dos intervalos de tiempo iguales, uno centrado en el perihelio y otro en el afelio, y sombreá las áreas barridas por el radio vector en ambos tramos.
2. b) De acuerdo con la ley de las áreas, ¿qué relación existe entre las dos áreas sombreadas?
3. c) Razoná, a partir del dibujo, en qué tramo el planeta recorre un arco más largo en el mismo tiempo y qué implica eso sobre su velocidad.

Podés hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Marte orbita el Sol con un semieje mayor $a = 1,524\ \text{UA}$. Para los cuerpos que orbitan el Sol, $T^2 = a^3$ con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas.

1. a) Calculá la duración del año marciano, en años terrestres.
2. b) Expresá el resultado en días ($1$ año $= 365,25$ días).

Venus completa su órbita alrededor del Sol en $T = 0,615$ años. Para los cuerpos que orbitan el Sol, $T^2 = a^3$ con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas; $1\ \text{UA} = 1,496\cdot10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Calculá el semieje mayor de la órbita de Venus, en $\text{UA}$.
2. b) Expresalo en kilómetros, usando notación científica.

Un equipo de astrónomos descubre un objeto cuyo período orbital es $T = 27$ años. Para los cuerpos que orbitan el Sol, $T^2 = a^3$ con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas.

1. a) Calculá el semieje mayor de su órbita, en $\text{UA}$.
2. b) Compará con la órbita de Neptuno ($a \approx 30\ \text{UA}$): ¿el objeto orbita más cerca o más lejos del Sol que Neptuno?

La excentricidad de una elipse es $e = \frac{c}{a}$, donde $a$ es el semieje mayor y $c$ la distancia del centro de la elipse a uno de los focos. Para la Tierra: $r_p = 1,471\cdot10^{11}\ \text{m}$ (perihelio) y $r_a = 1,521\cdot10^{11}\ \text{m}$ (afelio). Observá la geometría de la órbita en la figura (sin escala):

1. a) Calculá el semieje mayor, $a = \frac{r_p + r_a}{2}$.
2. b) Calculá la distancia focal, $c = \frac{r_a - r_p}{2}$, y la excentricidad $e$ de la órbita terrestre.
3. c) Un valor $e = 0$ corresponde a una circunferencia y un valor próximo a $1$, a una elipse muy alargada. Comentá la forma de la órbita terrestre según el valor obtenido.

Ceres, el mayor cuerpo del cinturón de asteroides, tiene un período orbital de $T = 4,60$ años. Para los cuerpos que orbitan el Sol, $T^2 = a^3$ con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas; $1\ \text{UA} = 1,496\cdot10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Calculá el semieje mayor de la órbita de Ceres, en $\text{UA}$.
2. b) Expresá su distancia media al Sol en metros, usando notación científica.

Un cometa tiene un semieje mayor doble que el de otro cometa del mismo sistema.

1. a) Demostrá, a partir de $T^2 = a^3$, que si $a' = 2\cdot a$ entonces $T' = \sqrt{8}\cdot T \approx 2,83\cdot T$.
2. b) Un asteroide orbita el Sol con $a = 2\ \text{UA}$. Calculá su período, en años.
3. c) Razoná, sin hacer nuevos cálculos, si un planeta situado a la mitad de distancia del Sol que la Tierra tendría un año más largo o más corto que el terrestre.