Ejercicios: Intensidad del campo de un sistema de masas: cálculo vectorial

Antes de enviar una misión tripulada a Marte conviene conocer la gravedad en su superficie.

1. a) Calculá el módulo del campo gravitatorio en la superficie de Marte. Datos: masa de Marte $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$, radio de Marte $R_M = 3,39\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.
2. b) El radio de Marte es aproximadamente la mitad del terrestre y, sin embargo, su gravedad es bastante menor que la mitad de la terrestre: explicá a qué se debe fijándote en la masa.

El campo gravitatorio de una masa puntual disminuye con el cuadrado de la distancia. El gráfico muestra esa dependencia:

1. a) Si a una distancia $r$ del centro de un planeta el campo vale $g$, ¿cuánto vale a una distancia $2\cdot r$? Razoná la respuesta a partir de $g = G\cdot\frac{M}{r^2}$.
2. b) ¿A qué distancia del centro de la Tierra, expresada en radios terrestres $R_T$, el campo vale la cuarta parte del valor en la superficie?
3. c) ¿A qué altura sobre la superficie corresponde esa distancia?

En un laboratorio de metrología se quiere medir el campo gravitatorio creado por una esfera maciza de plomo de $100\ \text{kg}$.

1. a) Calculá el módulo del campo a $0,50\ \text{m}$ de su centro, tratando la esfera como una masa puntual ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Expresá el resultado en notación científica y compará su orden de magnitud con el del campo gravitatorio terrestre ($9,8\ \text{m/s}^2$): ¿qué conclusión sacás sobre la dificultad de la medida?

El campo gravitatorio $\vec{g}$ en un punto se define como la fuerza por unidad de masa que actuaría sobre una masa de prueba colocada en él: $\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m}$.

1. a) A partir de esa definición, demostrá que $1\ \text{N/kg} = 1\ \text{m/s}^2$.
2. b) Explicá con tus palabras qué significa que en un punto del espacio el campo valga $g = 3,7\ \text{N/kg}$: ¿qué fuerza sufriría una masa de $1\ \text{kg}$? ¿Y una de $10\ \text{kg}$?

Sobre una mesa de laboratorio se colocan dos masas puntuales de $10\ \text{kg}$ cada una, separadas $2,0\ \text{m}$. Sea $P$ un punto de la recta que las une, situado fuera del segmento, a $1,0\ \text{m}$ de una masa y a $3,0\ \text{m}$ de la otra. La disposición se muestra en la figura.

1. a) Calculá el módulo del campo que crea cada masa en $P$ e indicá su sentido ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Como ambos campos tienen la misma dirección y sentido, calculá el campo total en $P$.

El campo gravitatorio es una magnitud vectorial.

1. a) Indicá la dirección y el sentido del vector $\vec{g}$ creado por la Tierra en un punto cualquiera de su entorno.
2. b) Dibujá en tu cuaderno el vector campo gravitatorio en ocho puntos repartidos alrededor del planeta (un mapa del campo): ¿qué tienen en común las direcciones de todos los vectores y cómo cambia el módulo al alejarse del planeta?
3. c) Explicá por qué se dice que el campo gravitatorio es central y atractivo.

Podés hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Los astronautas del programa Apolo comprobaron que en la Luna los objetos pesan mucho menos que en la Tierra.

1. a) Calculá el campo gravitatorio en la superficie de la Luna. Datos: masa de la Luna $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, radio lunar $R_L = 1,74\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.
2. b) Calculá el cociente $\frac{g_T}{g_L}$ tomando $g_T = 9,8\ \text{m/s}^2$ y comprobá que vale aproximadamente $6$.

Los satélites geoestacionarios orbitan a una distancia $r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$ del centro de la Tierra, como se muestra en la figura.

1. a) Calculá el campo gravitatorio terrestre a esa distancia ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$).
2. b) ¿Cuántas veces menor es que el campo en la superficie ($g_0 = 9,8\ \text{m/s}^2$)?
3. c) El campo en un punto no depende de la masa que se coloque en él: explicá qué significa esto a partir de la definición $\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m}$.

El Sol, por su enorme masa, también crea un campo gravitatorio apreciable a distancias astronómicas.

1. a) Calculá el módulo del campo gravitatorio del Sol en la órbita de la Tierra ($M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, distancia media $d = 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Compará el resultado con el campo en la superficie terrestre ($9,8\ \text{m/s}^2$): ¿cuántas veces menor es?
3. c) Si el Sol tira de nosotros con ese campo, ¿por qué no nos arranca de la superficie terrestre? (Pista: la Tierra y todo lo que hay sobre ella caen juntos hacia el Sol.)

Un gravímetro de prospección geofísica puede detectar variaciones del campo gravitatorio de hasta $10^{-6}\ \text{m/s}^2$. Se sospecha que bajo un terreno hay un gran depósito de agua, que aproximamos por una masa puntual de $10^{5}\ \text{kg}$ centrada a $20\ \text{m}$ de profundidad. El esquema muestra la disposición:

1. a) Calculá el campo gravitatorio que crea el depósito en la superficie, justo encima de él ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) ¿Podría el gravímetro detectarlo? Justificá la respuesta con los números.
3. c) Citá una aplicación práctica de este tipo de mediciones.

Cuando Júpiter está más cerca de la Tierra se encuentra a unos $6,3\cdot10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Calculá el campo gravitatorio que Júpiter crea entonces en la Tierra ($M_J = 1,90\cdot10^{27}\ \text{kg}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Calculá la fuerza con la que Júpiter atrae a una persona de $70\ \text{kg}$ ($F = m\cdot g$) y comparala con su peso en la Tierra ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).
3. c) A la vista del resultado, comentá críticamente la afirmación astrológica de que «la posición de Júpiter influye en las personas».