Ejercicios: Cuantiles y diagramas de caja

En una unidad de sueño se registra la latencia hasta el inicio del sueño en minutos de 9 pacientes: 12; 15; 18; 22; 25; 28; 34; 40; 55. Calcule el primer cuartil ($Q_1$), la mediana ($Q_2$) y el tercer cuartil ($Q_3$) empleando el método del rango más próximo con la posición entera superior $k = \lceil p \cdot n \rceil$, donde $p$ es la proporción acumulada y $n$ el tamaño muestral.

En una prueba de agilidad motora en rehabilitación, los cuartiles obtenidos son $Q_1 = 14$ segundos y $Q_3 = 26$ segundos. Calcule el rango intercuartílico ($RIC$) y determine los límites de las cercas o barreras de Tukey para detectar valores atípicos moderados, definidos como $[Q_1 - 1,5 \cdot RIC,\; Q_3 + 1,5 \cdot RIC]$.

Las puntuaciones de ocho personas son 30; 42; 45; 48; 52; 56; 60; 65. Calcula la mediana como promedio de los dos valores centrales. Para los cuartiles, divide la serie ordenada en dos mitades de cuatro datos y calcula la mediana de cada mitad, sin eliminar ninguna observación.

En un estudio sobre estrés laboral en personal sanitario, se obtiene un diagrama de caja con los siguientes cinco números resumen: mínimo = 10, $Q_1 = 22$, mediana = 25, $Q_3 = 30$, máximo = 48. Determine si el valor máximo de 48 constituye una puntuación atípica según el criterio de Tukey de $1,5 \cdot RIC$.

En una encuesta sobre bienestar subjetivo aplicada a una muestra de 20 estudiantes de psicología, se ordena la puntuación total de menor a mayor. Calcule la posición y el valor del percentil 85 ($P_{85}$) utilizando el método de rango más próximo $k = \lceil p \cdot n \rceil$, sabiendo que las puntuaciones en las posiciones 16 a 18 son 74; 78 y 82.

En un laboratorio de psicobiología se mide la concentración basal de glucosa (mg/dL) en 7 roedores: 85; 88; 91; 95; 98; 102; 110. Obtenga el rango intercuartílico ($RIC$) dividiendo la muestra en dos mitades excluyendo estrictamente la mediana para calcular $Q_1$ y $Q_3$.

En un experimento de percepción visual se miden los tiempos de reacción (ms) de 10 participantes: 210; 215; 218; 224; 230; 235; 242; 250; 270; 340. Calcule $Q_1$, $Q_3$ y el $RIC$ mediante: a) el método del rango más próximo $k = \lceil p \cdot n \rceil$; b) el método de división en dos mitades de tamaño 5. Compare si el rango intercuartílico varía según el procedimiento adoptado.

Los tiempos semanales de actividad de once personas son 40; 50; 60; 75; 90; 100; 110; 120; 135; 150; 260 minutos. Calcula los cuartiles como medianas de las mitades, excluyendo la mediana global. Obtén cercas internas $Q_1-1,5RIC$ y $Q_3+1,5RIC$, y externas $Q_1-3RIC$ y $Q_3+3RIC$. Clasifica como moderado un dato fuera de la cerca interna pero no de la externa, y como extremo si rebasa la externa.

Doce tiempos de resolución son 14; 16; 19; 20; 22; 25; 27; 30; 31; 35; 38; 58 segundos. Usa la mediana usual y, para $Q_1$ y $Q_3$, las medianas de las dos mitades de seis datos. Determina los extremos de la caja, la mediana y los bigotes, definidos por las observaciones más alejadas que no rebasen las cercas $Q_1-1,5RIC$ y $Q_3+1,5RIC$. Señala los atípicos.

El gráfico muestra los datos del ejercicio.

Un investigador analiza la eficacia de dos formatos de terapia anotando las sesiones necesarias para el alta en sendas muestras de 9 pacientes. Formato A: 8; 10; 11; 12; 14; 15; 16; 18; 25. Formato B: 11; 12; 13; 14; 14; 15; 16; 17; 18. Mediante el método $k = \lceil p \cdot n \rceil$, halle la mediana y el $RIC$ de cada grupo e indique cuál presenta menor variabilidad en el 50 % central.

En un estudio sobre calidad del sueño se evalúan las puntuaciones de insomnio (0 a 24 puntos) de 15 personas: 3; 5; 6; 7; 8; 8; 9; 10; 12; 13; 14; 16; 18; 20; 23. Obtenga los percentiles 20 ($P_{20}$), 50 ($P_{50}$) y 80 ($P_{80}$) empleando el método del rango más próximo con la posición $k = \lceil p \cdot n \rceil$.

Un equipo de rehabilitación mide los grados de flexión de rodilla alcanzados tras una intervención en 8 pacientes: 65; 72; 80; 84; 90; 96; 102; 108. Compare el primer cuartil calculado mediante: 1) rango más próximo $k = \lceil 0,25 \cdot n \rceil$; 2) interpolación lineal estándar donde la posición fraccionaria es $i = 1 + (n - 1) \cdot 0,25$. Explique si coinciden.

En una encuesta hospitalaria sobre satisfacción (escala 0 a 100), se obtienen los datos de 10 usuarios: 45; 60; 65; 70; 72; 75; 80; 82; 85; 98. Calcule el recorrido interdecílico ($D_9 - D_1$) utilizando para las posiciones de los deciles la fórmula de rango más próximo $k = \lceil p \cdot n \rceil$.

En un estudio sobre consumo de tabaco, se registra el número de cigarrillos diarios consumidos por 9 individuos: 0; 0; 2; 5; 8; 12; 15; 20; 35. Calcule la asimetría gráfica a partir de los cuartiles mediante el índice de Yule-Bowley, definido como $B = \frac{(Q_3 - Q_2) - (Q_2 - Q_1)}{Q_3 - Q_1}$, calculando los cuartiles por el método $k = \lceil p \cdot n \rceil$.

En un ensayo en laboratorio se analiza el número de errores en una tarea atencional por 13 participantes: 2; 3; 4; 4; 5; 7; 8; 9; 11; 12; 15; 22; 30. Determine qué observaciones se clasifican como atípicas si se usa: 1) la regla de Tukey con mitades excluyendo la mediana; 2) la regla basada en media $\pm 2$ desviaciones típicas muestrales ($S_{n-1}$). Justifique cómo la presencia de atípicos condiciona el segundo criterio.

En salud comunitaria se recopila el tiempo diario de uso de pantallas (minutos) en una muestra: 60; 75; 90; 100; 120; 130; 150; 160; 180; 210; 240; 360; 520. Un investigador propone eliminar las dos observaciones mayores argumentando que son necesariamente errores de transcripción. Evalúe analíticamente si son valores atípicos (mitades excluyendo la mediana) y razone por qué un dato atípico no debe equipararse automáticamente a un error.

Se dispone de 6 observaciones de cortisol salival (nmol/L): 4; 6; 7; 11; 14; 28. Compare los valores de $Q_1$ y $Q_3$ calculados con: A) rango más próximo $k = \lceil p \cdot n \rceil$; B) división en dos mitades iguales de 3 datos. A continuación, determine si el valor 28 es clasificado como atípico moderado bajo cada uno de los dos métodos de cálculo.

De una muestra solo se conocen $Q_1=18$, mediana 28 y $Q_3=34$. Compara las dos distancias desde la mediana a los cuartiles e interpreta la forma central de la caja. ¿Puedes reconstruir media y desviación típica o afirmar que el $95\%$ de los datos está dentro de media más/menos dos desviaciones, sin otra información?

Un psicólogo experimental registra los tiempos de decisión (centésimas de segundo) en 11 ensayos de un sujeto: 42; 44; 46; 48; 50; 52; 55; 58; 62; 75; 98. Calcule el valor adyacente superior exacto según Tukey (mitades excluyendo la mediana) y compruebe cómo varía si el ensayo extremo de 98 se sustituye por 150 centésimas debido a una distracción. Justifique la propiedad de robustez observada.

Los tiempos de espera de catorce personas son 5; 8; 10; 12; 15; 16; 18; 20; 22; 25; 28; 35; 50; 65 minutos. Fija los cuartiles como medianas de las mitades de siete. Calcula las cercas internas de Tukey y la media original. Como análisis de sensibilidad, calcula además la media excluyendo los datos fuera de esas cercas. Explica por qué la segunda no puede llamarse automáticamente «corregida».