Ejercicios: Dispersión y variabilidad

En un servicio de urgencias se registra el tiempo de espera, en minutos, de cinco pacientes triados con prioridad leve: 12; 18; 25; 14; 31. Para describir la amplitud total de los datos antes de aplicar estadísticos más complejos, el equipo de supervisión necesita conocer el rango de la serie. Calcule el rango muestral de estos tiempos de espera e interprete de forma explícita las unidades de medida resultantes.

En una prueba de memoria de trabajo, cuatro participantes recuerdan respectivamente 4; 6; 7; 3 palabras. Calcule la media aritmética y la varianza descriptiva de la serie, aplicando estrictamente el divisor conceptual $n$ propio del análisis descriptivo de la muestra observada. Exprese claramente las unidades resultantes de la varianza.

Un registro de laboratorio mide la concentración basal de una enzima en 6 muestras, obteniendo una desviación típica de $4,2\text{ U/L}$. Debido a un desajuste técnico sistemático en el fotómetro, se constata que a todas las lecturas se les sumó por error una constante de $1,5\text{ U/L}$. Justifique matemáticamente cuál es la desviación típica real de las muestras tras corregir el error restando dicha constante.

En una encuesta sobre calidad del sueño se evalúa la latencia de inicio del sueño en minutos en 8 individuos: 10; 12; 15; 18; 22; 25; 30; 40. Definiendo el primer cuartil $Q_1$ como la mediana de la mitad inferior de los datos (primeros 4 valores) y el tercer cuartil $Q_3$ como la mediana de la mitad superior (últimos 4 valores), determine el rango intercuartílico ($IQR$).

Un grupo duerme una media de 6 horas con desviación típica de $1,2$ horas. El tiempo de sueño tiene cero natural y la media es positiva. Calcula el coeficiente de variación, definido por $CV=100s/\bar{x}$, e interpreta qué magnitudes compara.

Un cronómetro utilizado en rehabilitación registra tiempos en minutos, con una desviación típica descriptiva de $0,8\text{ minutos}$. Para la redacción de un informe técnico internacional, se decide convertir todas las lecturas originales a segundos multiplicando cada observación por 60. Determine el valor de la nueva varianza y de la nueva desviación típica expresadas en segundos.

En un ensayo de psicología experimental sobre atención sostenida se administran dos pruebas con distintas métricas a una misma muestra: el tiempo de reacción ($X$), expresado en milisegundos con $\bar{x} = 400\text{ ms}$ y $s_X = 60\text{ ms}$, y el recuento de errores por omisión ($Y$), con $\bar{y} = 8\text{ errores}$ y $s_Y = 2\text{ errores}$. Ambas variables se miden en escala de razón con cero real. Calcule el coeficiente de variación de cada variable y determine cuál de las dos mediciones presenta mayor variabilidad relativa.

En un protocolo de investigación clínica se analizan los niveles de glucemia en ayunas ($X$) de $n = 5$ individuos: 90; 94; 96; 102; 108 mg/dL. Con el objetivo de contrastar la variabilidad descriptiva frente a la inferencial, calcule explícitamente la varianza descriptiva utilizando el divisor $n$ ($S_n^2$) y la varianza muestral insesgada empleando el divisor $n - 1$ ($S_{n-1}^2$). Muestre la relación numérica entre ambos estadísticos.

En un servicio de rehabilitación se evalúa la movilidad articular de la rodilla en grados tras una cirugía en 12 pacientes: 65; 78; 80; 82; 85; 88; 90; 92; 94; 96; 100; 135. Tomando como definición del primer cuartil $Q_1$ la media de las posiciones 3 y 4 de la serie ordenada, y del tercer cuartil $Q_3$ la media de las posiciones 9 y 10, calcule el rango intercuartílico ($IQR$), determine los límites o barreras de Tukey ($Q_1 - 1,5 \cdot IQR$ y $Q_3 + 1,5 \cdot IQR$) e identifique formalmente si existe algún valor atípico.

El gráfico muestra los datos del ejercicio.

Dos grupos tienen tamaños 20 y 30, medias de 110 y 120 mg/dL, y varianzas descriptivas con divisor $n$ de 16 y 25 (mg/dL) al cuadrado. Calcula la media global $\bar{x}$. Para la varianza global usa $V=\sum n_j[V_j+(\bar{x}_j-\bar{x})^2]/\sum n_j$. Separa la parte debida a las varianzas internas y la debida a las diferencias entre medias.

En un estudio sobre estrés laboral se mide una escala de 1 a 10 en cinco profesionales sanitarios: 4; 5; 5; 6; 7. Un error de transcripción altera el último dato, anotando 17 en lugar de 7. Calcule el rango y la desviación típica descriptiva (divisor $n$) antes y después de dicho error. Compare brevemente el grado en que ambas medidas de dispersión se ven afectadas por la presencia de este valor erróneo extremo.

Una escala de bienestar con origen convencional tiene media 20 y desviación 4 puntos. Se recodifica como $Y=2X+10$. Calcula media y desviación nuevas y los cocientes $100s/\bar{x}$ antes y después. Explica por qué la diferencia entre estos cocientes no demuestra una reducción real de variabilidad relativa del bienestar.

Dos programas de rehabilitación física para pacientes con dolor crónico evalúan el incremento en la distancia caminada en seis minutos (metros). El Programa 1 obtiene los incrementos: 20; 30; 30; 30; 40. El Programa 2 obtiene los incrementos: 10; 20; 30; 40; 50. Ambos programas presentan la misma media aritmética de 30 metros. Calcule y compare la varianza descriptiva (divisor $n$) de ambos programas para justificar cuál ofrece un rendimiento más homogéneo.

En un sondeo sobre hábitos de hidratación en ancianos, se registra el número de vasos de agua diarios consumidos, agrupados en la siguiente distribución de frecuencias: 2 vasos (frecuencia $n_1 = 3$), 4 vasos ($n_2 = 5$) y 6 vasos ($n_3 = 2$). Tomando el total de participantes observados ($N = 10$), calcule la media de consumo diario y la varianza descriptiva aplicando explícitamente el divisor poblacional/descriptivo $N$.

Dos grupos tienen tamaños 10 y 20 y medias de 50 y 65 puntos. La varianza descriptiva del primero es 9 y la varianza descriptiva global es 70, ambas con divisor del número de observaciones. Encuentra la varianza del segundo usando $V=\sum n_j[V_j+(\bar{x}_j-\bar{x})^2]/N$. Explica qué comprobación básica debe satisfacer la respuesta.

Se analizan los días de estancia hospitalaria en 7 pacientes: 3; 4; 5; 5; 6; 7; 8. Tras un fallo de registro, el dato superior 8 se sustituye erróneamente por 50. Para el conjunto original y el contaminado, calcule el rango intercuartílico ($Q_1$ como posición 2 y $Q_3$ como posición 6 de la serie ordenada) y la desviación típica descriptiva (divisor $n$). Justifique con los resultados cuál de ambas medidas muestra resistencia estadística a la contaminación.

Un estudio preliminar con 5 participantes reporta una media de $\bar{x} = 10\text{ puntos}$ y una varianza descriptiva (divisor $n$) de $S_n^2 = 4\text{ puntos}^2$. Con posterioridad se detecta que un sujeto con puntuación registrada de 14 puntos debe ser eliminado del análisis por no cumplir los criterios de inclusión. Reconstruya la suma de las puntuaciones originales $\sum x_i$ y la suma de cuadrados $\sum x_i^2$, y determine de forma exacta la nueva media y varianza descriptiva de los 4 participantes restantes.

En una unidad de sueño se monitoriza la temperatura corporal de pacientes hipotérmicos. En la escala Celsius, una serie de pacientes presenta una media de $\bar{x}_C = 35\,^\circ\text{C}$ con desviación típica de $s_C = 1,4\,^\circ\text{C}$. Un asistente sugiere calcular el coeficiente de variación en grados Celsius ($CV_C$). Demuestre por qué este procedimiento es conceptualmente erróneo en una escala de intervalo mostrando qué ocurre con el coeficiente de variación al transformar los datos a la escala de temperatura Kelvin ($K = C + 273,15$).

Dos muestras tienen varianzas calculadas con divisor $n-1$: 12 min al cuadrado para $n_A=6$ y 20 min al cuadrado para $n_B=10$. Para resumir variabilidad interna usando la regla $s_p^2=[(n_A-1)s_A^2+(n_B-1)s_B^2]/(n_A+n_B-2)$, calcula el resultado y compáralo con el promedio simple de las varianzas. ¿Es esta necesariamente la varianza de las dieciséis observaciones reunidas?

Cien puntuaciones tienen media 50 y desviación descriptiva, con divisor 100, igual a 8. Se da la desigualdad de Chebyshev: la proporción de datos con $|x-\bar{x}|\ge ks$ es como máximo $1/k^2$. Úsala para acotar la proporción fuera del intervalo abierto $(34;66)$ y la proporción dentro, sin asumir normalidad.

En un estudio experimental de psicología del aprendizaje se mide el tiempo de respuesta (en segundos) de 4 sujetos: 2; 4; 6; 8. Calcule la media y la varianza descriptiva (divisor $n$) de la serie. A continuación, tipifique cada uno de los cuatro valores mediante la transformación $z_i = (x_i - \bar{x}) / S_n$. Compruebe explícitamente mediante el cálculo numérico directo que la media de las puntuaciones típicas resultantes es $\bar{z} = 0$ y su varianza descriptiva es $S_z^2 = 1$.

Un laboratorio de biomecánica compara dos grupos clínicos sometidos a un test de equilibrio postural con escala de razón. El Grupo 1 presenta una media de balanceo de $\bar{x}_1 = 20\text{ mm}$ con desviación típica de $s_1 = 5\text{ mm}$. El Grupo 2 presenta una media de $\bar{x}_2 = 50\text{ mm}$ con desviación típica de $s_2 = 10\text{ mm}$. Justifique analíticamente cuál de los dos grupos presenta una mayor dispersión absoluta y cuál muestra una mayor dispersión relativa, identificando las implicaciones metodológicas de emplear una u otra medida.