Ejercicios: Tipificación y transformaciones

En una unidad de sueño se evalúa la latencia de inicio del sueño en minutos de un paciente adulto. El baremo del centro para su grupo de edad presenta una media de $\bar{X} = 22,0$ minutos con una desviación típica de $s = 6,0$ minutos. Si el paciente tardó $37,0$ minutos en conciliar el sueño, determine su puntuación típica estandarizada $z$. ¿A cuántas desviaciones típicas respecto a la media se sitúa su registro?

Una puntuación típica es $z=-1,40$. Se transforma mediante la escala $T=50+10z$. Calcula $T$ e indica la media y la desviación de la escala transformada si el conjunto original de puntuaciones típicas tiene media cero y desviación uno.

En un cribado de salud comunitaria sobre tensión arterial diastólica, un usuario presenta un valor de $X = 72,0\text{ mmHg}$. La media de la muestra de su sector poblacional es $\bar{X} = 78,0\text{ mmHg}$ con una desviación típica de $s = 8,0\text{ mmHg}$. Calcule el valor de la puntuación típica $z$ e interprete el significado del signo algebraico obtenido en relación con la posición del usuario en su grupo.

En un protocolo de rehabilitación de marcha se registra la velocidad en metros por segundo ($X$), con una media de $\bar{X} = 0,80\text{ m/s}$ y una desviación típica de $s_X = 0,15\text{ m/s}$. El equipo decide expresar la variable en centímetros por segundo mediante la transformación lineal $Y = 100\cdot X$. Calcule la nueva media $\bar{Y}$ y la nueva desviación típica $s_Y$.

En una encuesta sobre dolor crónico se aplica un ítem con escala de $1$ a $5$ donde $1$ significa «sin alivio» y $5$ «alivio completo». Para integrarlo con una subescala de malestar, se requiere invertir el ítem para que una puntuación mayor indique mayor molestia, mediante la regla $Y = 6 - X$. Si tres pacientes puntuaron $1$, $2$ y $5$, halle las puntuaciones invertidas de cada uno.

Una profesional de laboratorio analiza dos analitos en un mismo participante. En glucosa en ayunas obtiene $105,0\text{ mg/dL}$ (norma de referencia: media $90,0\text{ mg/dL}$, desviación típica $10,0\text{ mg/dL}$). En colesterol total obtiene $215,0\text{ mg/dL}$ (norma de referencia: media $185,0\text{ mg/dL}$, desviación típica $20,0\text{ mg/dL}$). Determine en cuál de los dos parámetros presenta una posición relativa más alejada por encima de la media de referencia.

Un investigador evalúa la fuerza de prensión manual de una paciente de $68$ años. Su registro es de $24,0\text{ kg}$. Si utiliza el baremo general de adultos (media $32,0\text{ kg}$; $s = 8,0\text{ kg}$), obtiene una puntuación $z_1$. Si emplea el baremo específico para mujeres de más de $65$ años (media $20,0\text{ kg}$; $s = 4,0\text{ kg}$), obtiene $z_2$. Calcule $z_1$ y $z_2$, y justifique la consecuencia de seleccionar una norma inapropiada.

En una base de datos de enfermería hospitalaria sobre balance hídrico, una columna tipificada muestra para un paciente una puntuación reportada de $z = +3,00$. Al inspeccionar la serie de datos brutos del grupo, se observa que todos los $40$ pacientes ingresados registraron exactamente un volumen constante de $1500,0\text{ mL}$. Analice la validez matemática del cálculo de $z$ en este conjunto de datos e identifique la anomalía existente.

En un estudio cognitivo sobre tiempo de reacción en milisegundos, un participante obtiene una puntuación directa con $z = 0,00$. Un analista afirma categóricamente que al participante le corresponde sin ninguna duda el percentil $50$ ($P_{50}$) de la muestra. Explique razonadamente si la afirmación del analista es necesariamente cierta sin conocer la forma de la distribución original de los datos.

En un laboratorio toxicológico se miden las concentraciones de un metabolito en orina (en $\mu\text{g/L}$) en cuatro muestras: $10,0$; $100,0$; $1000,0$; $10000,0$. Para reducir la dispersión y asimetría de estos datos positivos, se aplica la transformación logarítmica en base $10$, $Y = \log_{10}(X)$. Calcule la media y la desviación típica de la variable transformada $Y$, usando como divisor el número de datos $N = 4$.

En un programa de ejercicio para personas mayores, se registran las flexiones de brazo de $5$ participantes: $6$; $8$; $10$; $12$; $14$. Calcule la puntuación típica $z$ del participante que realizó $10$ flexiones (usando $N = 5$ para la desviación típica poblacional). Calcule asimismo su rango percentil empírico definido como la proporción de observaciones de la muestra menores o iguales a su valor, expresada en porcentaje.

En un estudio de movilidad funcional se registran los puntajes de equilibrio dinámico de cuatro pacientes antes de una intervención: $20,0$; $30,0$; $40,0$; $50,0$ puntos. Para comparar este indicador con otras baterías clínicas, el equipo aplica una transformación afín $Y = 0,5\cdot X + 10,0$. Calcule la media y la desviación típica de los puntajes antes ($X$) y después ($Y$) de dicha transformación, empleando divisor $N = 4$.

El gráfico muestra los datos del ejercicio.

En un sondeo sobre calidad asistencial, un centro de atención primaria obtiene una media muestral de satisfacción de $\bar{X} = 65,0$ puntos con una varianza de $s_X^2 = 36,0\text{ puntos}^2$. Para facilitar la lectura en un cuadro de mando autonómico, se aplica el cambio de escala $W = (X - 65,0) / 3,0$. Determine la nueva media $\bar{W}$, la nueva varianza $s_W^2$ y la nueva desviación típica $s_W$.

Un informe docente transforma una puntuación $z=1,75$ mediante $S=5+2z$ y después la convierte en una categoría entera de 1 a 9. El protocolo redondea al entero más próximo, resuelve los empates exactos hacia arriba y recorta los resultados fuera de 1–9 al extremo correspondiente. Calcula $S$ continuo y la categoría final. Explica qué información se pierde al categorizar.

Dos centros aportan 60 y 40 personas, con medias de 80 y 70 puntos y varianzas descriptivas, con divisor del tamaño de cada centro, de 25 y 16. Una persona tiene 85 puntos. Calcula la media y la varianza del conjunto usando $V=\sum n_j[V_j+(\bar{x}_j-\bar{x})^2]/N$, y tipifica 85 respecto a ese conjunto. Explica por qué no basta promediar las varianzas internas.

En una escala de fatiga de $10$ ítems con rango posible de $10$ a $50$ puntos, la muestra de validación tiene media $\bar{X} = 30,0$ y desviación típica $s = 5,0$. Un equipo invierte la escala en origen para expresar «energía» mediante $Y = 60 - X$. Un paciente tiene $X = 40,0$. Compruebe analíticamente si tipificar la puntuación directa invertida $Y$ da el mismo resultado numérico que invertir el signo de la puntuación típica original $z_X$, calculando ambos valores de forma explícita.

Tres pacientes presentan concentraciones plasmáticas basales de cortisol de $A = 10,0\text{ nmol/L}$, $B = 20,0\text{ nmol/L}$ y $C = 100,0\text{ nmol/L}$. El cociente de distancias en la escala original es $(C - B)/(B - A) = 80,0 / 10,0 = 8,0$. Compruebe qué ocurre con dicho cociente tras tipificar linealmente ($z$), y calcúlelo tras una transformación no lineal logarítmica decimal $Y = \log_{10}(X)$. Justifique por qué la transformación monótona no lineal altera las distancias relativas.

Una muestra piloto de laboratorio de $n = 5$ tubos registra los siguientes tiempos de coagulación en segundos: $18,0$; $20,0$; $22,0$; $24,0$ y un error por atasco de $116,0$. Calcule la puntuación típica $z_1$ del primer tubo ($18,0\text{ s}$) con la muestra completa contaminada (usando $N=5$). Seguidamente, elimine el valor contaminado $116,0$, recalcule media y desviación típica de los $4$ tubos válidos ($N=4$) y obtenga su nueva puntuación típica $z_2$. Explique el efecto del atípico.

En un informe neuropsicológico se extraviaron los parámetros del baremo normativo (media $\bar{X}$ y desviación típica $s$), pero constan las puntuaciones de dos pacientes en la misma prueba: el paciente 1 obtuvo una puntuación directa de $X_1 = 45,0$ con $z_1 = -1,50$, y el paciente 2 obtuvo $X_2 = 80,0$ con $z_2 = +2,00$. Reconstruya razonadamente el sistema de ecuaciones lineales, y halle los valores exactos de la media $\bar{X}$ y de la desviación típica $s$ del baremo normativo.

En ergonomía física se mide la fuerza de empuje en Newtons ($X$), con media $\bar{X} = 200,0\text{ N}$ y desviación típica $s_X = 40,0\text{ N}$. Se ensayan dos transformaciones lineales para ajustar los registros: $A(X) = 0,5\cdot X + 50,0$ y $B(X) = X + 50,0$. Calcule el coeficiente de variación ($CV = s / \bar{X}$, definido para medias positivas) de la variable original $X$ y de cada una de las dos transformadas, $CV_A$ y $CV_B$, expresados en porcentaje. Concluya si una transformación afín general preserva el $CV$.