Ejercicios: Covarianza y correlación descriptiva

En un laboratorio de enfermería se mide el tiempo de infusión en minutos ($X$) y la presión de retorno venoso en milímetros de mercurio ($Y$) en cuatro pacientes sometidos a un protocolo de hidratación. Los registros obtenidos son: $(1; 12)$, $(2; 14)$, $(3; 18)$ y $(4; 20)$. Se adopta explícitamente el divisor $n$ para el cálculo de momentos descriptivos de la muestra. Calcule la media de cada variable y determine la covarianza descriptiva entre el tiempo de infusión y la presión venosa.

En un experimento de memoria de trabajo, la correlación de Pearson entre el número de aciertos ($X$) y el tiempo de reacción en segundos ($Y$) es $r_{xy} = -0,48$, con una covarianza de $s_{xy} = -2,40$ aciertos$\cdot$s. Por exigencias editoriales, la variable tiempo se expresa ahora en milisegundos mediante la transformación $W = 1000\cdot Y$. Indique de forma razonada el nuevo valor de la covarianza descriptiva $s_{xw}$ y el nuevo coeficiente de correlación lineal $r_{xw}$.

Un equipo de rehabilitación monitoriza a tres pacientes midiendo la distancia recorrida en pista en metros ($X$) y el nivel de esfuerzo percibido en escala de fatiga ($Y$). Los pares observados son $(10; 8)$, $(20; 6)$ y $(30; 4)$. Determine si existe una función lineal exacta de la forma $Y = a + b\cdot X$ que relacione ambas variables con pendiente negativa y, a partir de ello, deduzca el valor numérico del coeficiente de correlación lineal de Pearson.

En una encuesta transversal de salud comunitaria a $1500$ adultos se halla una correlación lineal de $r = 0,62$ entre las horas diarias de uso de pantallas de ocio y la intensidad comunicada de cefalea tensional. El comité asesor debate si dicha correlación demuestra que reducir el uso de pantallas eliminará directamente las cefaleas en la población. Explique por qué el coeficiente de correlación descriptivo no permite inferir esta relación de causa y efecto.

En un ensayo de laboratorio se evalúa el rendimiento en una tarea motriz fina ($Y$) en cuatro participantes sometidos a una dosis estandarizada idéntica de un sedante, registrada como $X = 5$ mg para todos ellos: $(5; 12)$, $(5; 18)$, $(5; 15)$ y $(5; 21)$. Al calcular el coeficiente de correlación de Pearson mediante la expresión $r_{xy} = s_{xy}/(s_x\cdot s_y)$, se produce un fallo operativo. Justifique analíticamente la causa matemática de este resultado.

En una unidad de sueño se examina la relación entre las horas dormidas la noche previa ($X$) y los fallos de vigilancia en un test psicomotor matutino ($Y$) en cinco conductores: $(4; 9)$, $(5; 7)$, $(6; 6)$, $(7; 4)$ y $(8; 4)$. Utilizando el divisor $n$ en todos los estadísticos descriptivos, determine las medias, las desviaciones típicas de ambas variables, la covarianza descriptiva y el coeficiente de correlación lineal de Pearson con dos cifras decimales.

El gráfico muestra los datos del ejercicio.

En un estudio sobre activación psicofisiológica se analiza el nivel de estrés inducido ($X$) y la ejecución motora fina ($Y$) en cinco sujetos: $(-2; 4)$, $(-1; 1)$, $(0; 0)$, $(1; 1)$ y $(2; 4)$. Nótese que existe una dependencia funcional determinista perfecta dada por $Y = X^2$. Calcule la covarianza descriptiva $s_{xy}$ y el coeficiente de correlación de Pearson $r_{xy}$. A partir del resultado, razone qué propiedad de este coeficiente se pone de manifiesto respecto a asociaciones curvilíneas.

En una investigación psicológica, la correlación de Pearson entre la ansiedad previa a una prueba ($X$) y la autoeficacia percibida ($Y$) es $r_{xy} = -0,65$. Se definen dos nuevas variables mediante transformaciones lineales: $U = -3\cdot X + 10$ y $V = 2\cdot Y + 5$. Aplique las propiedades de invariancia y cambio de signo del coeficiente de correlación de Pearson para determinar analíticamente el nuevo valor $r_{uv}$ y justifique con detalle el signo obtenido.

Un equipo mide en cuatro pacientes la adherencia a un tratamiento en escala 1-5 ($X$) y la mejora sintomática ($Y$): $(1; 1)$, $(2; 2)$, $(3; 3)$ y $(4; 4)$, donde la correlación es $r = 1,00$. Se incorpora un quinto registro atípico discordante: $(5; 0)$. Calcule con divisor $n = 5$ la nueva covarianza descriptiva y el nuevo coeficiente de correlación lineal $r_{xy}$. Compare el resultado con el valor inicial para ilustrar la sensibilidad de Pearson a las observaciones atípicas.

Cuatrocientos aspirantes completan dos pruebas, $X$ e $Y$, antes de la selección, con correlación $r=0,72$. Al analizar solo a los 60 con $X>12$ puntos, la correlación es $0,28$. Explica cómo restringir el rango y cambiar la composición puede modificar la correlación. ¿Se deduce que seleccionar un rango estrecho siempre la reduce?

En un estudio regional de salud se agrupan datos de $10$ distritos sanitarios. La correlación calculada entre la renta media del distrito y la tasa de mortalidad por infarto resulta ser $r = -0,81$. Sin embargo, un epidemiólogo advierte de que no es lícito deducir directamente que una persona individual con menor nivel socioeconómico tenga necesariamente un riesgo de muerte por infarto más elevado que otra de mayor renta. Identifique y defina conceptualmente el error metodológico señalado.

Tres pares de mediciones de ingesta $X$ en gramos y cambio de masa $Y$ en kilogramos son $(50;0,5)$, $(100;1)$ y $(150;1,5)$. Usando divisor $n=3$ para covarianza y varianzas, calcula covarianza y correlación. Después transforma la ingesta a miligramos mediante $W=1000X$ e indica cómo cambian ambas medidas.

En un servicio de urgencias se evalúa a $n = 10$ pacientes críticos para contrastar el tiempo de espera hasta la atención en minutos ($X$) y la concentración de lactato sérico en mmol/L ($Y$). Los sumatorios muestrales son: $\sum X = 80$, $\sum Y = 30$, $\sum X^2 = 740$, $\sum Y^2 = 114$ y $\sum XY = 270$. Utilizando el divisor $n$ descriptivo, calcule la covarianza $s_{xy}$, las desviaciones típicas $s_x$ y $s_y$, y el coeficiente de correlación de Pearson $r_{xy}$ con dos cifras decimales.

Dos subgrupos de una tarea aportan los pares $(1;8)$ y $(3;10)$ en A, y $(7;2)$ y $(9;4)$ en B. En cada subgrupo, $X$ e $Y$ crecen juntos. Calcula la correlación en cada grupo y en los cuatro pares reunidos, usando divisor $n$ para todos los momentos. Explica por qué la correlación agregada puede tener otro signo.

Cuatro pares de puntuaciones son $(1;1)$, $(2;3)$, $(3;2)$ y $(4;4)$. Calcula covarianza y correlación usando divisor $n=4$ para los momentos descriptivos. Después conserva solo los pares con $X>2$ y calcula su correlación. Explica por qué dos puntos pueden dar una correlación perfecta sin aportar evidencia sólida de un patrón poblacional.

Dos instrumentos miden una misma magnitud en cuatro muestras. A registra $10;20;30;40$ unidades y B, $15;25;35;45$, en el mismo orden. Calcula la correlación de Pearson y las diferencias B menos A. ¿Una correlación de uno implica que los instrumentos concuerdan numéricamente? Calcula además la raíz del promedio de las diferencias al cuadrado.

Una simulación docente construye $Z=(1;2;3;4)$ y define $X=2Z+1$ e $Y=3Z+2$. Calcula los pares, sus desviaciones descriptivas con divisor cuatro, la covarianza y la correlación. Explica por qué esta correlación no demuestra que cambiar X directamente cause un cambio en Y.

Se evalúan cuatro pacientes en un protocolo de balance postural registrando oscilación anterior ($X$) y oscilación lateral ($Y$) en milímetros: $(1; 3)$, $(2; 1)$, $(3; 4)$ y $(4; 2)$. Utilizando el divisor $n = 4$, calcule la covarianza descriptiva $s_{xy}$ y las varianzas $s_x^2$ y $s_y^2$. Compruebe analíticamente que se cumple la desigualdad matemática de Cauchy-Schwarz: $|s_{xy}| \le s_x\cdot s_y$. A partir de ello, deduzca por qué el coeficiente de correlación de Pearson queda estrictamente acotado en el intervalo $[-1; 1]$.