Ejercicios: Punto medio de un segmento

Calcula las coordenadas del punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos $A(2, 4)$ y $B(6, 10)$.

El punto medio del segmento $AB$ es $M(3, 5)$. Si el extremo $A$ tiene por coordenadas $(1, 2)$, halla las coordenadas del extremo $B$.

Determina las coordenadas del punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos $P(-4, -6)$ y $Q(2, -8)$.

Halla el punto simétrico de $A(5, -3)$ respecto del origen de coordenadas $O(0,0)$.

Calcula el punto medio del segmento que une los puntos $C\left(\frac{1}{2}, 3\right)$ y $D\left(\frac{3}{2}, -1\right)$.

Comprueba analíticamente si el punto $M(-1, 2)$ es el punto medio del segmento de extremos $E(-4, 5)$ y $F(2, -1)$.

Los puntos $A(0, 4)$ y $B(4, 0)$ forman un segmento en el plano cartesiano. Calcula las coordenadas de su punto medio.

Dado el segmento de extremos $G(-3, 7)$ y $H(-3, -1)$, halla su punto medio e indica sobre qué eje o recta paralela a los ejes se encuentra dicho segmento.

Una lancha de salvamento navega en línea recta desde el punto $A(-15, 20)$ hasta el punto $B(45, -10)$ (coordenadas en metros). Si debe soltar una boya de señalización exactamente en la mitad de su recorrido, ¿en qué coordenadas lo hará?

Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos $P(-3, 5)$ y $Q(7, -1)$. Calcula las coordenadas del centro de la circunferencia y la medida de su radio.

Dos antenas de telefonía están situadas en las coordenadas $T_1(4,5; 8,2)$ y $T_2(-1,5; 3,4)$ en un plano topográfico a escala. Se quiere instalar un repetidor exactamente en el punto medio entre ambas. Calcula las coordenadas exactas donde debe situarse el repetidor.

Un rayo láser incide en una lente situada en el punto $L(2, 5)$. Si el punto de origen del láser es $O(-3, 1)$ y la lente actúa como punto de simetría central, calcula las coordenadas del punto $P$ donde impactará el láser tras atravesar la lente asumiendo que mantiene su trayectoria recta.

Dado el triángulo de vértices $A(-2, 1)$, $B(4, 5)$ y $C(2, -3)$, halla las coordenadas del punto medio del lado $BC$ y, a continuación, calcula la longitud de la mediana que parte del vértice $A$.

El punto medio del segmento $AB$ es $M(a, 3)$. Si conocemos las coordenadas de los extremos $A(-2, 5)$ y $B(6, b)$, plantea las ecuaciones correspondientes y calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$.

En un programa de diseño por ordenador, se traza un segmento desde $P_1(-4, -2)$ hasta $P_2(8, 6)$. El diseñador necesita colocar tres puntos en el segmento que lo dividan en cuatro partes exactamente iguales. Calcula las coordenadas del punto central de esos tres puntos de división.

Comprueba si el cuadrilátero de vértices $A(-1, 2)$, $B(3, 4)$, $C(4, 0)$ y $D(0, -2)$ es un paralelogramo. Para ello, calcula los puntos medios de sus dos diagonales y verifica si coinciden.

El diseño de un puente atirantado sitúa los anclajes de un cable en los puntos $A(2k, -4)$ y $B(6, k+2)$, siendo $k$ un parámetro desconocido. El punto medio del cable debe apoyarse sobre un pilar vertical situado exactamente sobre el eje de abscisas (es decir, su ordenada es $y=0$). Calcula el valor de $k$ y las coordenadas exactas del punto de apoyo.

Tres vértices consecutivos de una parcela topográfica con forma de paralelogramo son $A(-3, -1)$, $B(2, -2)$ y $C(5, 2)$. Utilizando la propiedad geométrica de que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio, calcula las coordenadas del cuarto vértice $D$.

El segmento $AB$ tiene su punto medio en $M(4, 3)$. Sabiendo que el extremo $A$ se encuentra sobre el eje de abscisas (eje X) y el extremo $B$ se encuentra sobre el eje de ordenadas (eje Y), plantea las ecuaciones correspondientes y determina las coordenadas exactas de $A$ y de $B$.

Un brazo robótico mueve una pieza en línea recta desde el punto $P_1(-8, 4)$ hasta $P_2(2, -6)$, y hace una pausa en el punto medio $M_1$. Luego, mueve la pieza desde $M_1$ hasta $P_3(10, 8)$, haciendo una nueva pausa en el punto medio $M_2$ del segmento $M_1 P_3$. Calcula las coordenadas exactas de $M_2$.

Dos masas puntuales se desplazan de tal forma que en un instante $t$ (en segundos) se encuentran en las posiciones $A(t, 2t-1)$ y $B(3t+2, -t+5)$. Encuentra la expresión de las coordenadas del centro de masas (punto medio $M$) en función del tiempo. ¿En qué instante $t$ el centro de masas cruzará el eje de ordenadas ($x=0$)?

Se desea dividir el segmento de extremos $A(-5, 1)$ y $B(7, 9)$ en cuatro partes de igual longitud utilizando exclusivamente el cálculo de puntos medios. Detalla el proceso y calcula las coordenadas de los tres puntos que dividen dicho segmento.

Dado el triángulo de vértices $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ y $C(2, 6)$, calcula los puntos medios de sus tres lados ($M_1$, $M_2$, $M_3$). A continuación, demuestra analíticamente calculando las distancias que el perímetro del triángulo formado por los puntos medios es exactamente la mitad del perímetro del triángulo original.

Un segmento en el plano cartesiano tiene por extremos los puntos genéricos $A(a, b)$ y $B(b, a)$, con $a \neq b$. Demuestra algebraicamente que el punto medio de dicho segmento siempre pertenece a la recta bisectriz del primer y tercer cuadrante (cuya ecuación es $y = x$), independientemente de los valores numéricos que tomen $a$ y $b$.