Ejercicios: Representación de funciones

Un taxista cobra una bajada de bandera de $3$ € y $1,5$ € por cada kilómetro recorrido. Escribe la expresión algebraica de la función que relaciona el coste del trayecto con los kilómetros recorridos.

Determina las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría de la parábola $f(x) = x^2 - 6x + 5$.

Indica cuáles son las asíntotas vertical y horizontal de la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{2}{x-3} + 4$.

En un concurso de preguntas, los puntos acumulados se duplican en cada ronda superada. Si comienzas con $100$ puntos, escribe la función exponencial $P(r)$ que proporciona los puntos en función del número de rondas $r$ superadas.

Dada la función definida a trozos $f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$, calcula los valores numéricos de $f(-2)$, $f(0)$ y $f(3)$.

Halla el dominio de definición de la función radical $f(x) = \sqrt{2x - 8}$.

Observa la gráfica de la recta y determina su pendiente, su ordenada en el origen y su expresión algebraica.

Determina el dominio de la función logarítmica $f(x) = \log_3(x - 5)$.

El beneficio de la venta de camisetas de la fiesta de fin de curso, en euros, viene dado por la función $B(x) = -2x^2 + 120x - 1000$, donde $x$ es el número de camisetas vendidas en cientos. ¿Cuántas camisetas deben vender para maximizar el beneficio y cuál es dicho beneficio máximo?

La siguiente gráfica muestra la velocidad de un ciclista en función del tiempo. Determina la expresión algebraica de la función definida a trozos que la representa.

El alquiler de un autobús para una excursión escolar cuesta $600$ €. Escribe la función $C(x)$ que determina el coste por alumno en función del número de alumnos $x$ que asistan. Si a última hora se dan de baja $5$ alumnos, escribe la nueva función de coste por alumno y halla cuánto pagará cada uno si originalmente iban a ir $30$ alumnos.

Se invierten $5000$ € en un depósito bancario que ofrece un interés compuesto anual del $4\%$. Escribe la función exponencial que modeliza el capital acumulado al cabo de $t$ años y calcula el capital disponible tras $5$ años.

El tiempo $t$ (en segundos) que tarda en caer al suelo un objeto que se suelta desde una altura $h$ (en metros) se aproxima con la función radical $t(h) = \sqrt{\frac{2h}{9,8}}$. Calcula el dominio de la función en este contexto y determina el tiempo que tarda en caer un objeto soltado desde $4,9$ metros de altura.

A partir de la parábola base $y = x^2$ (en trazo discontinuo), se ha realizado una traslación para obtener la parábola en trazo continuo. Escribe la expresión algebraica de la nueva parábola e indica el vector de traslación aplicado.

El nivel de intensidad sonora $L$, en decibelios (dB), se calcula mediante la función logarítmica $L(I) = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$, donde $I$ es la intensidad del sonido e $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ es el umbral de audición. Calcula el nivel de intensidad sonora de una conversación normal cuya intensidad es $I = 10^{-6} \text{ W/m}^2$.

La altura $h(t)$ en metros de una cabina de una noria de feria respecto al suelo en función del tiempo $t$ en minutos viene dada por $h(t) = 12 + 10\sin\left(\frac{\pi}{4}t\right)$. ¿Cuál es la altura máxima y mínima que alcanza la noria? ¿Cuánto tarda en dar una vuelta completa?

Expresa la función $f(x) = |x^2 - 5x + 6|$ como una función definida a trozos sin utilizar el valor absoluto. Indica en qué intervalos la función cuadrática original era negativa antes de aplicar el valor absoluto.

La trayectoria de un proyectil describe una parábola de ecuación $y = ax^2 + bx + c$. Sabiendo que el proyectil se lanza desde el punto $(0, 3)$, alcanza su altura máxima en el punto $(2, 7)$ y cae al suelo, halla la expresión algebraica de la parábola y determina a qué distancia horizontal del punto de lanzamiento impactará.

La gráfica muestra la intersección entre la recta $y = -x + 5$ y la hipérbola $y = \frac{4}{x}$. Calcula de forma analítica las coordenadas exactas de los puntos de corte $A$ y $B$.

La cantidad de Carbono-14 en un resto fósil disminuye exponencialmente según la función $N(t) = N_0 \cdot (0,5)^{\frac{t}{5730}}$, donde $N_0$ es la cantidad inicial y $t$ el tiempo en años. Si un hueso conserva solo el $12,5\%$ de su Carbono-14 original, ¿cuántos años han transcurrido?

Un granjero dispone de $120$ metros de valla para cercar un terreno rectangular adyacente a un río recto. Sabiendo que no necesita vallar el lado que da al río, escribe la función que proporciona el área del terreno en función de la anchura $x$ perpendicular al río. ¿Qué dimensiones maximizan el área y cuál es el área máxima?

Dada la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}$, halla la expresión de su función inversa $f^{-1}(x)$. Comprueba analíticamente que las asíntotas verticales y horizontales se intercambian entre $f(x)$ y $f^{-1}(x)$.

Determina los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ de la función racional $f(x) = \frac{ax + 2}{bx + c}$ sabiendo que tiene una asíntota vertical en $x = 1$, una asíntota horizontal en $y = 3$ y pasa por el punto $(2, 8)$.

El coste mensual de la factura del agua en un municipio se calcula mediante una función definida a trozos: una cuota fija de $10$ € que incluye los primeros $15 \text{ m}^3$, un coste de $0,5$ € por $\text{m}^3$ adicional para el consumo entre $15 \text{ m}^3$ y $30 \text{ m}^3$, y un coste de $1,2$ € por cada $\text{m}^3$ que exceda los $30 \text{ m}^3$. Escribe la expresión analítica de la función coste $C(x)$ en función de los metros cúbicos totales consumidos $x$.