Ejercicios: Distribuciones bidimensionales

Clasifica las siguientes relaciones entre variables bidimensionales como dependencia funcional o dependencia estadística (aleatoria):

1. a) La longitud del radio de una circunferencia y su área.
2. b) El número de horas de entrenamiento de un atleta y su marca en una carrera de $100$ metros.
3. c) El peso de un paquete de naranjas y su precio en el supermercado.
4. d) La edad de un árbol y su altura.

En un estudio sobre el clima y los hábitos en varias ciudades, se han analizado diferentes pares de variables. Indica si se espera una correlación positiva, negativa o nula en cada caso:

1. a) La altitud de la ciudad y la temperatura media anual.
2. b) La cantidad de lluvia anual y el número de paraguas vendidos.
3. c) El número de habitantes y la temperatura media anual.
4. d) Las horas de sol al año y el gasto en calefacción.

Para una distribución bidimensional $(X, Y)$ de $10$ pares de valores, se han obtenido las siguientes sumas tras tabular los datos: $\sum x_i = 40$, $\sum y_i = 60$ y $\sum x_i y_i = 280$. Calcula el valor de la covarianza de la distribución.

La recta de regresión que relaciona el número de horas de estudio semanal ($X$) con la calificación obtenida en un examen sobre $10$ ($Y$) viene dada por la ecuación $y = 0,6x + 2,5$.

1. a) ¿Qué calificación se estima para un alumno que ha estudiado $8$ horas?
2. b) Si un alumno quiere obtener una calificación estimada de $7$, ¿cuántas horas debería estudiar según este modelo?

Asocia cada uno de los siguientes valores del coeficiente de correlación lineal de Pearson ($r$) con la gráfica correspondiente en el diagrama inferior.

Valores: $r_1 = 0,98$, $r_2 = -0,92$, $r_3 = 0,05$, $r_4 = 0,45$.

Se ha medido el peso en kg ($X$) y la altura en cm ($Y$) de un grupo de $5$ amigos, obteniendo los siguientes pares de valores: $(60, 165)$, $(65, 170)$, $(70, 175)$, $(55, 160)$ y $(80, 180)$. Calcula las coordenadas exactas del centro de gravedad $(\bar{x}, \bar{y})$ de esta distribución bidimensional.

En un experimento de laboratorio se quiere comprobar cómo afecta la temperatura ($T$) a la solubilidad de una sal en agua ($S$).

1. a) Identifica cuál debe considerarse la variable independiente ($X$) y cuál la dependiente ($Y$) para hacer un estudio de regresión.
2. b) Si al aumentar la temperatura, la cantidad de sal disuelta aumenta proporcionalmente, ¿qué signo tendrá el coeficiente de correlación lineal?

El coeficiente de correlación lineal entre la talla de zapato de un grupo de estudiantes y la nota obtenida en el último examen de matemáticas es $r = 0,02$. Explica el significado de este valor. ¿Tiene sentido calcular la recta de regresión para predecir la nota a partir de la talla de zapato?

En un estudio de mercado sobre el precio de la vivienda ($Y$, en miles de euros) en función de su superficie ($X$, en metros cuadrados), se han obtenido los siguientes parámetros estadísticos:

• La covarianza es $\sigma_{xy} = 450$.

• La desviación típica de la superficie es $\sigma_x = 25$.

• La desviación típica del precio es $\sigma_y = 20$.

Calcula el coeficiente de correlación lineal e interpreta la fuerza y el sentido de la relación entre ambas variables.

Se ha preguntado a $6$ familias por sus ingresos mensuales en miles de euros ($X$) y su gasto mensual en ocio en cientos de euros ($Y$). Los resultados son los pares:

$(2, 3)$, $(2,5; 4)$, $(3, 4)$, $(4, 6)$, $(4,5; 7)$, $(5, 8)$.

1. a) Representa la nube de puntos en unos ejes coordenados.
2. b) Observando tu representación, estima si la correlación es fuerte o débil, y si es positiva o negativa.
3. c) Sin hacer cálculos complejos de regresión, ¿crees que la recta de regresión pasaría cerca del punto $(3,5; 5,3)$? Justifica tu respuesta calculando el centro de gravedad de la distribución.

Conocemos los siguientes datos de una distribución bidimensional referida a las ventas de una empresa ($Y$, en miles de unidades) según la inversión en publicidad ($X$, en miles de euros):

• Centro de gravedad: $(12, 40)$.

• Desviación típica de $X$: $\sigma_x = 3$.

• Desviación típica de $Y$: $\sigma_y = 5$.

• Coeficiente de correlación: $r = 0,9$.

Halla la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ en la forma $y = mx + n$.

La recta de regresión que relaciona la antigüedad de un modelo de coche en años ($X$) con su valor en el mercado de segunda mano en miles de euros ($Y$) es $y = -1,2x + 18$.

1. a) Estima el valor de un coche que tiene $5$ años de antigüedad.
2. b) Estima el valor de un coche que tiene $20$ años de antigüedad.
3. c) ¿Son igualmente fiables ambas estimaciones? Explica los riesgos lógicos y matemáticos de la extrapolación en el segundo caso.

Un estudio estadístico realizado durante un año en una ciudad costera muestra una fuerte correlación positiva entre las ventas mensuales de helados y el número de personas que sufren incidentes de ahogamiento en la playa.

1. a) ¿Significa esto que comer helados es la causa de los ahogamientos?
2. b) Identifica una posible "variable oculta" que explique el aumento simultáneo de ambas variables y justifique la correlación estadística encontrada.

Una pequeña empresa de software ha registrado el número de desarrolladores asignados a un proyecto ($X$) y el tiempo en meses que han tardado en finalizarlo ($Y$):

$X$: $2, 3, 5, 6$

$Y$: $8, 6, 3, 2$

1. a) Calcula la media de $X$ y la media de $Y$.
2. b) Calcula la covarianza de la distribución.
3. c) ¿La relación es directa o inversa? ¿Tiene sentido este resultado en el contexto del problema?

En una clase de 4º ESO se ha estudiado la relación entre la nota de Física ($X$) y la de Matemáticas ($Y$) de los $20$ alumnos matriculados. El centro de gravedad de la distribución es $(6,2; 6,5)$.

Si un nuevo alumno se incorpora a la clase y obtiene un $4$ en Física y un $5$ en Matemáticas, ¿cómo se desplazará el centro de gravedad de la nueva distribución de $21$ alumnos? (No es necesario calcular el valor exacto, sino razonar la dirección del cambio en ambas coordenadas).

Dadas las ecuaciones de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ ($y = 0,8x + 2,4$) y de la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ ($x = 0,5y + 3$) de una misma distribución bidimensional, determina las coordenadas del centro de gravedad $(\bar{x}, \bar{y})$. (Recuerda la propiedad geométrica que relaciona ambas rectas con el centro de gravedad).

Una empresa de transporte quiere analizar la relación entre la distancia recorrida en un trayecto ($X$, en decenas de km) y el consumo de combustible ($Y$, en litros). Los datos registrados en una muestra de $5$ camiones son:

$X$: $5, 10, 15, 20, 25$

$Y$: $12, 22, 30, 42, 49$

1. a) Calcula las medias $\bar{x}$ e $\bar{y}$.
2. b) Calcula las varianzas $\sigma_x^2$ y $\sigma_y^2$, y la covarianza $\sigma_{xy}$.
3. c) Halla el coeficiente de correlación lineal $r$.
4. d) Determina la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ y estima el consumo de combustible para un trayecto de $180$ km ($X=18$).

Se ha estudiado la relación entre las horas de entrenamiento semanal ($X$) y el tiempo en minutos en completar una prueba deportiva de resistencia ($Y$) en un grupo de atletas, obteniendo el siguiente diagrama de dispersión.

Al calcular el coeficiente de correlación con todos los datos, se obtiene una correlación débil ($r = -0,45$).

1. a) Observando la gráfica, identifica qué punto se considera un valor atípico (outlier).
2. b) Explica, razonando sobre el concepto de tendencia lineal, cómo afectaría la eliminación del "Atleta A" al valor numérico del coeficiente de correlación y a la pendiente de la recta de regresión.

En una pequeña localidad se ha recogido la información sobre el número de coches por familia ($X$) y el número de televisores por familia ($Y$), presentados en la siguiente tabla de doble entrada:

1. a) Obtén las distribuciones marginales de $X$ y de $Y$.
2. b) Calcula el centro de gravedad de la distribución $(\bar{x}, \bar{y})$.
3. c) Calcula la covarianza $\sigma_{xy}$.

Demuestra analíticamente que si la relación empírica entre dos variables $X$ e $Y$ es exactamente lineal y cumple $y_i = a x_i + b$ para todos los pares de valores (con $a > 0$), entonces la covarianza es $\sigma_{xy} = a \cdot \sigma_x^2$ y el coeficiente de correlación lineal es exactamente $r = 1$.

(Pista: recuerda que si $y_i = a x_i + b$, entonces la media cumple $\bar{y} = a \bar{x} + b$. Sustituye estas expresiones en la fórmula de la covarianza $\sigma_{xy} = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{N}$).

Se conocen las ecuaciones de las dos rectas de regresión de una distribución bidimensional:

Recta de $Y$ sobre $X$: $y = -1,2x + 10$

Recta de $X$ sobre $Y$: $x = -0,6y + 8$

1. a) Calcula las coordenadas del centro de gravedad $(\bar{x}, \bar{y})$.
2. b) Sabiendo que el coeficiente de correlación $r$ tiene el mismo signo que la pendiente de las rectas de regresión, y que se cumple la relación $r^2 = m_{yx} \cdot m_{xy}$ (donde $m_{yx}$ es la pendiente de la recta de $Y$ sobre $X$, y $m_{xy}$ es la pendiente de la recta de $X$ sobre $Y$), calcula el valor exacto de $r$.

La covarianza entre la variable $X$ (temperatura media diaria en grados Celsius) y la variable $Y$ (ventas de refrescos en euros) en un mes determinado es $\sigma_{xy} = 150$.

Si decidimos cambiar la unidad de medida de la temperatura a grados Fahrenheit usando la fórmula de conversión $F = 1,8C + 32$, responde razonadamente:

1. a) ¿Cuál será el nuevo valor de la covarianza $\sigma_{Fy}$ entre la temperatura en Fahrenheit y las ventas?
2. b) ¿El nuevo coeficiente de correlación lineal cambiará respecto al original? Justifica tu respuesta apelando a la fórmula de $r$.

Un agricultor quiere predecir la producción de su cosecha de tomates ($Y$, en toneladas). Tiene dos variables predictoras posibles: la cantidad de fertilizante usado ($X_1$, en kg) y el número de días de lluvia durante el cultivo ($X_2$).

Tras analizar datos históricos, obtiene los siguientes parámetros:

$\sigma_{x_1} = 10$, $\sigma_{x_2} = 4$, $\sigma_y = 5$.

Covarianza entre $X_1$ e $Y$: $\sigma_{x_1y} = 40$.

Covarianza entre $X_2$ e $Y$: $\sigma_{x_2y} = -18$.

1. a) Calcula el coeficiente de correlación lineal para cada par de variables: $(X_1, Y)$ y $(X_2, Y)$.
2. b) ¿Qué variable proporciona una predicción más fiable de la producción de tomates mediante un modelo lineal? Justifica tu decisión.

En una distribución bidimensional, se sabe que el centro de gravedad es el punto $(4, 7)$, la varianza de la variable $X$ es $\sigma_x^2 = 3$ y la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = 1,5x + 1$.

1. a) Comprueba analíticamente si el centro de gravedad pertenece a la recta dada.
2. b) A partir de la pendiente de la recta de regresión, calcula el valor de la covarianza $\sigma_{xy}$.
3. c) Si se sabe además que la varianza de $Y$ es $\sigma_y^2 = 8$, ¿cuál es el valor del coeficiente de correlación lineal $r$?