Ejercicios: Concepto de derivada

La siguiente tabla muestra el número de usuarios registrados en una nueva aplicación móvil durante sus primeros meses tras el lanzamiento:

• Mes 1: $100$ usuarios

• Mes 2: $250$ usuarios

• Mes 3: $500$ usuarios

• Mes 4: $850$ usuarios

• Mes 5: $1300$ usuarios

Calcular la Tasa de Variación Media (TVM) del número de usuarios entre los meses $2$ y $4$.

Dada la función polinómica $f(x) = 3x^2 - 2x$, calcular analíticamente su Tasa de Variación Media en el intervalo $[1, 4]$.

Observar la gráfica de la función $f(x)$ y la recta secante trazada entre los puntos de abscisa $x=1$ y $x=3$. Calcular visualmente la Tasa de Variación Media (TVM) en el intervalo $[1, 3]$ utilizando los valores proyectados en los ejes.

Utilizando la definición de derivada mediante el límite de la Tasa de Variación Media, $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$, calcular la derivada de la función $f(x) = x^2 + 3$ en el punto $x=2$.

Sabiendo que la derivada de una función $f(x)$ en el punto $x=4$ es $f'(4) = -2$, indicar razonadamente si la función es creciente o decreciente en dicho punto. Justificar brevemente qué significado geométrico tiene este valor respecto a la recta tangente a la curva en ese punto.

Calcular la derivada de la función afín $f(x) = 5x - 7$ en el punto $x=10$ aplicando la definición de derivada mediante límites. ¿Depende el resultado del punto elegido?

La posición de un ciclista en una pista recta viene dada por la función $s(t) = 3t^2 + 2t$ (donde $s$ se mide en metros y $t$ en segundos). Calcular la velocidad media del ciclista en el intervalo de tiempo comprendido entre $t=1$ y $t=4$ segundos.

A partir de la gráfica de la función $f(x)$ y su recta tangente en el punto de abscisa $x=2$, determinar el valor de la derivada $f'(2)$.

La distancia total recorrida por un ciclista que desciende un puerto de montaña (en metros) en función del tiempo viene dada por la función $e(t) = 150 + 2t + 0,5t^2$ ($t$ en segundos). Calcular la Tasa de Variación Media de la distancia cuando se pasa de $t = 20$ a $t = 30$ segundos e interpretar el significado físico del resultado obtenido (la velocidad media en ese tramo).

Hallar la ecuación de la recta secante a la curva $f(x) = -x^2 + 6x$ que pasa por los puntos de intersección de dicha curva con el eje de abscisas. (Nota: calcular previamente dichos puntos de corte).

Haciendo uso estricto de la definición de derivada mediante el cálculo del límite, encontrar el valor de $f'(1)$ para la función $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$.

Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la parábola $f(x) = x^2 - 4x + 5$ en el punto de abscisa $x=3$. Calcular primero la pendiente utilizando la definición de derivada con límites.

Un objeto se deja caer desde lo alto de un edificio. Su altura en metros tras $t$ segundos viene dada por la expresión $h(t) = 45 - 5t^2$. Calcular la velocidad instantánea del objeto exactamente en el instante $t=2$ segundos utilizando la definición de derivada.

Dada la función $f(x) = -2x^2 + 12x - 5$, determinar si la función es creciente o decreciente en $x=4$, calculando previamente la Tasa de Variación Instantánea en dicho punto mediante la definición de límite.

Observar la gráfica de la función $f(x)$ y su recta tangente trazada en el punto de abscisa $x=4$. Escribir la ecuación de la recta tangente y deducir el valor de $f'(4)$. ¿Qué ocurre con el crecimiento de la función exactamente en ese punto?

Dada la función $f(x) = x^2$, calcular la Tasa de Variación Media en los intervalos $[3; 3,1]$, $[3; 3,01]$ y $[3; 3,001]$. A la vista de los resultados obtenidos, deducir a qué valor numérico tiende la TVM cuando la amplitud del intervalo se acerca a cero y cómo se denomina matemáticamente a dicho valor.

El número de seguidores de un canal de vídeos viene dado por la expresión $S(x) = -0,1x^2 + 50x - 1000$, donde $x$ son los días transcurridos desde su lanzamiento. Calcular $S'(200)$ usando estrictamente la definición de derivada mediante límites, e interpretar qué indica este valor sobre el ritmo de crecimiento del canal en ese momento.

Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva $f(x) = \frac{6}{x}$ en el punto de abscisa $x=3$. Para ello, calcular previamente la pendiente aplicando la definición de derivada como el límite de la Tasa de Variación Media.

Encontrar en qué punto exacto de la parábola $f(x) = x^2 - 4x + 7$ la recta tangente a la curva es paralela a la recta de ecuación $y = 2x - 5$. Escribir las coordenadas completas $(x, y)$ de dicho punto.

Determinar los valores de los parámetros $a$ y $b$ de la función polinómica $f(x) = ax^2 + bx$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto $(2, 2)$ y que la pendiente de su recta tangente en $x=1$ es igual a $3$.

Calcular la derivada de la función con radicales $f(x) = \sqrt{x+5}$ en el punto $x=4$ utilizando la definición de derivada mediante el límite. (Sugerencia: para resolver el límite resultante, multiplica y divide por la expresión conjugada).

El vértice de una parábola corresponde al punto donde su recta tangente es estrictamente horizontal (pendiente igual a cero). Utilizando la definición de derivada mediante límites, hallar la coordenada $x$ del vértice de la parábola $f(x) = -2x^2 + 12x - 9$ igualando su derivada a cero.

El volumen de un cubo en función de la longitud de su arista $x$ viene dado por $V(x) = x^3$. Calcular la tasa de variación instantánea del volumen con respecto a la arista cuando $x=5$ cm, utilizando la definición de límite. Si el error al medir la arista es muy pequeño, ¿cómo afecta proporcionalmente al cálculo del volumen?

A partir de la gráfica de la función $f(x)$ y las tres rectas tangentes dibujadas en los puntos $A$, $B$ y $C$, ordenar los valores de las derivadas $f'(x_A)$, $f'(x_B)$ y $f'(x_C)$ de menor a mayor. Justificar la respuesta basándose en la pendiente geométrica de cada recta tangente.