Ejercicios: El principio de Arquímedes: el empuje

Enuncia con tus palabras el principio de Arquímedes: qué es el empuje, en qué dirección y sentido actúa y a qué es igual su valor.

Cuando te metes en la piscina tienes la sensación de pesar menos, como si el agua te sostuviera. ¿Qué fuerza aparece al sumergirte? ¿Quién la ejerce y hacia dónde empuja?

Un cubo sumergido del todo en agua desaloja un volumen de $0,002\ \text{m}^3$ (unos $2\ \text{L}$), como se muestra en la figura.

Calcula el empuje que recibe usando $E = d\cdot V\cdot g$. Datos: $d_{agua} = 1\,000\ \text{kg/m}^3$; toma $g = 10\ \text{m/s}^2$.

Sobre la mesa tienes un tapón de corcho ($d = 240\ \text{kg/m}^3$) y una tuerca de hierro ($d = 7\,870\ \text{kg/m}^3$). Sin hacer cálculos, predice cuál flotará y cuál se hundirá en agua ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$) y explica el criterio que has usado.

Un barco de acero de miles de toneladas flota, pero una pequeña bola de acero se hunde hasta el fondo. Si ambos son del mismo material, explica qué hace flotar al barco (piensa en su forma hueca y en su densidad media).

Dos botellas idénticas llenas de arena se sumergen por completo en agua, una a $1\ \text{m}$ de profundidad y otra a $5\ \text{m}$, como se muestra en la figura.

¿Recibe una más empuje que la otra? Justifícalo fijándote en las magnitudes de las que depende el empuje.

Los cubitos de hielo flotan en el vaso de agua. Sabiendo que la densidad del hielo es de unos $900\ \text{kg/m}^3$, explica por qué flotan y escribe la condición que debe cumplir la densidad de un cuerpo para que flote en un líquido.

Un globo aerostático asciende cuando el quemador calienta el aire de su interior. Explica qué le ocurre a la densidad del aire al calentarse y por qué el empuje del aire frío exterior acaba levantando el globo.

Un bloque de $3\ \text{kg}$ tiene un volumen de $0,004\ \text{m}^3$ y se sumerge por completo en agua ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$), como se muestra en la figura. Toma $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula su peso.
2. b) Calcula el empuje que recibe.
3. c) ¿Flota o se hunde? Indica qué fuerza neta actúa sobre él y hacia dónde.

Una piedra de $5\ \text{kg}$ y $0,001\ \text{m}^3$ de volumen cuelga de un dinamómetro y se sumerge por completo en agua, como se muestra en la figura. Datos: $d_{agua} = 1\,000\ \text{kg/m}^3$; toma $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula su peso real.
2. b) Calcula el empuje del agua.
3. c) ¿Qué valor marca el dinamómetro con la piedra sumergida? Explica por qué ese «peso aparente» es menor.

Una pieza metálica de $2\ \text{kg}$ tiene un volumen de $0,0005\ \text{m}^3$ ($0,5\ \text{L}$). Datos: $d_{agua} = 1\,000\ \text{kg/m}^3$; toma $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula su peso.
2. b) Calcula el empuje que recibe si se sumerge por completo en agua.
3. c) ¿Flota o se hunde? Calcula además su densidad y compárala con la del agua para confirmar tu respuesta.

Un tronco de $0,01\ \text{m}^3$ se sumerge por completo, primero en un lago y después en el mar. Toma $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula el empuje que recibe en el lago ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$).
2. b) Calcula el empuje que recibe en el mar ($d = 1\,025\ \text{kg/m}^3$).
3. c) Con esos resultados, explica por qué los bañistas flotan «más alto» en el mar que en una piscina.

Un bloque de madera de $6\ \text{kg}$ flota en equilibrio sobre el agua de una piscina ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$), como se muestra en la figura. Toma $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Si flota en equilibrio, ¿cuánto vale el empuje que recibe? Justifícalo.
2. b) Calcula el volumen de agua que desaloja, es decir, su volumen sumergido. Exprésalo en $\text{m}^3$ y en litros.

Un cubito de hielo ($d_{hielo} = 900\ \text{kg/m}^3$) flota en un vaso de agua ($d_{agua} = 1\,000\ \text{kg/m}^3$), como se muestra en la figura.

1. a) En equilibrio, el peso del hielo iguala al empuje: $d_{hielo}\cdot V\cdot g = d_{agua}\cdot V_{sum}\cdot g$. Simplifica la expresión y despeja la fracción sumergida $\frac{V_{sum}}{V}$.
2. b) Calcula qué porcentaje del cubito queda bajo el agua y qué porcentaje sobresale.
3. c) Relaciona el resultado con la expresión «esto es solo la punta del iceberg».

Un objeto pesa $12\ \text{N}$ en el aire y, al sumergirlo por completo en agua, el dinamómetro marca $8\ \text{N}$. Datos: $d_{agua} = 1\,000\ \text{kg/m}^3$; toma $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) ¿Cuánto vale el empuje que recibe?
2. b) Calcula el volumen del objeto.
3. c) Con su peso real y su volumen, calcula su densidad en $\text{kg/m}^3$.

Un huevo de $60\ \text{g}$ tiene un volumen de $55\ \text{cm}^3$. Toma $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula su peso en newtons (cuidado con las unidades).
2. b) Calcula el empuje que recibe al sumergirlo del todo en agua del grifo ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$) y deduce si flota o se hunde.
3. c) Al disolver mucha sal, el agua alcanza una densidad de $1\,200\ \text{kg/m}^3$: calcula el nuevo empuje y explica por qué ahora el huevo flota.

Un yate de $4\,000\ \text{kg}$ flota en el mar ($d = 1\,025\ \text{kg/m}^3$). Toma $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula su peso y razona cuánto vale el empuje que recibe al flotar en equilibrio.
2. b) Calcula el volumen sumergido del casco.
3. c) El yate entra en un río de agua dulce ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$): calcula el nuevo volumen sumergido y explica si el barco navega más alto o más bajo en el agua.

Un iceberg de $10\,000\ \text{m}^3$ flota en el mar. Datos: $d_{hielo} = 900\ \text{kg/m}^3$, $d_{mar} = 1\,025\ \text{kg/m}^3$.

1. a) Calcula qué fracción de su volumen queda sumergida (recuerda: en equilibrio, $\frac{V_{sum}}{V} = \frac{d_{hielo}}{d_{mar}}$).
2. b) ¿Qué volumen del iceberg sobresale del agua?
3. c) Con esos resultados, explica por qué los icebergs son tan peligrosos para la navegación aunque la parte visible parezca pequeña.

Un submarino de $800\ \text{t}$ ($800\,000\ \text{kg}$) navega totalmente sumergido, en equilibrio, en el mar ($d = 1\,025\ \text{kg/m}^3$), como se muestra en la figura. Toma $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) ¿Cuánto vale el empuje que recibe? Justifícalo a partir de la condición de equilibrio.
2. b) Calcula el volumen de agua que desaloja, es decir, el volumen del submarino.
3. c) Para emerger, el submarino expulsa el agua de mar de sus tanques de lastre y la sustituye por aire: explica qué magnitud cambia, si el peso o el empuje, y por qué eso le hace subir.

Un globo aerostático tiene un volumen de $2\,000\ \text{m}^3$, como se muestra en la figura. El aire exterior tiene una densidad de $1,2\ \text{kg/m}^3$ y el aire caliente del interior, de $1,0\ \text{kg/m}^3$. Toma $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula el empuje que ejerce el aire exterior sobre el globo.
2. b) Calcula el peso del aire caliente que llena el globo.
3. c) La diferencia entre ambos es la fuerza disponible para levantar la envoltura, la cesta y los pasajeros: ¿qué masa máxima pueden tener en conjunto para que el globo ascienda?

Una corona de $1\ \text{kg}$ debería ser de oro puro ($d_{oro} = 19\,300\ \text{kg/m}^3$). La pesas sumergida en agua y el dinamómetro marca $9,2\ \text{N}$. Datos: $d_{agua} = 1\,000\ \text{kg/m}^3$; toma $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) ¿Qué volumen ocuparía la corona si fuera de oro puro? Exprésalo en $\text{cm}^3$.
2. b) A partir de la lectura del dinamómetro, calcula el empuje real y el volumen real de la corona.
3. c) Calcula la densidad real de la corona y decide si es de oro puro o está aleada con un metal menos denso, como sospechaba Arquímedes.

Una balsa de corcho ($d = 240\ \text{kg/m}^3$) tiene un volumen de $0,5\ \text{m}^3$ y flota en agua ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$). Toma $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) ¿Qué fracción de la balsa queda sumergida cuando flota sola?
2. b) Calcula el empuje máximo que puede proporcionar la balsa, es decir, estando totalmente sumergida.
3. c) Calcula el peso de la propia balsa y deduce qué masa máxima puede cargar encima sin hundirse del todo.

Un globo de fiesta contiene $5\ \text{L}$ de helio ($0,005\ \text{m}^3$). Datos: $d_{aire} = 1,2\ \text{kg/m}^3$, $d_{helio} = 0,18\ \text{kg/m}^3$; toma $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula el empuje que ejerce el aire sobre el globo.
2. b) Calcula el peso del helio que lo llena.
3. c) La envoltura del globo tiene una masa de $3\ \text{g}$: ¿qué masa extra (cinta, adornos) puede llevar como máximo para seguir ascendiendo?
4. d) Explica por qué el globo deja de subir al alcanzar cierta altura (piensa en cómo cambia la densidad del aire con la altitud).

Una persona de $70\ \text{kg}$ flota en equilibrio, primero en una piscina ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$) y después en el mar Muerto ($d = 1\,240\ \text{kg/m}^3$).

1. a) Escribe la condición de equilibrio $P = E$ con la masa de la persona y el volumen sumergido, y comprueba que, al simplificar, se obtiene $V_{sum} = \frac{m}{d}$: ni siquiera hace falta conocer $g$.
2. b) Calcula el volumen sumergido en la piscina y exprésalo en litros.
3. c) Calcula el volumen sumergido en el mar Muerto y explica, comparando ambos resultados, por qué allí se flota «como un corcho» y es casi imposible hundirse.