Ejercicios: Ecuaciones y gráficas del movimiento

La gráfica $x$-$t$ de un móvil es una línea horizontal en $x = 5\ \text{m}$ durante $10\ \text{s}$. Se muestra en la figura.

1. a) ¿Cómo está el móvil durante ese tiempo?
2. b) ¿Cuánto vale su velocidad? Justifícalo a partir de la pendiente de la gráfica.

La gráfica $x$-$t$ de un peatón es una recta que pasa por los puntos $(0, 2)$ y $(4, 10)$, con $x$ en metros y $t$ en segundos. Se muestra en la figura.

1. a) Calcula la pendiente de la recta e indica qué magnitud representa.
2. b) Escribe la ecuación de posición del peatón.

La gráfica $v$-$t$ de un ciclista es una línea horizontal en $v = 6\ \text{m/s}$ desde $t = 0$ hasta $t = 5\ \text{s}$. Se muestra en la figura.

1. a) ¿Qué tipo de movimiento describe?
2. b) Calcula la distancia recorrida usando el área bajo la gráfica.

La gráfica $v$-$t$ de un coche es una recta que une los puntos $(0, 0)$ y $(4, 12)$, con $v$ en $\text{m/s}$ y $t$ en segundos. Se muestra en la figura.

1. a) Calcula la pendiente de la recta e indica qué magnitud representa.
2. b) ¿Cuál es su valor con su unidad?

Completa las siguientes frases sobre las gráficas del movimiento:

1. a) La pendiente de una gráfica $x$-$t$ representa la $\dots$
2. b) La pendiente de una gráfica $v$-$t$ representa la $\dots$
3. c) El área bajo una gráfica $v$-$t$ representa la $\dots$ recorrida.

La gráfica $a$-$t$ de un móvil es una línea horizontal en $a = 2\ \text{m/s}^2$ desde $t = 0$ hasta $t = 6\ \text{s}$, como se muestra en la figura.

Si el móvil parte del reposo, calcula su velocidad a los $6\ \text{s}$ usando el área bajo la gráfica $a$-$t$.

Un compañero te muestra dos gráficas $x$-$t$: en la primera, la posición crece siguiendo una recta inclinada; en la segunda, la posición crece siguiendo una curva cada vez más empinada. Se muestran en la figura.

1. a) ¿Cuál corresponde a un movimiento uniforme y cuál a uno acelerado?
2. b) Explica, en cada caso, qué le ocurre a la velocidad.

La gráfica $v$-$t$ de un coche es una recta que une los puntos $(0, 20)$ y $(5, 0)$, con $v$ en $\text{m/s}$ y $t$ en segundos. Se muestra en la figura.

1. a) ¿El coche acelera o frena? Justifícalo.
2. b) Calcula su aceleración a partir de la pendiente.

La gráfica $x$-$t$ de una excursión a pie tiene tres tramos rectos: de $(0, 0)$ a $(10, 50)$, de $(10, 50)$ a $(15, 50)$ y de $(15, 50)$ a $(25, 0)$, con $x$ en metros y $t$ en segundos. Se muestra en la figura.

1. a) Calcula la velocidad de cada tramo.
2. b) Interpreta cada tramo: ¿qué hacen los excursionistas en cada uno?
3. c) ¿Cuánto dura la excursión completa?

La gráfica $v$-$t$ de un coche tiene tres tramos: de $(0, 0)$ a $(10, 20)$, de $(10, 20)$ a $(30, 20)$ y de $(30, 20)$ a $(40, 0)$, con $v$ en $\text{m/s}$ y $t$ en segundos. Se muestra en la figura.

1. a) Calcula la aceleración de cada tramo.
2. b) Calcula la distancia recorrida en cada tramo mediante las áreas (triángulos y rectángulo) bajo la gráfica.
3. c) ¿Cuál es la distancia total?

Midiendo la posición de un carrito de laboratorio se obtienen estos datos: a $t = 0\ \text{s}$, $x = 3\ \text{m}$; a $t = 1\ \text{s}$, $x = 5\ \text{m}$; a $t = 2\ \text{s}$, $x = 7\ \text{m}$; a $t = 3\ \text{s}$, $x = 9\ \text{m}$.

1. a) Representa los puntos en una gráfica $x$-$t$ en tu cuaderno y comprueba que están alineados.
2. b) Deduce la ecuación de posición del carrito.
3. c) Predice su posición cuando $t = 10\ \text{s}$.

La posición de un móvil, en unidades del Sistema Internacional, es $x = 10 - 3 \cdot t$.

1. a) Calcula su posición en $t = 0\ \text{s}$, $t = 1\ \text{s}$ y $t = 2\ \text{s}$.
2. b) Describe la gráfica $x$-$t$: ¿es ascendente o descendente? ¿Qué indica la pendiente negativa?
3. c) Calcula en qué instante pasa por el origen, redondeando a un decimal.

La gráfica $v$-$t$ de un coche es una recta que une los puntos $(0, 5)$ y $(6, 17)$, con $v$ en $\text{m/s}$ y $t$ en segundos. Se muestra en la figura.

1. a) Calcula la aceleración.
2. b) Escribe la ecuación de la velocidad y calcula $v$ cuando $t = 3\ \text{s}$.
3. c) Calcula la distancia recorrida en los $6\ \text{s}$ dividiendo el área bajo la gráfica en un rectángulo y un triángulo.

En una gráfica $x$-$t$ conjunta, el móvil A sigue la recta $x_A = 4 \cdot t$ y el móvil B la recta $x_B = 20 + t$, en unidades del Sistema Internacional.

1. a) Dibuja las dos rectas en tu cuaderno.
2. b) ¿Qué significa el punto donde se cortan?
3. c) Calcula el instante y la posición de corte, redondeados a un decimal.

La gráfica $a$-$t$ de un móvil que parte del reposo es: $a = 3\ \text{m/s}^2$ de $t = 0$ a $t = 4\ \text{s}$, y $a = 0$ de $t = 4\ \text{s}$ a $t = 10\ \text{s}$. Se muestra en la figura.

1. a) Calcula la velocidad a los $4\ \text{s}$ usando el área bajo la gráfica $a$-$t$.
2. b) ¿Qué velocidad lleva a los $10\ \text{s}$? Justifícalo.
3. c) Dibuja en tu cuaderno la gráfica $v$-$t$ correspondiente.

La gráfica $v$-$t$ de una ciclista tiene tres tramos rectos que unen los puntos $(0, 0)$, $(5, 10)$, $(15, 10)$ y $(20, 0)$, con $v$ en $\text{m/s}$ y $t$ en segundos.

1. a) Describe con palabras lo que hace la ciclista en cada tramo.
2. b) Calcula la distancia total recorrida mediante las áreas bajo la gráfica.

La gráfica $v$-$t$ de un tren de metro entre dos estaciones es: acelera de $0$ a $15\ \text{m/s}$ en $30\ \text{s}$, mantiene $15\ \text{m/s}$ durante $60\ \text{s}$ y frena hasta pararse en $15\ \text{s}$. Se muestra en la figura.

1. a) Calcula la aceleración de cada tramo.
2. b) Calcula la distancia de cada tramo y la distancia total entre las estaciones.
3. c) Calcula la velocidad media del trayecto, redondeada a un decimal.

Al medir la posición de un carrito que baja por un plano inclinado se obtiene: a $t = 0\ \text{s}$, $x = 0\ \text{m}$; a $t = 1\ \text{s}$, $x = 1\ \text{m}$; a $t = 2\ \text{s}$, $x = 4\ \text{m}$; a $t = 3\ \text{s}$, $x = 9\ \text{m}$.

1. a) Comprueba que los datos cumplen la relación $x = t^2$ y, comparándola con $x = \frac{1}{2} a \cdot t^2$, deduce la aceleración del carrito.
2. b) Predice su posición cuando $t = 5\ \text{s}$.
3. c) Calcula cuánto avanza en cada segundo ($0$-$1\ \text{s}$, $1$-$2\ \text{s}$, $2$-$3\ \text{s}$) y explica, a partir de esos valores, por qué la gráfica $x$-$t$ es una curva y no una recta.

En una misma gráfica $v$-$t$, el coche A es una línea horizontal en $v = 20\ \text{m/s}$ y el coche B es una recta que sale del origen con aceleración $a = 4\ \text{m/s}^2$, como se muestra en la figura. Ambos parten del mismo punto a la vez.

1. a) Calcula el instante en que las dos líneas de la gráfica se cruzan.
2. b) Calcula la distancia que ha recorrido cada coche hasta ese instante, usando las áreas. ¿Están juntos?
3. c) Calcula el instante en que B alcanza realmente a A igualando las ecuaciones de posición.
4. d) Explica la diferencia entre «cruce de las gráficas $v$-$t$» y «alcance»: ¿qué es igual en cada caso?

La gráfica $v$-$t$ de un móvil tiene dos tramos: una recta de $(0, 0)$ a $(4, 8)$ y una horizontal en $v = 8\ \text{m/s}$ de $t = 4\ \text{s}$ a $t = 10\ \text{s}$, con $v$ en $\text{m/s}$.

1. a) Calcula la distancia recorrida en cada tramo.
2. b) Calcula la posición en $t = 2\ \text{s}$, $t = 4\ \text{s}$ y $t = 10\ \text{s}$ (toma el origen como posición inicial).
3. c) Con esos valores, describe la forma de la gráfica $x$-$t$: ¿qué tramo es curvo y qué tramo es recto? Justifícalo.

La gráfica $x$-$t$ de un móvil es una recta que une los puntos $(0, 50)$ y $(10, 0)$, con $x$ en metros y $t$ en segundos. Se muestra en la figura.

1. a) Escribe su ecuación de posición.
2. b) Explica qué significan la posición inicial y el signo de la pendiente.
3. c) Calcula la posición cuando $t = 14\ \text{s}$ y explica el significado físico de que sea negativa.
4. d) ¿En qué instante se encuentra en $x = -50\ \text{m}$?

La gráfica $x$-$t$ de un paseo es: una recta de $(0, 0)$ a $(4, 40)$ y otra de $(4, 40)$ a $(8, 0)$, con $x$ en metros y $t$ en segundos. Se muestra en la figura.

1. a) Calcula la velocidad de cada tramo.
2. b) Calcula la distancia total recorrida y el desplazamiento total.
3. c) Calcula la velocidad media (desplazamiento entre tiempo) y la rapidez media (distancia entre tiempo).
4. d) Explica por qué una de las dos sale cero y la otra no.

Un móvil parte del reposo. Su gráfica $a$-$t$ es: $a = 4\ \text{m/s}^2$ de $t = 0$ a $t = 5\ \text{s}$, y $a = -2\ \text{m/s}^2$ de $t = 5\ \text{s}$ a $t = 15\ \text{s}$. Se muestra en la figura.

1. a) Calcula la velocidad máxima que alcanza y en qué instante.
2. b) Calcula la velocidad a los $15\ \text{s}$.
3. c) Dibuja en tu cuaderno la gráfica $v$-$t$ y calcula la distancia total recorrida mediante su área.
4. d) Describe con palabras el movimiento completo.

Un compañero dibuja una gráfica $x$-$t$ en la que un tramo es una línea vertical y afirma que representa un cambio de posición instantáneo.

1. a) Explica por qué una gráfica $x$-$t$ no puede tener un tramo vertical: ¿qué implicaría sobre la posición del móvil en un mismo instante y sobre su velocidad?
2. b) Por el mismo motivo, razona si la gráfica $x$-$t$ puede «retroceder» hacia la izquierda en el eje del tiempo.
3. c) Dibuja en tu cuaderno una gráfica $x$-$t$ correcta para esta situación: una persona sale de casa, se para un rato a hablar con un vecino y vuelve a casa. Justifica la forma de cada tramo.