Ejercicios: Semejanza de triángulos

Comprueba si un triángulo rectángulo con un ángulo agudo de $35^\circ$ es semejante a otro triángulo rectángulo con un ángulo agudo de $55^\circ$. Justifica tu respuesta utilizando los criterios de semejanza.

Los lados de un triángulo miden $5 \text{ cm}$, $7 \text{ cm}$ y $9 \text{ cm}$. Se construye un triángulo semejante a él cuyo lado menor mide $15 \text{ cm}$. Calcula la longitud de los otros dos lados del nuevo triángulo.

En la figura adjunta, el segmento $BC$ es paralelo a $DE$. Sabiendo que $AB = 6 \text{ cm}$, $BC = 8 \text{ cm}$ y $DE = 12 \text{ cm}$, calcula la longitud del segmento $BD$ (marcado como $x$).

El perímetro de un triángulo $T_1$ es de $24 \text{ cm}$. Se construye un triángulo $T_2$ semejante a $T_1$ con una razón de semejanza $k = 3$. ¿Cuál es el perímetro del triángulo $T_2$?

El área de un triángulo es de $10 \text{ cm}^2$. Si dibujamos un triángulo semejante en el que cada lado mide el doble que los lados del original, ¿cuál será el área del nuevo triángulo?

Un poste vertical de $2 \text{ m}$ de altura proyecta una sombra de $1,5 \text{ m}$ sobre el suelo plano. En ese mismo instante, un edificio cercano proyecta una sombra de $12 \text{ m}$. Calcula la altura del edificio.

La figura ilustra la situación descrita:

En el triángulo rectángulo de la figura, la altura relativa a la hipotenusa divide a esta en dos segmentos de longitudes $4 \text{ cm}$ y $9 \text{ cm}$. Calcula el valor de dicha altura $h$.

En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide $10 \text{ cm}$ y la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa mide $3,6 \text{ cm}$. Aplica el teorema del cateto para calcular la longitud de dicho cateto.

Para calcular la altura de un edificio, un estudiante coloca un espejo en el suelo a $15 \text{ m}$ de la base del edificio. Retrocede $2 \text{ m}$ hasta que, de pie, puede ver la cima del edificio reflejada en el espejo. Si los ojos del estudiante están a $1,6 \text{ m}$ del suelo, calcula la altura $h$ del edificio.

Dos topógrafos quieren medir la anchura de un río (distancia $d$ entre orillas paralelas). Clavan estacas en su orilla separadas $20 \text{ m}$. En la orilla opuesta, identifican dos árboles separados $40 \text{ m}$. Trazan visuales cruzadas que se intersecan en un punto $P$. Si la distancia perpendicular desde $P$ hasta la orilla de los topógrafos es de $15 \text{ m}$, ¿cuál es la anchura total $d$ del río? (Nota: asume que los segmentos de $20 \text{ m}$ y $40 \text{ m}$ son paralelos entre sí).

Un campo de forma triangular tiene un área de $450 \text{ m}^2$ y su base mide $30 \text{ m}$. Se quiere dibujar un plano del campo en el que el área del triángulo dibujado sea de $18 \text{ cm}^2$. ¿Cuánto medirá la base del triángulo en el plano?

Una persona que mide $1,70 \text{ m}$ de altura se aleja de una farola. Cuando se encuentra a $3 \text{ m}$ de la base de la farola, su sombra, proyectada en el suelo, mide $2 \text{ m}$. Calcula la altura total de la farola.

La figura resume los datos del problema:

Los catetos de un triángulo rectángulo miden $15 \text{ cm}$ y $20 \text{ cm}$. Calcula la longitud de las proyecciones de ambos catetos sobre la hipotenusa utilizando relaciones de semejanza o los teoremas derivados de ellas.

El logotipo de una empresa es un triángulo isósceles cuyos lados miden $10 \text{ cm}$, $10 \text{ cm}$ y $12 \text{ cm}$ (base). Por motivos de diseño, se traza una línea paralela a la base a una distancia de $3 \text{ cm}$ del vértice opuesto. Calcula el área del pequeño triángulo que se forma en la parte superior.

En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa mide $4,8 \text{ cm}$ y la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa mide $3,6 \text{ cm}$. Calcula el perímetro completo del triángulo rectángulo original.

Una cámara de fotos tiene su sensor a una distancia de $50 \text{ mm}$ del centro óptico de la lente. Si se enfoca a un árbol que tiene una altura de $4 \text{ m}$ y la imagen proyectada invertida en el sensor tiene una altura de $10 \text{ mm}$, ¿a qué distancia de la lente se encuentra el árbol?

En un triángulo rectángulo de catetos $8 \text{ cm}$ y $6 \text{ cm}$, se inscribe un cuadrado de lado $x$ de tal forma que uno de los vértices del cuadrado coincide con el vértice del ángulo recto, y el vértice opuesto descansa sobre la hipotenusa. Calcula la longitud del lado $x$ del cuadrado utilizando semejanza de triángulos.

Dos postes verticales de alturas $4 \text{ m}$ y $6 \text{ m}$ están separados por una distancia de $10 \text{ m}$ sobre un terreno plano. Se tienden dos cables tensos: uno desde la cima del primer poste hasta la base del segundo, y otro desde la cima del segundo poste hasta la base del primero. ¿A qué altura $h$ del suelo se cruzan ambos cables? ¿Depende el resultado de la distancia de $10 \text{ m}$?

En un triángulo $ABC$, se traza un segmento $MN$ paralelo al lado $BC$, con $M$ en $AB$ y $N$ en $AC$. Las longitudes de los segmentos formados son: $AM = x$, $MB = x+2$, $AN = x+1$ y $NC = x+4$. Determina el valor de $x$ y las longitudes totales de los lados $AB$ y $AC$.

Un depósito tiene forma de cono circular recto invertido (el vértice apunta hacia abajo). El radio de su base mide $3 \text{ m}$ y su altura es de $4 \text{ m}$. En su interior se quiere inscribir un cilindro recto apoyado en el fondo (es decir, el centro de la base inferior del cilindro coincide con el vértice del cono). Si el radio del cilindro es $r$, expresa la altura $h$ del cilindro en función de $r$ utilizando semejanza de triángulos.

En un trapecio $ABCD$ con bases $AB = 10 \text{ cm}$ y $CD = 4 \text{ cm}$, las diagonales $AC$ y $BD$ se intersecan en el punto $O$. Si el área del triángulo $COD$ es de $12 \text{ cm}^2$, calcula el área del triángulo $AOB$ y demuestra tu razonamiento.

Un triángulo de área $S$ se corta por dos rectas paralelas a su base de tal forma que la altura del triángulo original queda dividida en tres partes iguales. Esto divide la figura en un triángulo pequeño superior, un trapecio central y un trapecio inferior. Determina qué fracción del área total $S$ corresponde al trapecio central.

Demuestra, utilizando el teorema del cateto y el teorema de la altura (o el área del triángulo), que en cualquier triángulo rectángulo de catetos $b$ y $c$, y altura sobre la hipotenusa $h$, se cumple la siguiente relación:

Un conductor está sentado en su coche. Sus ojos se encuentran a $1,2 \text{ m}$ del suelo. El morro del coche es horizontal, tiene una longitud de $1,5 \text{ m}$ (distancia horizontal desde los ojos hasta el extremo delantero) y una altura de $0,8 \text{ m}$. Calcula la distancia mínima $d$ por delante del coche a la que debe estar un objeto en el suelo para que el conductor pueda verlo (es decir, la longitud del "punto ciego" delantero).