Ejercicios: Tendencia y periodicidad

Observa la siguiente gráfica que representa la oscilación de un péndulo a lo largo del tiempo $t$ (en segundos), midiendo su desplazamiento $d$ (en centímetros) respecto a la posición de equilibrio.

Determina el periodo de la función periódica representada, su amplitud, y los valores máximo y mínimo que alcanza.

Observa la siguiente gráfica que representa el nivel de agua en un tanque (en metros) a lo largo del tiempo (en segundos). Determina el periodo de la función representada y calcula cuál será el nivel del agua en $t = 45$ y en $t = 50$.

Una máquina de envasado industrial emite un pitido de advertencia cada $45$ segundos de forma constante. Si el primer pitido se produce en el instante $t = 0$, determina si la máquina emitirá un pitido en $t = 300$ segundos y en $t = 360$ segundos.

Dada la función racional $f(x) = \frac{3x + 1}{x + 2}$, calcula los valores de $f(10)$, $f(100)$ y $f(1000)$. A partir de estos resultados, deduce a qué valor tiende la función cuando $x$ se hace infinitamente grande.

Una función $f(x)$ es estrictamente periódica y su periodo es $T = 6$. Se conocen los siguientes valores en su primer ciclo: $f(2) = 5$, $f(4) = -1$ y $f(6) = 3$. Calcula los valores exactos de $f(26)$ y $f(40)$.

La temperatura de una taza de café recién servida es de $80^\circ\text{C}$. Al dejarla reposar en una habitación, su temperatura disminuye con el tiempo, modelizándose mediante una función $T(t)$ que presenta una asíntota horizontal en $y = 22$. ¿Qué significado físico tiene este valor de $22$ en el contexto del problema?

Indica cuál es el periodo exacto de las funciones trigonométricas elementales $f(x) = \text{sen}(x)$ y $g(x) = \text{cos}(x)$. Si $\text{sen}(\frac{\pi}{6}) = 0,5$, ¿cuál será el valor de $\text{sen}(\frac{13\pi}{6})$?

La luz de un faro marítimo gira a velocidad constante, dando una vuelta completa cada $12$ segundos. Si en el instante $t = 3$ segundos el haz de luz ilumina directamente a un barco cercano, ¿en qué otros instantes exactos durante el primer minuto ($60$ segundos) volverá a iluminarlo?

Observa la gráfica de la función $T(t)$, que representa la evolución de la temperatura de un componente electrónico de un servidor en función del tiempo de encendido. ¿A qué valor tiende la temperatura a largo plazo?

Una función $f(x)$ es periódica de periodo $T = 8$. En el intervalo $[0, 8)$, la función está definida a trozos de la siguiente manera: $f(x) = 2x$ si $0 \le x < 4$, y $f(x) = 12 - x$ si $4 \le x < 8$. Calcula los valores exactos de $f(45)$ y $f(100)$.

La población de una especie de ave introducida en una isla sigue el modelo matemático $P(t) = \frac{1500t + 200}{3t + 1}$, donde $t$ representa el tiempo transcurrido en años desde su introducción. Determina cuál fue la población inicial de aves y calcula a qué valor tiende la población a largo plazo cuando $t$ se hace muy grande.

Un electrocardiograma registra la actividad eléctrica del corazón humano, mostrando un patrón que se repite de forma cíclica. Si la distancia temporal entre dos picos R consecutivos (un ciclo cardíaco completo) es de $0,8$ segundos, ¿cuántas pulsaciones por minuto tiene el paciente en reposo? Si se registra un pico exacto en $t = 1,2$ segundos, ¿en qué instante se registrará el pico número $50$ a partir de ese momento?

El nivel del agua en un puerto marítimo varía debido a las mareas siguiendo una función periódica. Sabiendo que a lo largo de un día el nivel máximo de agua (pleamar) se alcanza exactamente a las 02:00 h y a las 14:30 h, determina el periodo exacto de las mareas en este puerto. Si este patrón se mantiene inalterado, ¿a qué hora se alcanzará el primer nivel máximo del día siguiente?

El valor económico de una máquina industrial se deprecia con el paso del tiempo según la función exponencial $V(t) = 50000 \cdot 0,85^t + 2000$, donde $t$ son los años de uso y $V(t)$ el valor en euros. ¿Cuál es el valor de la máquina cuando se compra nueva ($t=0$)? ¿Cuál es la tendencia del valor de la máquina cuando el tiempo de uso se hace infinitamente grande? Explica el significado económico de este límite.

Determina el periodo exacto de las siguientes funciones trigonométricas combinadas, razonando tu respuesta a partir de las propiedades de las funciones seno y coseno: $f(x) = \text{sen}(4x)$ y $g(x) = \text{cos}\left(\frac{x}{3}\right)$.

Una noria de un parque de atracciones tiene un diámetro de $40$ metros y su eje central se encuentra a $22$ metros de altura respecto al suelo. La noria gira a velocidad constante y tarda exactamente $4$ minutos en dar una vuelta completa. Si una persona sube a la cabina en la parte más baja en el instante $t = 0$, determina a qué altura exacta respecto al suelo se encontrará en $t = 11$ minutos.

Una función $f(x)$ es estrictamente periódica de periodo $T = 5$ y además presenta simetría impar. Sabiendo que $f(1) = 4$ y $f(2) = -3$, determina de forma justificada los valores de $f(-4)$ y $f(13)$.

La concentración de un medicamento en el torrente sanguíneo (medida en mg/L) a las $t$ horas de su administración intravenosa viene dada por la función $C(t) = \frac{50t}{t^2 + 9}$. Analiza la tendencia de esta concentración a largo plazo. ¿Existe algún momento en el futuro en el que la concentración se estabilice en un valor constante distinto de cero, o terminará desapareciendo por completo del organismo? Justifica tu respuesta matemáticamente.

Dos faros costeros, A y B, emiten destellos luminosos para guiar a los barcos. El faro A emite un destello cada $15$ segundos y el faro B lo hace cada $24$ segundos. Si a las 22:00:00 ambos faros emiten un destello de forma totalmente simultánea, ¿cuántas veces volverán a coincidir sus destellos en la siguiente hora? ¿A qué hora exacta (horas, minutos y segundos) se producirá la décima coincidencia después de las 22:00:00?

La posición de una masa colgada de un muelle que oscila con rozamiento se modeliza mediante la función amortiguada $x(t) = 10 \cdot 0,9^t \cdot \text{cos}(\pi t)$, con $t$ medido en segundos y $x(t)$ en centímetros. Observa su gráfica. ¿Es esta función estrictamente periódica? ¿A qué valor tiende la posición $x(t)$ cuando $t$ se hace muy grande y qué significa físicamente este límite?

Sea una función periódica $f(x)$ de periodo $T = 4$, que en el intervalo $[0, 4)$ está definida por la expresión cuadrática $f(x) = -x^2 + 4x$. Demuestra analíticamente si $f(x)$ es o no simétrica respecto a la recta vertical $x = 2$ dentro de su primer periodo. A continuación, calcula el valor exacto de $f(2023)$.

Determina el valor exacto del parámetro $k$ para que la función racional $f(x) = \frac{kx^2 - 3x + 1}{2x^2 + 5}$ tienda a $4$ cuando $x$ se hace infinitamente grande. Una vez hallado ese valor de $k$, calcula cuál es la ordenada en el origen de la función.

Considera la función matemática $f(x) = x - [x]$, donde el símbolo $[x]$ representa la "parte entera" de $x$ (es decir, el mayor número entero que es menor o igual a $x$). Demuestra razonadamente que $f(x)$ es una función periódica y halla su periodo. Finalmente, calcula $f(14,75)$ y $f(-3,2)$.

Un satélite de observación orbita la Tierra a baja altitud, pasando exactamente sobre la línea del ecuador cada $90$ minutos. Cada vez que completa una órbita, la Tierra ha rotado bajo él. Sabiendo que la Tierra tarda $24$ horas en dar una vuelta completa sobre su propio eje, ¿cuánto tiempo mínimo debe transcurrir para que el satélite vuelva a pasar exactamente sobre las mismas coordenadas geográficas del ecuador?

Las funciones trigonométricas $f(x) = \text{sen}(ax)$ y $g(x) = \text{cos}(bx)$ tienen como periodo fundamental $T_1 = 4\pi$ y $T_2 = 6\pi$ respectivamente, siendo $a$ y $b$ números reales positivos. Determina el periodo de la función suma $h(x) = f(x) + g(x)$ y halla los valores numéricos de los parámetros $a$ y $b$.