Ejercicios: El modelo cuántico y las partículas subatómicas

En el modelo cuántico actual ya no se habla de órbitas, como hacía Bohr, sino de orbitales. Explica la diferencia entre una órbita y un orbital: ¿qué información da cada uno sobre el electrón y cuál de los dos conceptos describe una trayectoria determinada?

El número cuántico principal $n$ etiqueta los niveles de energía del átomo.

1. a) ¿Qué valores puede tomar $n$?
2. b) ¿Qué les ocurre a la energía del nivel y al tamaño medio de la nube electrónica cuando $n$ aumenta?

Dentro de cada nivel hay subniveles. En este tema estudiaremos los subniveles s y p: el orbital s tiene forma esférica y cada orbital p tiene forma de dos lóbulos simétricos. Sus formas se muestran en la figura.

1. a) ¿Cuántos electrones caben como máximo en un orbital s?
2. b) Un subnivel p tiene $3$ orbitales: ¿cuántos electrones caben en total en un subnivel p?

En $1927$, Heisenberg enunció su principio de incertidumbre. Explica qué afirma ese principio sobre la posición y la velocidad del electrón y por qué, a causa de él, los físicos dibujan el electrón como una «nube de probabilidad» y no como una bolita que sigue una trayectoria.

Indica la carga eléctrica (positiva, negativa o nula) y la localización en el átomo (núcleo o corteza) del protón, del neutrón y del electrón. ¿Cuáles de las tres partículas tienen casi la misma masa? ¿Cuál es unas $2000$ veces más ligera que las otras dos?

Desde los años sesenta del siglo pasado sabemos que protones y neutrones no son partículas elementales: están formados por quarks.

1. a) ¿Cuántos quarks componen un protón? ¿Y un neutrón?
2. b) ¿Qué diferencia hay, en este sentido, entre esas dos partículas y el electrón?

Los escáneres PET de los hospitales funcionan gracias a los positrones.

1. a) ¿Qué es un positrón? ¿En qué se parece y en qué se diferencia de un electrón?
2. b) ¿Qué ocurre cuando un positrón se encuentra con un electrón?

Las centrales nucleares usan como combustible uranio-235, mientras que el uranio más abundante en la naturaleza es el uranio-238; ambos tienen número atómico $Z = 92$. La figura representa los dos núcleos.

1. a) Explica qué son los isótopos de un elemento.
2. b) Calcula cuántos neutrones tiene en el núcleo cada uno de estos dos isótopos del uranio.

Los electrones ocupan los subniveles en este orden: $1s$, $2s$, $2p$, $3s$, $3p$. Cada subnivel s admite $2$ electrones y cada subnivel p, $6$.

1. a) Escribe la configuración electrónica del sodio ($Z = 11$) y la del cloro ($Z = 17$).
2. b) ¿Cuántos electrones tiene cada uno de los dos átomos en su último nivel ocupado?

El yodo es un oligoelemento esencial que se añade a la sal de mesa; su isótopo más común tiene $Z = 53$ y $A = 127$.

1. a) Calcula los protones, neutrones y electrones de un átomo neutro de yodo.
2. b) Escribe su símbolo con la notación ${}^{A}_{Z}\text{X}$.

El esmalte de los dientes contiene calcio y muchos dentífricos llevan flúor.

1. a) El átomo de calcio ($Z = 20$) forma el ion $\text{Ca}^{2+}$: ¿cuántos electrones tiene ese ion?
2. b) El átomo de flúor ($Z = 9$) forma el ion $\text{F}^{-}$: ¿cuántos electrones tiene ese ion?
3. c) Explica, pensando en sus configuraciones electrónicas, por qué los átomos tienden a ganar o perder electrones hasta quedarse con el último nivel completo.

En radioterapia contra el cáncer se utiliza cobalto-60, una fuente radiactiva con $Z = 27$.

1. a) Escribe el símbolo del cobalto-60 con la notación ${}^{A}_{Z}\text{X}$.
2. b) Calcula sus protones, neutrones y electrones, suponiendo el átomo neutro.
3. c) ¿Qué diferencia hay entre el cobalto-60 y el cobalto-59, el isótopo estable del mismo elemento?

El cloro natural es una mezcla de dos isótopos: un $75\ \%$ de cloro-35 y un $25\ \%$ de cloro-37.

1. a) Calcula la masa atómica media del cloro como media ponderada de las masas de sus isótopos.
2. b) La tabla periódica indica para el cloro una masa de $35,5\ \text{u}$: explica por qué ese valor no es un número entero si cada átomo de cloro tiene un número entero de partículas en su núcleo.

En una prueba de PET, el paciente recibe glucosa marcada con flúor-18 ($Z = 9$), un isótopo que emite positrones. Cuando un positrón encuentra un electrón, ambos se aniquilan y se emiten dos fotones gamma en direcciones opuestas, que detecta el anillo del escáner. El esquema del escáner se muestra en la figura.

1. a) Calcula los neutrones del flúor-18 y del flúor-19, el isótopo estable del flúor.
2. b) ¿Por qué, al detectar los dos fotones a la vez, el equipo sabe que la aniquilación ocurrió sobre la línea que une los dos detectores?
3. c) Los tumores consumen más glucosa que el tejido sano: razona por qué el PET permite localizarlos.

Los quarks tienen cargas eléctricas fraccionarias: el quark up tiene $+\frac{2}{3}$ de la carga del protón y el quark down, $-\frac{1}{3}$. El protón está formado por dos quarks up y uno down (uud), y el neutrón, por uno up y dos down (udd). La figura resume esa composición.

1. a) Comprueba, sumando las cargas de sus quarks, que el protón tiene carga $+1$ y el neutrón, carga $0$.
2. b) ¿Qué combinación de tres quarks up o down daría una partícula de carga $-1$?
3. c) ¿Y una de carga $+2$? Justifica ambas respuestas con la suma de fracciones.

El nivel $n = 1$ tiene un único subnivel s; el nivel $n = 2$ tiene un subnivel s y un subnivel p.

1. a) ¿Cuántos electrones caben como máximo en el nivel $n = 1$? ¿Y en el nivel $n = 2$?
2. b) La primera fila de la tabla periódica tiene $2$ elementos y la segunda, $8$: relaciona esos números con los resultados del apartado anterior.

La masa atómica media del boro es $10,8\ \text{u}$ y sus dos isótopos naturales son el boro-10 y el boro-11.

1. a) Llama $x$ a la fracción de boro-10 y plantea la ecuación que cumple la media ponderada: $10\cdot x + 11\cdot(1 - x) = 10,8$.
2. b) Resuélvela y expresa las abundancias de cada isótopo en porcentaje.
3. c) Comprueba el resultado calculando de nuevo la masa media con esas abundancias.

El magnesio natural tiene tres isótopos: magnesio-24 ($78,7\ \%$), magnesio-25 ($10,1\ \%$) y magnesio-26 ($11,2\ \%$).

1. a) Calcula la masa atómica media del magnesio como media ponderada.
2. b) Explica por qué el resultado está mucho más cerca de $24$ que de $26$.
3. c) ¿Podría la masa media de un elemento coincidir exactamente con un número entero? Razona en qué caso ocurriría.

Considera estas tres especies: $\text{F}^{-}$ ($Z = 9$), $\text{Ne}$ ($Z = 10$) y $\text{Na}^{+}$ ($Z = 11$).

1. a) Calcula el número de electrones de cada una.
2. b) ¿Son el mismo elemento? ¿Son isótopos entre sí? Justifica ambas respuestas.
3. c) Escribe la configuración electrónica común de las tres especies con el orden $1s$, $2s$, $2p$ y explica por qué se dice que son isoelectrónicas.

Calcula los protones, neutrones y electrones de cada una de estas especies y responde después:

1. a) ${}^{40}_{20}\text{Ca}^{2+}$
2. b) ${}^{37}_{17}\text{Cl}^{-}$
3. c) ${}^{35}_{17}\text{Cl}$

1. d) ¿Cuáles de ellas son isótopos entre sí? ¿Por qué?
2. e) ¿Cuáles tienen el mismo número de electrones?

El orden de llenado de los subniveles es $1s$, $2s$, $2p$, $3s$, $3p$, $4s$ (fíjate: después de $3p$ se llena $4s$). Cada subnivel s admite $2$ electrones y cada subnivel p, $6$.

1. a) Escribe la configuración electrónica del potasio ($Z = 19$).
2. b) Escribe la configuración del ion sulfuro, $\text{S}^{2-}$ ($Z = 16$), y comprueba que coincide con la de un gas noble: ¿de cuál se trata?
3. c) El potasio es un metal que reacciona violentamente con el agua: explica, a partir de su configuración, por qué pierde con facilidad un electrón.

Los rayos cósmicos que llegan a la alta atmósfera producen positrones, la antipartícula del electrón.

1. a) Cuando un positrón y un electrón casi en reposo se aniquilan, salen dos fotones en direcciones opuestas. Explica, con la idea de la conservación del momento (si el sistema estaba casi en reposo, su momento total era cero), por qué no puede salir un solo fotón.
2. b) Razona por qué no encontramos antimateria estable en nuestro entorno cotidiano.
3. c) El Gran Colisionador de Hadrones (LHC) produce antipartículas y otras partículas nuevas en colisiones muy energéticas: ¿por qué hace falta tanta energía para crear partículas masivas? Piensa en la equivalencia entre masa y energía, $E = m\cdot c^{2}$.

En un mismo orbital caben como máximo $2$ electrones y, según el principio de exclusión de Pauli, deben diferenciarse en su espín: uno con espín $+\frac{1}{2}$ y otro con espín $-\frac{1}{2}$ (puedes imaginarlo como dos sentidos de giro sobre sí mismos).

1. a) Con esa regla, ¿cuántos electrones admite como máximo un subnivel p, que tiene $3$ orbitales?
2. b) ¿Cuántos electrones caben en total en el nivel $n = 2$, que tiene un subnivel s y un subnivel p?
3. c) Un alumno escribe: «El orbital $2p$ es la trayectoria cerrada que recorren los electrones del segundo nivel». Corrige la frase usando lo que sabes del modelo cuántico.

El cobre de los cables eléctricos es una mezcla de dos isótopos, cobre-63 y cobre-65, con masa media $63,5\ \text{u}$.

1. a) Sin hacer cálculos, razona cuál de los dos isótopos es más abundante.
2. b) Plantea la ecuación de la media ponderada y calcula las abundancias porcentuales de ambos isótopos.
3. c) En medicina nuclear se usa a veces cobre-64, producido artificialmente. ¿Sigue siendo cobre? Explica qué es lo que decide que un átomo sea de cobre y no de otro elemento.