Ejercicios: Raíces

Calcula mentalmente el valor de las siguientes raíces exactas. Recuerda prestar atención al índice de la raíz para saber qué número multiplicado por sí mismo (dos, tres o más veces) da como resultado el radicando.

1. a) $\sqrt{49}$
2. b) $\sqrt[3]{-8}$
3. c) $\sqrt[4]{16}$
4. d) $\sqrt{100}$
5. e) $\sqrt[3]{1000}$
6. f) $\sqrt[5]{-1}$

Las potencias y las raíces son operaciones inversas, igual que la suma y la resta. Expresa las siguientes igualdades en forma de raíz, siguiendo el ejemplo:

Ejemplo: Como $5^2 = 25$, entonces $\sqrt{25} = 5$

1. a) $9^2 = 81$
2. b) $6^3 = 216$
3. c) $(-4)^3 = -64$
4. d) $10^4 = 10000$
5. e) $2^5 = 32$

Queremos colocar un suelo de corcho para un gimnasio en una habitación perfectamente cuadrada. Sabemos que la superficie total (el área) de la habitación es de $144 \text{ m}^2$.

Calcula cuánto mide cada lado de la habitación. Apóyate en el siguiente dibujo para visualizarlo.

Cualquier raíz puede escribirse como una potencia con exponente fraccionario. La regla general es $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

Convierte las siguientes expresiones:

1. De raíz a potencia:

a) $\sqrt{5}$

b) $\sqrt[3]{2}$

c) $\sqrt[5]{x^3}$

1. De potencia a raíz:

d) $3^{\frac{1}{2}}$

e) $7^{\frac{2}{3}}$

f) $a^{\frac{1}{4}}$

No todas las raíces dan un número entero exacto. Sin usar calculadora, indica entre qué dos números enteros consecutivos se encuentran las siguientes raíces.

Ejemplo: $\sqrt{10}$ está entre 3 y 4, porque $3^2=9$ y $4^2=16$.

1. a) $\sqrt{20}$
2. b) $\sqrt{55}$
3. c) $\sqrt{90}$
4. d) $\sqrt[3]{9}$ (Piensa en cubos: $1^3=1, 2^3=8, 3^3=27...$)

En matemáticas es muy importante no confundir las propiedades de las operaciones. Comprueba si la raíz de una suma es igual a la suma de las raíces con el siguiente ejemplo.

Calcula por separado:

1. $\sqrt{64 + 36}$ (Primero suma los números de dentro y luego haz la raíz).

2. $\sqrt{64} + \sqrt{36}$ (Calcula cada raíz por separado y luego suma los resultados).

¿Dan el mismo resultado? Concluye si es cierto que $\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$.

Calcula el valor numérico de las siguientes raíces exactas. Si la raíz tiene dos soluciones posibles, indícalas. Si no tiene solución en el conjunto de los números reales, explica por qué:

1. a) $\sqrt[3]{-64}$
2. b) $\sqrt[4]{81}$
3. c) $\sqrt[6]{-1}$
4. d) $\sqrt{\frac{121}{144}}$

A veces es necesario introducir factores dentro de una raíz para poder comparar números o realizar ciertas operaciones. Introduce los factores dentro del radical y simplifica el resultado:

1. a) $3 \cdot \sqrt{2}$
2. b) $2 \cdot \sqrt[3]{5}$
3. c) $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{20}$

Observa la siguiente recta numérica donde se han marcado tres puntos aproximados (A, B y C).

Sin usar calculadora, asocia razonadamente cada uno de los siguientes radicales con el punto (A, B o C) que mejor represente su valor, estimando entre qué números enteros se encuentran:

1. $\sqrt{5}$

2. $\sqrt[3]{2}$

3. $\sqrt{10}$

Simplifica los siguientes radicales hasta obtener una raíz irreducible. Para ello, recuerda que puedes dividir el índice de la raíz y el exponente del radicando por un mismo número (MCD).

1. a) $\sqrt[6]{x^4}$
2. b) $\sqrt[12]{64}$ (Ayuda: primero factoriza el 64)
3. c) $\sqrt[10]{a^5 \cdot b^{15}}$

Calcula mentalmente o mediante descomposición factorial el valor exacto de las siguientes raíces cuadradas. Si el resultado es una fracción o un decimal, exprésalo correctamente.

1. a) $\sqrt{121}$
2. b) $\sqrt{400}$
3. c) $\sqrt{0,36}$
4. d) $\sqrt{\frac{64}{225}}$

Resuelve las siguientes ecuaciones sencillas donde la incógnita está relacionada con una raíz cuadrada o un cuadrado. Recuerda que la operación inversa de la raíz es la potencia.

1. a) $\sqrt{x} = 9$
2. b) $x^2 = 169$ (Indica las dos posibles soluciones)
3. c) $\sqrt{x + 1} = 5$

Analiza la veracidad de las siguientes afirmaciones matemáticas, justificando tu respuesta con ejemplos o contraejemplos. No vale con decir "verdadero" o "falso", debes explicar el porqué basándote en la definición de raíz $n$-ésima:

1. a) La raíz cuadrada de un número positivo tiene dos soluciones, mientras que la raíz cúbica de un número positivo solo tiene una.
2. b) No existe ningún número real $x$ tal que $\sqrt[4]{x} = -2$.
3. c) La expresión $\sqrt[n]{a}$ existe para cualquier número real $a$, siempre que $n$ sea un número impar.
4. d) Si elevamos un número negativo a una potencia par y luego calculamos la raíz del mismo índice, obtenemos el número original (ejemplo: $\sqrt[4]{(-3)^4} = -3$).

Queremos guardar una varilla metálica muy larga dentro de una caja con forma de ortoedro (una caja de zapatos rectangular). Las dimensiones de la caja son $30 \text{ cm}$ de largo, $40 \text{ cm}$ de ancho y $120 \text{ cm}$ de alto.

Calcula la longitud máxima exacta que puede tener la varilla para caber dentro de la caja sin doblarse (colocándola en la diagonal espacial). Expresa el resultado primero con una raíz y luego calcula su valor exacto.

Tenemos dos depósitos de agua con forma esférica. Sabemos que el volumen del depósito grande es 27 veces el volumen del depósito pequeño.

Si el radio del depósito pequeño mide $r = 50 \text{ cm}$, ¿cuánto mide el radio del depósito grande ($R$)?

Nota: Recuerda que el volumen de una esfera depende del cubo del radio ($V \propto r^3$). No necesitas la fórmula exacta del volumen, razona utilizando la relación entre volúmenes y la raíz cúbica.

Sin utilizar la calculadora para hallar el valor decimal, ordena los siguientes números de menor a mayor. Debes transformar los números para poder compararlos (por ejemplo, introduciendo factores dentro de la raíz o elevando todos a una potencia común para eliminar las raíces):

$$ A = \sqrt{10} \quad , \quad B = \sqrt[3]{30} \quad , \quad C = 3 $$

Explica paso a paso el método que has utilizado para compararlos.

Para representar números irracionales de forma exacta en la recta real, utilizamos el Teorema de Pitágoras. Sabemos que la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de longitud 1 es $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$. Siguiendo esta lógica:

Explica detalladamente, paso a paso, cómo representarías en la recta numérica el número $\sqrt{29}$ utilizando una regla y un compás. Debes indicar qué números enteros utilizarías como medidas para los catetos del triángulo rectángulo auxiliar. Apóyate en el siguiente esquema visual para tu razonamiento.

Estima sin usar calculadora el valor de $\sqrt{60}$ con una cifra decimal. Para ello:

1. Encuentra los dos cuadrados perfectos más cercanos a 60.

2. Interpola linealmente o utiliza el método de "tanteo" razonado para aproximar el primer decimal.

3. Una vez tengas tu estimación, calcula el error absoluto cometido sabiendo que el valor real aproximado es $7,74$.