Ejercicios: Giros

Un ventilador de techo tiene $5$ aspas distribuidas de forma totalmente simétrica. Si el ventilador está apagado y lo empujas suavemente haciendo que una de las aspas se desplace hasta la posición exacta donde estaba la siguiente, ¿qué ángulo ha girado el ventilador? Indica el ángulo tanto en sentido positivo (antihorario) como en sentido negativo (horario).

Dado el punto $P(4, 2)$ en el plano cartesiano, realiza un giro de centro el origen de coordenadas $O(0, 0)$ y ángulo $\alpha = 90^\circ$ en sentido positivo (antihorario). ¿Cuáles son las coordenadas del punto transformado $P'$?

Observa el logotipo del reciclaje compuesto por tres flechas. ¿Cuál es el orden de este centro de giro? A partir de ese orden, calcula el ángulo mínimo necesario para que el logotipo coincida exactamente consigo mismo al girarlo.

Tenemos un segmento de extremos $A(1, 1)$ y $B(3, 1)$. Si le aplicamos una simetría central con centro en el origen $O(0, 0)$, sabemos que este movimiento equivale a un giro de un ángulo determinado.

1. ¿Cuál es ese ángulo de giro?

2. Dibuja el segmento original y su transformado $A'B'$.

En una pizzería, han cortado una pizza familiar en $8$ porciones iguales. Si giras la bandeja circular un ángulo de $135^\circ$ en sentido de las agujas del reloj, ¿cuántas posiciones de porción se ha desplazado cada trozo de pizza?

Un diseñador gráfico está creando un patrón y aplica a una figura un giro de $270^\circ$ en sentido positivo. Su compañero dice que se habría obtenido el mismo resultado aplicando un solo giro en sentido negativo (horario). ¿De qué ángulo debería ser ese giro negativo para que las figuras coincidan?

Se han aplicado dos giros consecutivos a un triángulo con el mismo centro $O$: el primero de $40^\circ$ y el segundo de $50^\circ$, ambos en sentido positivo.

1. ¿A qué único giro equivale esta composición?

2. Si ahora aplicamos un tercer giro para que el triángulo vuelva a su posición original, ¿de qué ángulo y sentido debe ser ese giro?

Indica cuáles de las siguientes afirmaciones sobre los giros en el plano son verdaderas y cuáles son falsas. Justifica brevemente tu respuesta:

• a) En un giro de $180^\circ$, el único punto que no se mueve es el centro de giro.

• b) Un giro es una isometría inversa porque cambia el sentido de los ángulos.

• c) Si giramos una circunferencia alrededor de su propio centro cualquier ángulo, la figura resultante es idéntica a la original.

• d) La composición de dos giros con distinto centro siempre es otro giro con el mismo centro que el primero.

Un diseñador gráfico está creando un nuevo logo basado en un triángulo de vértices $A(2, 1)$, $B(5, 1)$ y $C(4, 3)$. Para completar el diseño, necesita girar este triángulo con centro en el origen de coordenadas $O(0, 0)$ y un ángulo de $+90^\circ$ (sentido antihorario). Representa gráficamente el triángulo original y su imagen $A'B'C'$, indicando las coordenadas de los nuevos vértices.

Observa la siguiente figura que representa una hélice de un aerogenerador. Si la hélice es un polígono con simetría rotacional, determina:

1. a) El orden de la simetría rotacional de la figura.
2. b) El ángulo mínimo que debe girar para que la hélice coincida exactamente con su posición inicial.
3. c) Si la hélice gira a una velocidad constante y tarda $2$ segundos en realizar un giro completo, ¿qué ángulo habrá girado tras $0,5$ segundos? Expresa el resultado en grados y determina si en ese instante la figura coincide visualmente con la original.

En tu cuaderno, dibuja un segmento $PQ$ con coordenadas $P(1, 4)$ y $Q(3, 2)$. Aplica al segmento un giro de centro $C(1, 1)$ y ángulo $\alpha = 180^\circ$.

1. a) ¿Qué nombre recibe este tipo de giro especial cuando el ángulo es de $180^\circ$?
2. b) Halla las coordenadas de los puntos transformados $P'$ y $Q'$.
3. c) Comprueba mediante el cálculo de distancias si se ha conservado la longitud del segmento.

Disponemos de dos figuras en el plano, $F$ y $F'$. Sabemos que $F'$ es la figura obtenida tras aplicar un giro a $F$. Para encontrar el centro de giro $O$, hemos unido el punto $A$ de la figura original con su homólogo $A'$ en la figura girada, y el punto $B$ con su homólogo $B'$.

Explica detalladamente el procedimiento geométrico que debes seguir utilizando la mediatriz de los segmentos $AA'$ y $BB'$ para localizar el centro de giro. ¿Qué ocurriría si los segmentos $AA'$ y $BB'$ fueran paralelos?

Un reloj de pared marca las $12:00$ en punto.

1. a) Calcula el ángulo de giro (en grados) que describe la aguja del minutero cuando pasan $20$ minutos. Recuerda indicar el signo del ángulo según el sentido de giro del reloj.
2. b) Si el minutero mide $10\text{ cm}$, ¿cuál es la distancia recorrida por el extremo de la aguja en esos $20$ minutos? (Considera la trayectoria como un arco de circunferencia).
3. c) ¿Qué ángulo habrá girado la aguja de las horas en ese mismo intervalo de tiempo?

Sea un cuadrado centrado en el punto $C(2, 2)$ con lados paralelos a los ejes coordenados y de longitud $2$ unidades.

1. a) Indica las coordenadas de sus cuatro vértices.
2. b) Si aplicamos un giro de $+90^\circ$ con centro en el propio centro del cuadrado $C(2, 2)$, ¿cuáles son las nuevas coordenadas de los vértices?
3. c) ¿Existen puntos de la figura que no hayan cambiado de posición tras el giro? Justifica tu respuesta.

Realizamos una composición de dos movimientos a un punto $P(3, -1)$. Primero aplicamos un giro de centro $O(0, 0)$ y ángulo $\alpha = +90^\circ$ obteniendo $P'$. A continuación, aplicamos a $P'$ otro giro con el mismo centro $O$ y ángulo $\beta = +180^\circ$ obteniendo $P''$.

1. a) Determina las coordenadas finales del punto $P''$.
2. b) ¿Existe un único giro que nos permita pasar directamente de $P$ a $P''$? En caso afirmativo, indica su centro y su ángulo.
3. c) ¿Se obtendría el mismo resultado si aplicáramos primero el giro de $180^\circ$ y después el de $90^\circ$? Justifica si la composición de giros con el mismo centro cumple la propiedad conmutativa.

En un mosaico árabe, se utiliza un motivo mínimo que se repite mediante giros. Si el centro de un polígono regular de $n$ lados es el centro de giro, y sabemos que al girar la figura un ángulo de $40^\circ$ esta no coincide con la original, pero al girarla $72^\circ$ sí lo hace:

1. a) ¿Cuál es el número mínimo de lados que debe tener el polígono regular?
2. b) Calcula todos los ángulos de giro menores a $360^\circ$ que dejan la figura invariante.
3. c) Si el polígono fuera un octógono regular, ¿cuál sería el ángulo mínimo de giro para que la figura se superpusiera a sí misma?

Un diseñador de videojuegos está programando el movimiento de una llave mágica en un plano cartesiano. La llave está definida por un segmento que une los puntos $A(1, 1)$ y $B(1, 4)$. El programa debe realizar un giro de centro $C(3, 1)$ y ángulo $\alpha = 90^\circ$ en sentido antihorario.

Dibuja en tu cuaderno el sistema de ejes, sitúa los puntos y la figura original, y determina las coordenadas de los nuevos puntos $A'$ y $B'$ tras el giro. Explica el procedimiento que has seguido utilizando el compás o mediante el razonamiento de las distancias al centro de giro.

Hemos encontrado un fragmento de un antiguo mosaico árabe donde un triángulo de vértices $P(2, 2)$, $Q(5, 2)$ y $R(4, 4)$ ha sido desplazado mediante un giro desconocido. Sabemos que la imagen del punto $P$ tras el movimiento es $P'(8, 2)$ y la imagen de $Q$ es $Q'(8, 5)$.

Utiliza las propiedades de las mediatrices para hallar gráficamente el centro de giro $O$ de este movimiento. Una vez localizado, indica sus coordenadas y calcula la amplitud del ángulo de giro $\alpha$ y su sentido.

En un sistema de seguridad por láser, un espejo situado en el punto $M(0, 2)$ debe rotar un haz de luz. El haz llega originalmente siguiendo la dirección del segmento que une $A(-4, 2)$ con $M$. Si aplicamos un giro de centro $M$ y ángulo $\alpha = -45^\circ$ (sentido horario), ¿cuál será la nueva posición del punto que estaba en $A$?

Calcula las coordenadas del nuevo punto $A'$ de forma aproximada mediante dibujo técnico y comprueba si la distancia al centro de giro se mantiene constante utilizando el teorema de Pitágoras.

Considera un cuadrado de vértices $A(2, 1)$, $B(4, 1)$, $C(4, 3)$ y $D(2, 3)$. Se le aplica una composición de movimientos: primero un giro de centro $O(0, 0)$ y ángulo $180^\circ$, y al resultado, otro giro de centro $C'(-4, -3)$ (que es el homólogo de $C$ tras el primer giro) y ángulo $90^\circ$ en sentido antihorario.

1. Determina las coordenadas de los vértices tras el primer movimiento.

2. Determina las coordenadas finales tras la composición.

3. ¿Existe un único giro que produzca el mismo resultado? Si es así, ¿cuál sería su ángulo?

Un radar de tráfico situado en el punto $R(2, 2)$ gira barriendo un sector circular. Una cámara auxiliar situada en el origen de coordenadas $O(0, 0)$ captura una imagen de un vehículo en la posición $V(5, 6)$.

Si el radar gira el vehículo un ángulo de $270^\circ$ en sentido antihorario respecto a su propia posición $R$, determina las nuevas coordenadas $V'$ del vehículo en el mapa del centro de control. Utiliza una trama de cuadraditos para realizar el giro paso a paso analizando los desplazamientos horizontales y verticales respecto al centro $R$.

Analiza los elementos invariantes de un giro en el plano. Si aplicamos un giro de centro $C(x, y)$ y un ángulo $\alpha \neq 0^\circ$ y $\alpha \neq 360^\circ$:

1. ¿Cuántos puntos invariantes (que no cambian de posición) existen en todo el plano?

2. ¿Existen rectas invariantes (que se transformen en ellas mismas aunque sus puntos cambien de posición)? Estudia el caso especial en el que el ángulo de giro es de $180^\circ$.

3. Si una figura tiene dos centros de simetría central distintos, $O_1$ y $O_2$, demuestra que la figura debe ser infinita. (Pista: considera la composición de dos giros de $180^\circ$ y qué movimiento resulta).