Ejercicios: Concepto de función

En una tienda de aplicaciones, cada juego premium tiene un precio fijo de $2,50$ €. Queremos analizar la relación entre el número de juegos comprados y el coste total de la compra.

1. a) Identifica cuál es la variable independiente y cuál es la variable dependiente.
2. b) ¿Es esta relación una función? Razona tu respuesta basándote en la definición de función.
3. c) Escribe la expresión algebraica (fórmula) que relaciona ambas magnitudes, llamando $x$ al número de juegos e $y$ al coste total.

Observa las siguientes relaciones entre magnitudes y determina, en cada caso, si se trata de una función o no:

1. a) A cada número de teléfono móvil le asociamos el nombre de su dueño en la agenda.
2. b) A cada estudiante de tu clase le asociamos su estatura medida en centímetros.
3. c) A cada código de barras de un supermercado le asociamos el precio del producto correspondiente.
4. d) A cada persona le asociamos el color de ojos de sus hermanos.

Lucía está controlando el consumo de batería de su smartphone mientras juega a un videojuego. La siguiente gráfica muestra el porcentaje de batería restante según el tiempo que lleva jugando (en minutos):

A partir de la gráfica, responde:

1. a) ¿Qué porcentaje de batería tenía al empezar a jugar (tiempo = $0$)?
2. b) ¿Cuánta batería le queda tras $20$ minutos de juego?
3. c) Si la batería llega al $0\%$, ¿cuántos minutos ha estado jugando en total?

Dada la función definida por la expresión algebraica $f(x) = 3x - 2$, completa la siguiente tabla de valores en tu cuaderno:

$x$ (Entrada)	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$ (Salida)

Una vez completada, indica cuál es la imagen de $x = -1$.

Para que una gráfica represente una función, cualquier línea vertical que tracemos debe cortar a la gráfica en un único punto. Utiliza esta "prueba de la línea vertical" para decidir cuál de las siguientes gráficas NO es una función:

Justifica tu elección explicando qué ocurre en la gráfica elegida al trazar una línea vertical.

El precio de una suscripción mensual a una plataforma de series es de $9$ €, pero el primer mes tiene una oferta y solo cuesta $3$ €.

1. a) Elabora una tabla que relacione el número de meses suscrito (de $1$ a $4$ meses) con el gasto total acumulado.
2. b) Representa estos cuatro puntos en un sistema de ejes cartesianos.
3. c) ¿Tiene sentido unir los puntos con una línea continua? Explica por qué.

Un excursionista sube una montaña siguiendo un sendero. La función que relaciona su altitud sobre el nivel del mar, $H$ (en metros), con la distancia horizontal recorrida, $d$ (en kilómetros), es $H(d) = 400 + 150d$.

1. a) ¿A qué altitud se encuentra el punto de inicio de la ruta ($d = 0$)?
2. b) Si el excursionista ha recorrido $3$ km en horizontal, ¿a qué altitud se encuentra?
3. c) Identifica las variables de la función y explica su significado físico.

Observa los puntos representados en el siguiente plano cartesiano, que muestran la temperatura de un invernadero durante las primeras horas de la mañana:

Indica las coordenadas $(x, y)$ de los cuatro puntos marcados en la gráfica y explica qué significa cada una de ellas en el contexto del problema. (Ejemplo: A la hora $1$, la temperatura es de... ).

En un instituto, se están analizando diferentes relaciones entre magnitudes. Determina de forma razonada cuáles de las siguientes situaciones corresponden a una función y, en caso afirmativo, identifica la variable independiente y la variable dependiente:

1. a) A cada número de DNI de los alumnos se le asocia su edad actual.
2. b) A cada temperatura máxima alcanzada en el patio durante un día se le asocian las horas en las que se registró dicha temperatura.
3. c) A la cantidad de gigabytes ($GB$) consumidos en una tarifa móvil se le asocia el precio mensual de la factura.
4. d) A cada número natural se le asocian sus divisores.

Una empresa de alquiler de patinetes eléctricos cobra una tarifa fija de $1,20$ € por desbloquear el vehículo y una cuota variable de $0,15$ € por cada minuto de uso.

1. a) Identifica las dos variables que intervienen y clasifícalas en dependiente e independiente.
2. b) Escribe la expresión analítica o fórmula que permite calcular el coste total del alquiler, $y$, en función del tiempo de uso en minutos, $x$.
3. c) Calcula cuánto pagará un estudiante que utiliza el patinete durante $22$ minutos para ir de su casa al instituto.

Observa las siguientes gráficas representadas en el plano cartesiano. Utilizando el criterio de la recta vertical, indica razonadamente cuál de ellas representa una función y cuál no.

Dada la función $f(x) = \frac{x^2 - 4}{2}$, realiza las siguientes tareas:

1. a) Calcula las imágenes de los valores $x = 0$, $x = 2$ y $x = -4$.
2. b) Determina el valor de $x$ (antiimagen) cuya imagen es $f(x) = 6$.
3. c) ¿Pertenece el punto $P(-1; -1,5)$ a la gráfica de la función? Justifica tu respuesta realizando los cálculos necesarios.

La siguiente tabla muestra la cantidad de agua (en litros) que queda en una piscina portátil mientras se está vaciando mediante una bomba de extracción:

Tiempo (minutos)	0	5	10	15	20
Agua (litros)	4500	3600	2700	1800	900

1. a) ¿Es una relación funcional? Explica por qué.
2. b) Representa los puntos en un sistema de ejes coordenados eligiendo una escala adecuada.
3. c) Si la tendencia se mantiene constante, ¿cuánto tiempo tardará la piscina en vaciarse por completo?
4. d) ¿Qué volumen de agua habrá a los $12$ minutos de empezar el vaciado?

El área de un rectángulo cuya base mide el doble que su altura se puede expresar como una función.

1. a) Si llamamos $x$ a la medida de la altura del rectángulo, escribe la expresión analítica de la función área $A(x)$.
2. b) ¿Cuál es la variable independiente y cuál la dependiente?
3. c) Calcula el área cuando la altura es de $4,5$ $cm$.
4. d) Si el área del rectángulo es de $50$ $cm^2$, ¿cuánto mide su altura?

Un excursionista registra el porcentaje de batería que queda en su teléfono inteligente a lo largo de una caminata por la montaña. La gráfica resultante es la siguiente:

A la vista de la gráfica, responde:

1. a) ¿Cuáles son las variables independiente y dependiente? Indica las unidades de medida.
2. b) ¿Cuál era el porcentaje de batería al inicio de la excursión?
3. c) ¿Es una función creciente o decreciente? ¿Qué significado físico tiene esto en el contexto del problema?
4. d) Estima cuánto tiempo ha pasado cuando al teléfono le queda exactamente el $50$% de la carga.

Considera la relación que asocia a cada número entero $x$ con su valor absoluto más tres unidades, es decir, $y = |x| + 3$.

1. a) Elabora una tabla de valores para los números enteros comprendidos entre $-3$ y $3$.
2. b) Representa los puntos obtenidos en un sistema de ejes cartesianos.
3. c) ¿Tiene sentido unir los puntos con una línea continua si el enunciado dice que $x$ es un número entero? Explica por qué.
4. d) Indica cuál sería el recorrido (conjunto de valores que toma la variable dependiente) basándote en tu tabla y gráfica.

Un programador de videojuegos está diseñando el sistema de recompensas de un nuevo nivel. La cantidad de "Créditos Estelares" ($C$) que recibe un jugador depende del tiempo ($t$) en minutos que tarda en completar una misión, según la relación:

$$C(t) = \frac{600}{t-5}$$

1. a) Indica razonadamente si esta relación es una función para cualquier valor de $t$ mayor que cero.
2. b) Si el tiempo mínimo para completar la misión físicamente es de 6 minutos y el máximo permitido por el servidor es de 60 minutos, determina el dominio y el recorrido de esta función en este contexto real.
3. c) ¿Qué ocurre con la recompensa a medida que el jugador se acerca al tiempo de 5 minutos? ¿Tendría sentido que el dominio incluyera el valor $t = 5$?

Considera la relación que asocia a cada número real $x$ su distancia al número entero más cercano. Por ejemplo, si $x = 2,3$, su distancia al entero más cercano (2) es $0,3$. Si $x = 2,8$, su distancia al entero más cercano (3) es $0,2$.

1. a) Representa gráficamente esta relación en el intervalo $x \in [0, 3]$.
2. b) Explica por qué esta relación es una función.
3. c) Determina el recorrido (imagen) de la función.
4. d) ¿Es una función periódica? En caso afirmativo, indica cuál es su periodo.

Una empresa de mensajería con drones cobra por sus servicios de la siguiente forma: un coste fijo de $5€$ por gestión y, además, $2€$ por cada kilogramo de peso. Sin embargo, si el paquete supera los $10 kg$, el coste por kilogramo adicional (solo los kilogramos que pasen de 10) se reduce a la mitad.

1. a) Exprime la función $P(x)$ que representa el precio total del envío en función de los kilogramos $x$ del paquete. Atención: la función debe tener dos expresiones (una función definida a trozos).
2. b) Calcula $P(8)$ y $P(15)$.
3. c) Representa la gráfica de la función.
4. d) Si un cliente ha pagado $31€$, ¿cuántos kilogramos pesaba su paquete?

Se quiere construir un marco rectangular de madera para un espejo. Disponemos de un listón de madera de $4$ metros de longitud total para hacer todo el contorno.

1. a) Si llamamos $x$ a la longitud de la base del marco (en metros), expresa la función $A(x)$ que calcula el área encerrada por el marco.
2. b) ¿Cuál es el dominio de esta función teniendo en cuenta las restricciones físicas del problema?
3. c) Calcula el área cuando la base mide $0,5 m$ y cuando mide $1,5 m$.
4. d) ¿Para qué valor de $x$ se obtiene el área máxima? ¿Qué forma geométrica tiene el marco en ese caso?

Analiza las siguientes gráficas y determina si representan una función o no. Justifica tu respuesta utilizando el concepto de relación entre variable independiente y dependiente.

1. a) $x^2 + y^2 = 25$ (Una circunferencia de radio 5 centrada en el origen).
2. b) $y = \sqrt{x}$ (Considerando solo la raíz positiva).
3. c) Una línea vertical en el plano cartesiano que pasa por $x = 4$.
4. d) Una parábola tumbada cuya ecuación es $x = y^2$.

Un depósito de agua tiene forma de cono invertido. Se está llenando de agua a un ritmo constante. La relación entre el volumen de agua ($V$) y la altura que alcanza el agua ($h$) viene dada por la función:

$$V(h) = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (0,5h)^2 \cdot h$$

1. a) Simplifica la expresión de la función $V(h)$.
2. b) ¿Es una función lineal? Justifica tu respuesta observando el grado de la variable $h$.
3. c) Calcula la anti-imagen de $V = 10 \pi$, es decir, la altura $h$ necesaria para tener ese volumen.
4. d) Si el depósito tiene una altura total de $4 metros$, ¿cuál es el dominio y el recorrido de la función en esta situación?

Observa la siguiente tabla de valores que relaciona dos magnitudes, $A$ y $B$:

Magnitud A ($x$)	-2	-1	0	1	2
Magnitud B ($y$)	5	2	1	2	5

1. a) Encuentra una expresión analítica (fórmula) que relacione $y$ con $x$.
2. b) Indica si es una función y justifica por qué.
3. c) Determina los puntos de corte con los ejes.
4. d) Si ampliamos la tabla con el valor $x = 1$ y le asignamos $y = 3$, ¿seguiría siendo una función? Razona la respuesta.

Una compañía de telefonía ofrece una tarifa para adolescentes llamada "Gamer Pro". El coste mensual ($C$) en euros depende de los Gigabytes ($g$) consumidos:

• Los primeros $20 GB$ son gratuitos (incluidos en la cuota fija de $15€$).

• A partir de $20 GB$, cada Gigabyte extra cuesta $1,5€$, pero solo hasta un máximo de $50 GB$ de consumo total.

• Si se consumen más de $50 GB$, la velocidad se reduce y no se cobra nada más.

1. a) Representa gráficamente la función $C(g)$ para un consumo de entre $0$ y $80 GB$.
2. b) Define la función mediante una expresión analítica a trozos.
3. c) Indica los intervalos donde la función es constante y donde es creciente.
4. d) ¿Cuál es el dominio y el recorrido de esta función?