Ejercicios: Cuerpos de revolución

Imagina que tienes una cartulina rectangular de $10\text{ cm}$ de base y $15\text{ cm}$ de altura. Si la haces girar rápidamente sobre uno de sus lados de $15\text{ cm}$, ¿qué cuerpo de revolución se genera? Dibuja el cuerpo resultante e indica cuánto miden su radio y su altura.

Un bote de refresco estándar tiene forma cilíndrica. Si el radio de su base mide $3,25\text{ cm}$ y su altura es de $12\text{ cm}$, calcula el área de la etiqueta de papel que rodea lateralmente al bote (área lateral). Utiliza $\pi \approx 3,14$.

Para un disfraz de mago, un estudiante ha fabricado un gorro con forma de cono. Si el radio de la base es de $10\text{ cm}$ y la altura del gorro es de $24\text{ cm}$, utiliza el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de la generatriz ($g$) del cono.

Una pelota de tenis tiene un diámetro aproximado de $6,7\text{ cm}$. Calcula la superficie total de fieltro necesaria para cubrir la pelota, tratándola como una esfera perfecta. Expresa el resultado en $\text{cm}^2$.

Calcula el volumen de un depósito de agua cilíndrico que tiene un radio de $2\text{ metros}$ y una altura de $5\text{ metros}$. Si $1\text{ m}^3$ equivale a $1000\text{ litros}$, ¿cuántos litros de agua puede contener el depósito?

Un barquillo de helado tiene forma de cono. El radio de la abertura superior es de $3\text{ cm}$ y su profundidad (altura) es de $10\text{ cm}$. ¿Qué volumen de helado cabe exactamente en el interior del barquillo? (Considera que el helado queda enrasado con el borde, sin sobresalir).

Si cortamos una naranja por la mitad, obtenemos dos semiesferas. Si el radio de la naranja es de $4\text{ cm}$, calcula el volumen de una de esas mitades.

Pista: Calcula primero el volumen de la esfera completa y luego divide entre dos.

Observa el siguiente desarrollo plano de un cuerpo de revolución.

1. a) ¿De qué cuerpo se trata?
2. b) Si el radio del círculo es $R = 5\text{ cm}$ y la altura del rectángulo es $H = 10\text{ cm}$, calcula el área total de la figura.

Un estudio de fotografía utiliza un reflector con forma de cono para concentrar la luz. Si el reflector tiene una altura de $12\text{ cm}$ y el diámetro de su apertura circular es de $10\text{ cm}$, calcula la superficie total de material reflectante necesaria para fabricarlo (sin contar la tapa de la base).

Una marca de suplementos vitamínicos diseña sus cápsulas con forma de cilindro y dos semiesferas en los extremos. La longitud total de la cápsula es de $22\text{ mm}$ y el diámetro del cilindro central es de $8\text{ mm}$. Calcula el volumen total de la cápsula en milímetros cúbicos.

Un vaso de cristal tiene forma de cilindro con un radio interno de $3,5\text{ cm}$. Si vertemos en él un refresco que ocupa un volumen de $250\text{ cm}^3$, ¿qué altura alcanzará el líquido dentro del vaso? Redondea el resultado a las centésimas.

Calcula el área lateral y el volumen de un tronco de cono (como un cubo de palomitas) cuyas bases tienen radios de $10\text{ cm}$ y $6\text{ cm}$, sabiendo que su altura es de $15\text{ cm}$. Nota: Necesitarás calcular primero la generatriz mediante el Teorema de Pitágoras.

Un depósito esférico de gas tiene un diámetro exterior de $6\text{ metros}$. Los ingenieros quieren aplicar una capa de pintura antioxidante que cuesta $14,50\text{ €}$ por cada metro cuadrado. ¿Cuánto costará pintar la superficie total del depósito? (Utiliza $\pi \approx 3,14$).

Se genera un cuerpo de revolución al hacer girar un rectángulo de base $4\text{ cm}$ y altura $7\text{ cm}$ alrededor de uno de sus lados largos.

1. ¿Qué figura geométrica se obtiene?

2. Calcula su área total.

3. Si girase alrededor del lado corto, ¿tendría el mismo volumen? Justifica tu respuesta realizando los cálculos.

En una heladería sirven una bola de helado perfectamente esférica de $6\text{ cm}$ de diámetro sobre un cucurucho en forma de cono de $10\text{ cm}$ de altura y el mismo diámetro que la bola. Si el helado se derrite y queda contenido exactamente dentro del cucurucho, ¿se desbordará o quedará espacio libre? Responde comparando los volúmenes de la esfera y el cono.

Una empresa de mensajería utiliza tubos cilíndricos de cartón para enviar planos. Si cada tubo tiene un área lateral de $942\text{ cm}^2$ y una altura de $50\text{ cm}$:

1. Calcula el radio de la base del tubo.

2. Calcula la cantidad de cartón necesaria para fabricar las dos tapas circulares de cada tubo. (Utiliza $\pi \approx 3,14$).

Un diseñador de lámparas quiere crear una pantalla con forma de tronco de cono. La pantalla tiene una altura de $24 \text{ cm}$, un diámetro superior de $18 \text{ cm}$ y un diámetro inferior de $30 \text{ cm}$. Para calcular el coste del material, necesita saber el área de la superficie lateral. Sin embargo, para fabricarla a partir de una pieza plana, primero debe determinar la altura del cono completo original del que procede el tronco. Calcula dicha altura total y el área lateral de la pantalla (sin las bases).

Una copa de helado tiene forma de cono invertido de $12 \text{ cm}$ de altura y $10 \text{ cm}$ de diámetro en la boca. Se llena de batido de chocolate exactamente hasta la mitad de su altura. Un estudiante afirma que la copa está "medio llena", pero otro dice que hay mucho menos de la mitad del volumen total. Calcula qué porcentaje del volumen total de la copa ocupa realmente el batido para comprobar quién tiene razón.

Se desea construir un depósito de acero para agua que combine un cilindro de $4 \text{ m}$ de altura y $3 \text{ m}$ de radio con una semiesfera perfecta en su parte superior. Si el coste del acero es de $45 \text{ €}$ por metro cuadrado de superficie exterior y el sellado de la unión entre la semiesfera y el cilindro cuesta $15 \text{ €}$ por cada metro lineal de circunferencia, calcula el presupuesto total para los materiales de la superficie externa del depósito (incluyendo la base inferior plana).

Un rodillo de amasar de piedra tiene forma cilíndrica con un radio de $4 \text{ cm}$ y una longitud de $25 \text{ cm}$. Se quiere guardar en una caja cilíndrica de forma que el rodillo encaje exactamente (tangente a las paredes y bases). Si se decide sustituir ese rodillo por otro que tenga la mitad de radio pero el doble de longitud:

1. ¿Variará el volumen de la piedra utilizada? Justifica la respuesta con cálculos.

2. ¿Cuál de los dos rodillos requeriría una caja con mayor área de superficie total?

Calcula el volumen de la figura generada al hacer girar $360^\circ$ el siguiente trapecio rectángulo alrededor del lado $AB$. El lado $AD$ mide $6 \text{ cm}$ (base menor), el lado $BC$ mide $10 \text{ cm}$ (base mayor) y la altura del trapecio (lado $AB$) mide $8 \text{ cm}$. Identifica el cuerpo resultante y calcula su área total.

Dos ciudades, $P$ y $Q$, se encuentran sobre el mismo paralelo a una latitud de $60^\circ \text{ N}$. La ciudad $P$ tiene una longitud de $15^\circ \text{ E}$ y la ciudad $Q$ de $45^\circ \text{ E}$. Sabiendo que el radio de la Tierra es de aproximadamente $6371 \text{ km}$:

1. Calcula el radio del paralelo $60^\circ \text{ N}$ (Pista: utiliza trigonometría o recuerda que en el triángulo formado, el radio del paralelo es $R \cdot \cos(60^\circ)$).

2. Halla la distancia mínima entre las dos ciudades medida sobre el arco de ese paralelo.

Un envase de perfume tiene forma de esfera de radio $R = 5 \text{ cm}$. El envase está contenido dentro de una caja con forma de cilindro recto que tiene el mismo radio y la misma altura que el diámetro de la esfera.

1. Calcula la diferencia entre el volumen de la caja cilíndrica y el volumen de la esfera.

2. Demuestra que el área lateral del cilindro es igual al área de la superficie de la esfera.

Se ha sumergido totalmente una bola de plomo esférica de $6 \text{ cm}$ de diámetro en un recipiente cilíndrico de $10 \text{ cm}$ de radio que contenía agua.

1. ¿Cuánto ha subido el nivel del agua en el recipiente tras introducir la bola?

2. Si después de esto, fundimos la bola de plomo y fabricamos con ella un cono cuya base tiene el mismo radio que la esfera original ($3 \text{ cm}$), ¿qué altura tendrá el cono?