Ejercicios: Cálculo de vigas y cerchas

Explica qué son los diagramas de esfuerzos de una viga y para qué sirven: qué representa el diagrama de esfuerzo cortante y qué el de momento flector, y por qué la sección que se dimensiona es aquella donde el momento flector es máximo (la «sección peligrosa»).

Distingue entre esfuerzo cortante y momento flector en una sección de viga: qué tiende a hacer cada uno (deslizar verticalmente una parte respecto a la otra frente a curvar la pieza) y en qué unidades se mide cada uno en el Sistema Internacional.

Explica el criterio de signos habitual del momento flector: positivo cuando la viga se curva con la cara inferior traccionada y negativo cuando se curva al revés. Razona en qué cara de una viga biapoyada de hormigón armado se colocan las armaduras principales y por qué.

Compara una viga biapoyada con una ménsula en voladizo desde el punto de vista de sus esfuerzos: en cuál aparece momento positivo en el centro de la luz y en cuál momento negativo junto al empotramiento. Pon un ejemplo real de cada tipología (forjado entre viguetas, balcón) e indica en qué cara trabaja a tracción el material en cada caso.

Explica qué es una carga uniformemente repartida y cómo se sustituye por su resultante para calcular reacciones (fuerza total $q \cdot L$ aplicada en el centro de la zona cargada). Pon dos ejemplos reales: la nieve sobre una cubierta plana y el peso propio de una viga.

Describe en qué consiste el método de los nudos para resolver una cercha: qué equilibrios se plantean en cada nudo ($\sum F_x = 0$ y $\sum F_y = 0$), por qué conviene empezar por un nudo con solo dos barras desconocidas y cómo se propaga el cálculo al resto de la estructura.

Compara el trabajo a tracción y a compresión de una barra de cercha: en qué dirección «tira» o «empuja» cada una sobre el nudo, y qué fenómeno adicional amenaza a una barra comprimida y esbelta (pandeo) que no afecta a una traccionada. ¿Qué consecuencia tiene eso al dimensionarla?

Explica la idea del método gráfico de Cremona para cerchas: qué se dibuja nudo a nudo (polígonos de fuerzas a escala), qué se mide sobre el papel para obtener los esfuerzos y por qué este método era tan valioso antes de las calculadoras. Comenta su precisión frente al método analítico.

La figura muestra una viga biapoyada de $5\ \text{m}$ con una carga puntual de $2\,000\ \text{N}$ aplicada a $2\ \text{m}$ del apoyo A. a) Calcula las reacciones en A y B. b) Dibuja a mano el diagrama de esfuerzo cortante indicando su valor en cada tramo. c) Indica el valor del momento flector máximo y en qué sección se produce.

Una viga biapoyada de $6\ \text{m}$ soporta una carga de $3\,000\ \text{N}$ en su centro. a) Calcula las reacciones. b) Dibuja el diagrama de momentos flectores (un triángulo simétrico) y calcula el momento máximo con $M_{max} = \frac{P \cdot L}{4}$. c) Explica por qué el diagrama de cortantes cambia de signo justo en la sección donde el momento es máximo.

Una viga biapoyada de $4\ \text{m}$ soporta una carga uniformemente repartida de $500\ \text{N/m}$ en toda su longitud. a) Calcula las reacciones. b) Calcula el momento máximo en el centro con $M_{max} = \frac{q \cdot L^2}{8}$. c) Dibuja la forma de los diagramas de cortantes (línea inclinada que cruza por cero) y de momentos (parábola), señalando sus valores característicos.

Un estante en voladizo de $1{,}5\ \text{m}$, empotrado en la pared, soporta $800\ \text{N}$ en su extremo libre. a) Calcula la reacción vertical y el momento de empotramiento en la pared. b) Dibuja los diagramas de cortantes (constante) y de momentos (triángulo con el máximo en la pared). c) Razona por qué la ménsula se rompería por el empotramiento y no por el extremo.

Una marquesina en voladizo de $2\ \text{m}$ soporta una carga repartida de $300\ \text{N/m}$ (peso propio más nieve). a) Sustituye la carga por su resultante y calcula el momento en el empotramiento. b) Comprueba el resultado con la fórmula del momento máximo, $M_{max} = \frac{q \cdot L^2}{2}$. c) Dibuja la forma del diagrama de momentos (parábola creciente hacia la pared) e indica su signo.

En un nudo de una cercha concurren una barra horizontal y una barra inclinada que sube hacia la izquierda formando $60^\circ$ con la horizontal, y cuelga una carga de $1\,000\ \text{N}$. a) Plantea $\sum F_y = 0$ en el nudo y calcula el esfuerzo de la barra inclinada, razonando si trabaja a tracción. b) Plantea $\sum F_x = 0$ y calcula el esfuerzo de la barra horizontal, razonando su signo (puedes usar $\sen 60^\circ = 0{,}866$ y $\cos 60^\circ = 0{,}5$).

El diagrama de cortantes de una viga biapoyada de $4\ \text{m}$ es un rectángulo de $+1\,500\ \text{N}$ entre el apoyo A y el centro de la luz, y otro de $-1\,500\ \text{N}$ del centro al apoyo B. a) Deduce qué carga soporta la viga, dónde está aplicada y cuánto valen las reacciones. b) Dibuja el diagrama de momentos correspondiente y calcula el momento máximo.

Explica qué son las barras de esfuerzo nulo en una cercha y enuncia la regla para detectarlas a simple vista (en un nudo sin carga con tres barras, dos de ellas alineadas, la tercera es nula; en un nudo sin carga con solo dos barras no alineadas, ambas son nulas). Dibuja un ejemplo de cada caso y razona por qué esas barras se mantienen aunque no trabajen (estabilidad, montaje, cargas futuras).

La figura muestra una viga biapoyada de $6\ \text{m}$ con una carga puntual de $2\,400\ \text{N}$ a $2\ \text{m}$ del apoyo A, junto a la forma de sus diagramas de cortantes y de momentos, cuyos valores están sin calcular. a) Calcula las reacciones. b) Obtén los valores del cortante en cada tramo y complétalos sobre una copia del diagrama. c) Calcula el momento máximo con $M_{max} = \frac{P \cdot a \cdot b}{L}$ (donde $a$ y $b$ son las distancias de la carga a cada apoyo) y comprueba que coincide con el producto del cortante por la distancia en el primer tramo.

Una viga biapoyada de $6\ \text{m}$ soporta una carga uniformemente repartida de $200\ \text{N/m}$ en toda su longitud más una carga puntual de $1\,200\ \text{N}$ en su centro. a) Calcula las reacciones aplicando superposición (resuelve por separado y suma). b) Calcula el momento máximo sumando las contribuciones $\frac{q \cdot L^2}{8}$ y $\frac{P \cdot L}{4}$. c) Esboza los dos diagramas de momentos por separado y su suma, comentando dónde sigue estando el máximo.

Un voladizo de $2{,}5\ \text{m}$ soporta una carga uniformemente repartida de $400\ \text{N/m}$. a) Calcula el cortante máximo y el momento máximo en el empotramiento, $M_{max} = \frac{q \cdot L^2}{2}$. b) Dibuja los dos diagramas (triángulo de cortantes, parábola de momentos) con sus valores. c) Un instalador propone anclar la ménsula con dos tornillos en la parte superior del empotramiento: razona por qué esos tornillos trabajan a tracción y qué comprobación harías.

La figura muestra una cercha de $6\ \text{m}$ de luz y $2\ \text{m}$ de altura, apoyada en A y C, con una carga de $5\,000\ \text{N}$ colgando del nudo central inferior D. a) Calcula las reacciones por simetría. b) Aplica el equilibrio del nudo A para hallar los esfuerzos de las barras AB (diagonal) y AD (horizontal), indicando si son de tracción o de compresión (las diagonales forman un ángulo con $\sen \alpha = 0{,}55$ y $\cos \alpha = 0{,}83$). c) Aplica el equilibrio del nudo D para hallar el esfuerzo de la barra vertical BD.

Retoma el nudo A de la cercha del ejercicio anterior y explica cómo se resolvería gráficamente por el método de Cremona: con la reacción conocida, se dibuja a escala su vector y, desde sus extremos, paralelas a las dos barras hasta que se cierran. Indica qué se mide en el papel para obtener los esfuerzos, cómo se distingue tracción de compresión con el sentido de las flechas y qué ventajas e inconvenientes tiene frente al cálculo analítico.

Una viga de $10\ \text{m}$ de longitud total tiene sus apoyos A y B situados a $2\ \text{m}$ de cada extremo (voladizos laterales) y soporta una carga uniformemente repartida de $100\ \text{N/m}$ en toda su longitud. a) Calcula las reacciones por simetría. b) Calcula el momento flector en los apoyos (negativo, debido al voladizo: $M_A = -\frac{q \cdot a^2}{2}$ con $a = 2\ \text{m}$). c) Calcula el momento en el centro de la luz entre apoyos y compara los dos valores. d) Razona por qué los puentes grúa y las vigas continuas aprovechan los momentos negativos para reducir el momento máximo de diseño frente a una viga simplemente apoyada.

Para tres luces distintas ($4\ \text{m}$, $8\ \text{m}$ y $20\ \text{m}$) con cargas similares, elige y justifica la tipología estructural más razonable entre viga maciza de madera, viga metálica laminada, viga de celosía (cercha) y viga mixta de hormigón armado. Argumenta con el crecimiento del momento flector con la luz, el canto disponible, el peso propio y la facilidad de ejecución de cada solución.

Un balcón en voladizo presenta fisuras en la cara superior junto al empotramiento. Analiza el fallo con los conceptos del tema: qué signo tiene allí el momento flector, qué cara de la losa trabaja a tracción, qué error de colocación de armaduras pudo producirse durante la ejecución, qué otras causas agravantes caben (corrosión de las barras, sobrecarga por macetas y toldos) y qué medidas correctoras y preventivas propondrías.