Ejercicios: Simplificación con mapas de Karnaugh

Explica cómo se construye un mapa de Karnaugh de dos variables: cuántas celdas tiene, qué representa cada celda y por qué las columnas y filas se etiquetan siguiendo el código Gray ($00$, $01$, $11$, $10$) en lugar del orden binario habitual.

Enuncia las reglas para formar grupos en un mapa de Karnaugh: qué tamaños de grupo son válidos, qué significa que las celdas deben ser adyacentes (incluidos los bordes) y cómo se obtiene el término simplificado de cada grupo.

El mapa de Karnaugh de la figura corresponde a una función de tres variables $f(a, b, c)$. Señala las agrupaciones que harías (dibújalas o descríbelas por sus celdas) y obtén la función mínima resultante.

Construye el mapa de Karnaugh de dos variables de la función AND: cuántas celdas tiene, dónde va el único $1$ y qué compruebas al intentar agrupar (solo hay una celda: no se puede simplificar la función canónica).

En un mapa de dos variables hay unos en las celdas $ab = 10$ y $ab = 11$. Describe la agrupación y razona qué variable se elimina (la que cambia dentro del grupo) y cuál queda fija, escribiendo el término simplificado.

Explica por qué un grupo de dos celdas elimina una variable, uno de cuatro celdas elimina dos y uno de ocho elimina tres. ¿Qué tamaño de grupo eliminaría todas las variables de una función de tres variables y qué función resulta entonces?

Un grupo rectangular de un mapa cubre las celdas donde $a = 1$, con $b$ y $c$ tomando todos los valores. Escribe el término que representa ese grupo y justifica la regla: «el término contiene solo las variables que no cambian dentro del grupo, negadas si valen $0$ y sin negar si valen $1$».

Traslada a un mapa de Karnaugh de tres variables (columnas $ab$: $00$, $01$, $11$, $10$; filas $c$: $0$, $1$) los minterms $0$, $2$, $5$ y $7$ de una función. Dibuja el mapa completo con sus unos y ceros en cada celda.

La función $f(a,b,c)$ vale $1$ para las combinaciones $1$, $3$, $5$ y $7$ (en decimal, con $a$ como bit más significativo). Traslada la tabla de verdad a un mapa de Karnaugh de tres variables, forma la agrupación más grande posible y obtén la función mínima. Comprueba el resultado sustituyendo dos combinaciones.

Simplifica con un mapa de Karnaugh de tres variables la función $f = \overline{a} \cdot \overline{b} \cdot c + \overline{a} \cdot b \cdot c + a \cdot \overline{b} \cdot c + a \cdot b \cdot c$, indicando qué variable se elimina en el grupo formado. Comenta qué propiedad de Boole confirma el resultado ($x \cdot c + \overline{x} \cdot c = c$).

En un mapa de cuatro variables, explica por qué la celda de la esquina superior izquierda es adyacente a la de la esquina superior derecha, y forma con un ejemplo la agrupación de cuatro esquinas: ¿qué término simplificado produce un grupo con las cuatro esquinas de un mapa de cuatro variables?

Simplifica con un mapa de tres variables la función que vale $1$ en los minterms $1$, $2$, $3$ y $6$ (con $a$ como bit más significativo): dibuja el mapa, marca las dos agrupaciones necesarias y escribe la función mínima como suma de dos productos.

En un mapa de tres variables los unos ocupan las celdas $0$, $1$, $4$ y $5$. Muestra que hay una única agrupación de cuatro celdas, explica por qué es válida aunque las celdas $0$ y $4$ no se toquen físicamente en el mapa (adyacencia por los bordes) y obtén la función mínima.

La figura muestra un mapa de Karnaugh de cuatro variables $f(a,b,c,d)$ con ocho unos. Señala la agrupación más grande posible, escribe la función mínima y comprueba el resultado con las combinaciones $0000$ y $0101$.

La función de tres variables $f$ vale $1$ en los minterms $1$, $3$, $4$, $5$ y $7$. Dibuja el mapa, busca las agrupaciones (una de cuatro y otra de dos, con solapamiento) y obtén la función mínima. Explica por qué un uno puede pertenecer a dos grupos a la vez.

Dos compañeros obtienen para la misma tabla de verdad las funciones $f = \overline{a} \cdot c + a \cdot b$ y $f = \overline{a} \cdot c + a \cdot b + b \cdot c$. Comprueba con un mapa de Karnaugh si son equivalentes y explica qué es un término redundante (o de consenso) en este contexto.

La función de cuatro variables $f(a,b,c,d)$ vale $1$ para las combinaciones $0$, $2$, $4$, $6$, $8$, $10$, $12$ y $14$. Dibuja el mapa de Karnaugh de cuatro variables, forma las agrupaciones (observa el patrón) y obtén la función mínima. Comenta qué tienen en común esas combinaciones en binario.

Diseña con mapas de Karnaugh el circuito que detecta los números primos entre $0$ y $15$ (entradas $a$, $b$, $c$, $d$): tabla de verdad, mapa con las agrupaciones dibujadas, función mínima como suma de productos y circuito de puertas correspondiente.

Una tabla de verdad tiene salidas «indiferentes» (términos $X$, que pueden tomarse como $0$ o como $1$ porque esa combinación nunca se da en el sistema). Explica cómo se aprovechan las $X$ en el mapa de Karnaugh para conseguir agrupaciones mayores, y aplícalo a una función de tres variables donde $f$ vale $1$ en la combinación $5$, vale $0$ en las $0$, $1$, $2$ y $3$, y es indiferente en las $4$, $6$ y $7$: obtén la función mínima con y sin aprovechar las $X$ y compara.

Para el segmento horizontal superior de un display de siete segmentos (el que se enciende en los dígitos $0$, $2$, $3$, $5$, $6$, $7$, $8$ y $9$, con entradas $a$, $b$, $c$, $d$ como código BCD): plantea el mapa de cuatro variables usando las combinaciones $10$ a $15$ como indiferencias, simplifica y escribe la función mínima del segmento.

Una función de cuatro variables vale $1$ en los minterms $1$, $3$, $7$, $11$ y $15$, y es indiferente en $5$, $9$ y $13$. Dibuja el mapa, aprovecha las indiferencias para formar el grupo mayor posible y obtén la función mínima. Compara con la que saldría tomando todas las $X$ como $0$.

Explica cómo se obtiene la función mínima como producto de sumas agrupando los ceros del mapa (en lugar de los unos) y negando al final. Aplícalo a una función de tres variables que vale $0$ solo en los minterms $0$, $1$, $4$ y $5$: ¿qué expresión resulta y es más sencilla que la suma de productos?

Para los minterms $0$, $2$, $5$, $7$, $8$ y $10$ de cuatro variables, encuentra con el mapa dos simplificaciones distintas igual de económicas (mismo número de términos y literales). Explica qué criterio usarías para desempatar en la práctica (fan-in de las puertas disponibles, compartición de términos con otras salidas).

Diseña el circuito que detecta si un dígito BCD (entradas $a$, $b$, $c$, $d$) representa un valor válido ($0$ a $9$): la salida debe ser $1$ para los valores $0$ a $9$ y $0$ para $10$ a $15$, esta vez SIN indiferencias (la salida está definida para todo). Plantea el mapa, simplifica y compara la complejidad con la versión que aprovecharía indiferencias.