Ejercicios: Espectros y modelo de Bohr

Un puntero láser utilizado habitualmente en demostraciones docentes emite radiación electromagnética visible de color rojo con una longitud de onda de $656{,}3\,\mathrm{nm}$. A partir de estos datos, calcula:

1. a) La frecuencia asociada a dicha radiación electromagnética expresada en unidades del Sistema Internacional.
2. b) La energía que transporta un único fotón emitido por el dispositivo láser.

Datos: velocidad de la luz en el vacío, $c = 3{,}00 \cdot 10^8\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$; constante de Planck, $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$.

El análisis de la luz emitida o absorbida por las sustancias constituye una herramienta fundamental para comprender la corteza atómica.

1. a) Explica la diferencia física esencial entre un espectro continuo y un espectro discontinuo o de líneas.
2. b) Justifica por qué el espectro de emisión atómica de un gas a baja presión está formado por líneas discretas y explica la correspondencia que guardan dichas líneas con las observadas en su espectro de absorción.

En el modelo atómico propuesto por Bohr para el átomo de hidrógeno, la energía asociada a cada nivel electrónico depende del número cuántico principal $n$ mediante la expresión:

$$E_n = -\frac{2{,}18 \cdot 10^{-18}}{n^2}\,\mathrm{J}$$

1. a) Calcula el valor de la energía del electrón en el estado fundamental ($n=1$) y en el primer estado excitado ($n=2$).
2. b) Explica el significado físico del signo negativo asignado a estos niveles de energía y qué representa el estado en el que $n \rightarrow \infty$.

El siguiente esquema muestra los tres primeros niveles energéticos del átomo de hidrógeno y dos transiciones electrónicas etiquetadas como A y B:

. A partir del diagrama y de los datos facilitados:

1. a) Razona si las transiciones A y B corresponden a procesos de absorción o de emisión de energía.
2. b) Calcula la energía (en $\mathrm{eV}$) y la longitud de onda (en $\mathrm{nm}$) del fotón involucrado en la transición A ($3 \rightarrow 2$), e indica razonadamente cuál de las dos transiciones (A o B) emite radiación de menor longitud de onda.

Datos: $E_1 = -13{,}6\,\mathrm{eV}$; $E_2 = -3{,}4\,\mathrm{eV}$; $E_3 = -1{,}51\,\mathrm{eV}$; factor de conversión: $1\,\mathrm{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J}$; $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$; $c = 3{,}00 \cdot 10^8\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$.

En una lámpara de descarga que contiene gas hidrógeno monoatómico se produce una transición electrónica masiva desde el cuarto nivel cuantizado ($n=4$) hasta el estado fundamental ($n=1$).

1. a) Calcula la energía desprendida por un único átomo de hidrógeno en esta desexcitación y determina la frecuencia del fotón emitido.
2. b) Calcula la energía total emitida, expresada en $\mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}$, si un mol entero de átomos de hidrógeno experimenta dicha desexcitación de forma simultánea.

Datos: fórmula de Bohr para el hidrógeno: $E_n = -\frac{2{,}18 \cdot 10^{-18}}{n^2}\,\mathrm{J}$; constante de Planck, $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$; constante de Avogadro, $N_A = 6{,}022 \cdot 10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}}$.

El modelo atómico de Bohr supuso un hito al introducir el concepto de cuantización en la estructura atómica, explicando con éxito las líneas del espectro del hidrógeno; sin embargo, no tardó en evidenciar limitaciones insalvables.

1. a) Explica dos deficiencias concretas del modelo de Bohr relativas a su incapacidad para describir sistemas atómicos con más de un electrón y a la estructura fina de los espectros observada con espectroscopios de alta resolución.
2. b) Razona por qué atribuir al electrón una trayectoria con posición y momento simultáneamente definidos es incompatible con Heisenberg. Distingue esta limitación del hecho de que una onda estacionaria de de Broglie sí puede proporcionar una interpretación de la cuantización de Bohr.

La energía de ionización de una especie química gaseosa es la energía mínima indispensable para arrancar su electrón más externo llevándolo desde su estado inicial hasta el reposo en el infinito.

1. a) Tomando como base el modelo de Bohr para el hidrógeno ($E_n = -\frac{2{,}18 \cdot 10^{-18}}{n^2}\,\mathrm{J}$), calcula la energía de ionización de un átomo de hidrógeno en su estado fundamental ($n=1$) en julios y el valor correspondiente para un mol de átomos en $\mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}$.
2. b) Si una muestra gaseosa de átomos de hidrógeno se encuentra previamente excitada en el nivel $n=3$, determina la longitud de onda máxima (en $\mathrm{nm}$) que debe tener un haz de luz monocromática para lograr fotoionizar los átomos desde dicho nivel excitado, e identifica razonadamente la región del espectro electromagnético a la que pertenece.

Datos: $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$; $c = 3{,}00 \cdot 10^8\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$; $N_A = 6{,}022 \cdot 10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}}$.

En un espectrómetro óptico se registra una línea de emisión del átomo de hidrógeno en el intervalo visible (serie de Balmer, cuyo nivel de llegada es $n_f = 2$) con una longitud de onda experimental de $\lambda = 434{,}1\,\mathrm{nm}$.

1. a) Calcula la energía del fotón emitido en julios y determina el número cuántico principal del nivel orbital inicial $n_i$ del que procedía el electrón, aplicando la expresión de Bohr $E_n = -\frac{2{,}18 \cdot 10^{-18}}{n^2}\,\mathrm{J}$.
2. b) Justifica rigurosamente mediante el balance energético pertinente si un fotón incidente de radiación con una energía de $3{,}00\,\mathrm{eV}$ podría ser absorbido por un átomo de hidrógeno que se halla en el estado $n=2$.

Datos: $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$; $c = 3{,}00 \cdot 10^8\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$; $1\,\mathrm{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J}$.

Un tubo de descarga con hidrógeno emite radiación ultravioleta correspondiente a la serie de Lyman, en la que todas las transiciones finalizan en el estado fundamental $n_f = 1$. Se consideran dos líneas concretas: la transición 1 procedente de $n=2$ y la transición 2 procedente de $n=3$.

1. a) Calcula la energía de los fotones emitidos en cada una de las dos transiciones (en $\mathrm{J}$) y sus longitudes de onda asociadas (en $\mathrm{nm}$).
2. b) Razona por qué las ecuaciones de Bohr aproximan los niveles principales y las líneas espectrales del ion helio monovalente $\mathrm{He}^+$ incluyendo el factor $Z^2$ en la energía ($Z=2$) y despreciando estructura fina y correcciones de masa, pero resultan incapaces de calcular las frecuencias de emisión del átomo neutro de helio ($\mathrm{He}$).

Datos: $E_n = -\frac{2{,}18 \cdot 10^{-18}}{n^2}\,\mathrm{J}$ (para el H); $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$; $c = 3{,}00 \cdot 10^8\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$.