Ejercicios: Modelo mecano-cuántico

Un haz de electrones viaja a una velocidad constante de $2{,}20 \cdot 10^{6}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$. Datos: masa del electrón $m_{\mathrm{e}} = 9{,}109 \cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}$; constante de Planck $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$.

1. a) Calcule la longitud de onda de de Broglie asociada a cada electrón del haz.
2. b) Justifique si dicha longitud de onda es comparable con las distancias interatómicas típicas en un sólido (del orden de $10^{-10}\,\mathrm{m}$) y qué consecuencia física tiene este hecho para la difracción de partículas.

La velocidad de un electrón se determina experimentalmente como $v = 4{,}50 \cdot 10^{5}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ con una incertidumbre del $0{,}10\,\%$. Datos: $m_{\mathrm{e}} = 9{,}109 \cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}$; $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$; $\pi = 3{,}1416$.

1. a) Determine la incertidumbre mínima en la medida de su posición ($\Delta x$).
2. b) A partir del resultado, explique por qué el concepto clásico de trayectoria definida no es aplicable a un electrón dentro del átomo.

En el marco de la mecánica cuántica se sustituye el concepto de órbita del modelo de Bohr por el de orbital atómico.

1. a) Defina con precisión el término «orbital atómico» indicando qué magnitud física representa el cuadrado de la función de onda ($|\psi|^2$).
2. b) Indique si conocer el orbital permite predecir con certeza la posición de un electrón antes de medirla y justifique su respuesta citando el principio físico correspondiente.

La siguiente ilustración esquematiza una sección bidimensional de la densidad de puntos correspondiente a un orbital atómico tipo $s$, donde se destacan una región interior de alta densidad relativa (A) y una zona periférica de menor densidad (B), delimitadas por una superficie de contorno. Observe el diagrama

y responda a las siguientes cuestiones:

1. a) Explique el significado físico de la densidad de puntos en este diagrama y justifique por qué en el modelo cuántico no se dibuja una órbita circular o elíptica precisa.
2. b) Describa qué representa la línea de contorno exterior indicada habitualmente en los manuales para este tipo de orbital y razone si los signos algebraicos ($+$ o $-$) que a veces se asignan a las funciones de onda representan carga eléctrica positiva o negativa.

Considere dos partículas con la misma velocidad de $15{,}0\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$: un neutrón libre muy lento y una mota de polvo microscópica cuya masa es de $2{,}00 \cdot 10^{-10}\,\mathrm{g}$. Datos: masa del neutrón $m_{\mathrm{n}} = 1{,}675 \cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}$; constante de Planck $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$.

1. a) Calcule la longitud de onda de de Broglie asociada a cada una de las dos partículas.
2. b) Compare los valores obtenidos con dimensiones observables (como la luz visible o el espaciado atómico) y razone por qué el comportamiento ondulatorio es relevante para el neutrón pero totalmente inapreciable para la mota de polvo.

Se analiza la indeterminación en la medida del movimiento de dos cuerpos: un electrón confinado en una región nuclear teórica de $\Delta x = 1{,}00 \cdot 10^{-14}\,\mathrm{m}$ y una pelota de tenis de masa $58{,}0\,\mathrm{g}$ localizada con una precisión de $\Delta x = 1{,}00 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{m}$. Datos: $m_{\mathrm{e}} = 9{,}109 \cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}$; $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$; $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$; $\pi = 3{,}1416$.

1. a) Calcule primero $\Delta p_{\min}=h/(4\pi\Delta x)$ y el valor que resultaría para $\Delta v$ si se aplicase la aproximación no relativista $p=mv$ en ambos casos.
2. b) Explique por qué el valor formal obtenido para el electrón muestra que la aproximación no relativista deja de ser válida, y no demuestra que un electrón pueda superar la velocidad de la luz. Compare este caso con la pelota.

Considere la representación espacial y las propiedades mecano-cuánticas de los orbitales atómicos $2p$.

1. a) Describa la geometría tridimensional de un orbital $2p_z$, indicando el número de lóbulos, la posición de su plano nodal y el valor de la probabilidad de encontrar al electrón en dicho plano.
2. b) En las representaciones gráficas de los orbitales $2p$ suele colorearse un lóbulo con signo positivo ($+$) y el otro con signo negativo ($-$). Explique detalladamente el significado físico de estos signos, diferenciándolo de la carga eléctrica, y analice cómo influye esta propiedad en la formación de enlaces por solapamiento en fase o en oposición de fase.

En un cañón de electrones, los electrones parten del reposo y se aceleran mediante una diferencia de potencial eléctrico $\Delta V = 150\,\mathrm{V}$. Posteriormente, se hace pasar el haz por un colimador que restringe su coordenada transversal con una incertidumbre $\Delta x = 0{,}200\,\mathrm{nm}$. Datos: carga elemental $e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{C}$; masa del electrón $m_{\mathrm{e}} = 9{,}109 \cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}$; constante de Planck $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$; $\pi = 3{,}1416$.

1. a) Calcule la velocidad alcanzada por los electrones y determine su longitud de onda de de Broglie asociada.
2. b) Calcule la incertidumbre mínima introducida en la componente transversal de su velocidad ($\Delta v_x$) y determine la dispersión angular mínima aproximada del haz $\theta \approx \Delta v_x / v$. Concluya si resulta admisible describir el haz mediante rayos clásicos de trayectoria rectilínea sin divergencia.

Un detector de impacto de partículas registra electrones individuales transmitidos a través de una lámina metálica delgada policristalina con espaciado interplanar $d = 0{,}125\,\mathrm{nm}$. Al inicio, cuando solo han llegado 20 electrones, la pantalla registra impactos puntuales aparentemente aleatorios. Tras el paso continuado de $10^{6}$ electrones, los impactos se acumulan formando un patrón nítido de anillos concéntricos idéntico a las figuras de interferencia óptica. Datos: $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$; $m_{\mathrm{e}} = 9{,}109 \cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}$.

1. a) Sabiendo que los anillos de difracción constructiva de primer orden siguen la condición geométrica $\lambda = 2d\sin\theta$ y que el primer anillo aparece a un ángulo $\theta = 30{,}0^\circ$, determine la velocidad que poseían los electrones incidentes.
2. b) Analice este experimento a la luz de la dualidad onda-corpúsculo y el concepto mecano-cuántico de probabilidad: aclare si cada electrón se comporta como una partícula o como una onda durante su propagación y detección.