Ejercicios: Interpretaciones de la probabilidad

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando tu respuesta:

1. a) «Llevo $20$ tiradas seguidas sin sacar un $5$ con este dado correcto. Según la ley de los grandes números, en la próxima tirada es muy probable que por fin salga un $5$.»
2. b) «Aunque en las últimas $20$ tiradas no haya salido ningún $5$, la probabilidad de que salga en la siguiente sigue siendo $\frac{1}{6}$: el azar no tiene memoria.»

Se lanza una chincheta $400$ veces y cae con la punta hacia arriba en $260$ ocasiones.

1. a) Estima la probabilidad de que la chincheta caiga con la punta hacia arriba.
2. b) Explica por qué en este experimento no se puede aplicar la regla de Laplace.
3. c) ¿Qué interpretación de la probabilidad has usado en el apartado a)?

Se ha simulado con el ordenador el lanzamiento repetido de una moneda y se ha anotado la frecuencia relativa de CARA tras $10$, $100$, $1.000$ y $10.000$ lanzamientos, como se muestra en la gráfica.

1. a) ¿Hacia qué valor parece estabilizarse la frecuencia relativa? ¿Qué probabilidad estimarías para CARA?
2. b) ¿Qué ley justifica ese comportamiento? Enúnciala con tus palabras.
3. c) Explica por qué la estimación con $10$ lanzamientos es poco fiable aunque el experimento sea correcto.

En una caseta de feria se juega a «el disco de la suerte»: se deja caer un disco de $2\ \text{cm}$ de diámetro sobre una cuadrícula de cuadrados de $5\ \text{cm}$ de lado, como se muestra en la figura, y se gana si el disco cae sin tocar ninguna raya.

1. a) Calcula la probabilidad teórica de ganar. (Sugerencia: la posición del disco queda determinada por su centro; razona en qué región de cada cuadrado debe caer el centro.)
2. b) Un jugador lanza el disco $300$ veces y gana $114$. Calcula la frecuencia relativa de ganar y compárala con la probabilidad teórica.
3. c) ¿Contradice el resultado experimental a la probabilidad teórica? Razona tu respuesta.

La app del tiempo anuncia: «mañana, $70\ \%$ de probabilidad de lluvia».

1. a) Explica qué significa esa afirmación: ¿se trata de una probabilidad clásica (de Laplace), frecuentista o subjetiva? ¿En qué datos crees que se apoya?
2. b) Tres amigos asignan probabilidades al partido del sábado. El primero dice: «gana mi equipo con probabilidad $0,5$, empata con $0,3$ y pierde con $0,3$». El segundo dice: «gana con $0,6$, empata con $0,3$ y pierde con $0,1$». ¿Son coherentes ambas asignaciones? ¿Por qué?
3. c) ¿Puede ser «incorrecta» una probabilidad subjetiva aunque sea coherente? Coméntalo brevemente.

Se lanza un dardo a una diana circular formada por tres círculos concéntricos de radios $r$, $2r$ y $3r$. Suponiendo que el dardo siempre impacta en la diana y que la probabilidad de impactar en una región es directamente proporcional a su área, calcula la probabilidad de que el dardo impacte en la corona circular intermedia (la región comprendida entre el círculo de radio $r$ y el de radio $2r$).

El ayuntamiento de una ciudad quiere estimar la proporción de vecinos que reciclan a diario. Una encuesta a $2.000$ personas elegidas al azar da $1.340$ que afirman reciclar a diario.

1. a) Estima la probabilidad de que un vecino elegido al azar recicle a diario e indica qué interpretación de la probabilidad estás usando.
2. b) Otro instituto repite la encuesta con solo $50$ personas y obtiene $31$ que reciclan ($0,62$). ¿Cuál de las dos estimaciones es más fiable? ¿Qué resultado teórico lo justifica?
3. c) Redacta una conclusión correcta sobre la proporción de vecinos que reciclan, mencionando el papel del tamaño de la muestra.

Tres personas hablan de la probabilidad de que el autobús de las 8:00 llegue tarde:

• Persona 1: «De los últimos $200$ días lectivos llegó tarde $24$, así que la probabilidad es $0,12$.»

• Persona 2: «El autobús llega puntual o tarde: dos casos posibles, luego la probabilidad de llegar tarde es $\frac{1}{2}$.»

• Persona 3: «Yo diría que hay un $40\ \%$ de probabilidad de que llegue tarde; es lo que me parece por mi experiencia.»

1. a) Identifica a qué interpretación de la probabilidad (frecuentista, clásica o de Laplace, y subjetiva) corresponde cada afirmación.
2. b) El razonamiento de una de las personas es incorrecto. ¿De cuál se trata y por qué?
3. c) ¿Qué datos recogerías para mejorar cada una de las tres estimaciones?

Tras simular $10.000$ lanzamientos de una moneda con el ordenador, la frecuencia relativa de CARA ha resultado ser $0,5003$. Dos alumnos comentan el resultado:

• Alumno A: «La moneda está trucada, porque si fuera justa la frecuencia relativa sería exactamente $0,5$.»

• Alumno B: «La probabilidad exacta de CARA en esta moneda es $0,5003$.»

1. a) Analiza el error de cada uno de los dos razonamientos.
2. b) Escribe una conclusión correcta sobre lo que el experimento permite afirmar acerca de la moneda.

Dos camiones de reparto, $A$ y $B$, llegan a un muelle de carga de forma independiente y aleatoria entre las 12:00 y las 13:00 horas. El camión $A$ necesita 15 minutos para descargar, mientras que el camión $B$ necesita 10 minutos. Si un camión llega y el muelle está ocupado, debe esperar. Utilizando la probabilidad geométrica (representando el tiempo de llegada de $A$ en el eje X y el de $B$ en el eje Y), calcula la probabilidad de que ninguno de los dos camiones tenga que esperar al otro.