Ejercicios: Lugares geométricos en el espacio

Dados los puntos $A(2, -1, 3)$ y $B(4, 3, -1)$:

1. a) Plantea la condición $\text{dist}(X, A) = \text{dist}(X, B)$ para un punto genérico $X(x, y, z)$.
2. b) Simplifica la ecuación resultante hasta obtener la ecuación del plano mediador del segmento $AB$.
3. c) Comprueba que el punto medio de $AB$ pertenece a ese plano.

1. a) Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del espacio que distan $5$ unidades del punto $C(1, -2, 0)$.
2. b) ¿Qué superficie es? Indica su centro y su radio.
3. c) Decide, sin dibujar, si el punto $P(4, 2, 0)$ pertenece a esa superficie.

Halla el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los planos $\pi: 2x - y + 2z - 3 = 0$ y $\pi': x + 2y - 2z + 1 = 0$.

1. a) Plantea la condición $\text{dist}(X, \pi) = \text{dist}(X, \pi')$ usando la fórmula de la distancia punto-plano.
2. b) Resuelve la ecuación con valor absoluto distinguiendo los dos casos posibles y da las ecuaciones de los planos resultantes (planos bisectores).
3. c) Comprueba que los dos planos obtenidos son perpendiculares entre sí.

Dados los puntos $A(1, 0, 2)$ y $B(3, 4, -2)$, se busca el lugar geométrico de los puntos $X$ del espacio tales que el triángulo $ABX$ es rectángulo en $X$, es decir, los segmentos $AX$ y $BX$ son perpendiculares, como se ilustra en la figura.

1. a) Expresa la condición de perpendicularidad mediante el producto escalar $\vv{XA} \cdot \vv{XB} = 0$.
2. b) Desarrolla la condición hasta obtener una ecuación en $x$, $y$, $z$ y reescríbela completando cuadrados.
3. c) Identifica la superficie obtenida: ¿qué relación tiene su centro y su radio con el segmento $AB$? (Es la versión espacial del teorema de Tales.)

1. a) Justifica que la distancia de un punto genérico $X(x, y, z)$ al eje $OZ$ es $\sqrt{x^2 + y^2}$.
2. b) Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos que distan $3$ unidades del eje $OZ$ e identifica la superficie que se obtiene.
3. c) ¿Qué figura forma la intersección de esa superficie con el plano $z = 2$? ¿Y con el plano $y = 0$?

Dos balizas de sonar están instaladas en el fondo de un puerto, en los puntos $A(0, 0, 0)$ y $B(6, 2, 4)$ (coordenadas en hectómetros). Un submarino recibe la señal de ambas con la misma intensidad, lo que significa que equidista de las dos balizas, como sugiere la figura.

1. a) Plantea la condición $\text{dist}(X, A) = \text{dist}(X, B)$ para un punto genérico $X(x, y, z)$ y demuestra que el lugar geométrico de las posiciones del submarino es un plano, hallando su ecuación.
2. b) Un submarino se encuentra en el punto $P(4, 2, 1)$. ¿Recibe las dos señales con la misma intensidad? ¿De qué baliza está más cerca?
3. c) Interpreta el plano obtenido como «frontera de cobertura» entre las dos balizas.

Tres sensores sísmicos están colocados en los puntos $A(0, 0, 0)$, $B(2, 0, 0)$ y $C(0, 2, 0)$. Se busca instalar una antena que equidiste de los tres.

1. a) Halla el plano mediador del segmento $AB$.
2. b) Halla el plano mediador del segmento $AC$.
3. c) Deduce que el lugar geométrico de los puntos que equidistan de $A$, $B$ y $C$ es una recta, y da sus ecuaciones paramétricas. ¿Cómo es esa recta respecto al plano que contiene a los tres sensores?

Indica si las siguientes afirmaciones sobre lugares geométricos en el espacio son verdaderas o falsas, justificando cada respuesta:

1. a) «El lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos planos paralelos distintos es un único plano, paralelo a ambos y situado a igual distancia de cada uno.»
2. b) «El lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos planos secantes es un único plano.»
3. c) «El lugar geométrico de los puntos que equidistan de los tres ejes de coordenadas es una única recta.»