Ejercicios: El modelo estándar y las partículas fundamentales

El modelo estándar describe la materia ordinaria a partir de unas pocas partículas elementales: los quarks y los leptones. Los quarks son de seis tipos: up ($\text{u}$), down ($\text{d}$), strange ($\text{s}$), charm ($\text{c}$), bottom ($\text{b}$) y top ($\text{t}$), y los dos primeros, con cargas $q_u = +\frac{2}{3}\,e$ y $q_d = -\frac{1}{3}\,e$, forman los protones y los neutrones.

1. a) ¿Cuántos tipos de quarks existen y cuáles forman la materia ordinaria que nos rodea?
2. b) ¿Qué significa que los quarks sean partículas «elementales»?
3. c) Indica el valor de la carga eléctrica de los quarks $\text{u}$ y $\text{d}$ expresada en unidades de la carga elemental $e$.

Un protón está formado por tres quarks: dos quarks $\text{u}$ y un quark $\text{d}$ (combinación $\text{uud}$). Datos: $q_u = +\frac{2}{3}\,e$, $q_d = -\frac{1}{3}\,e$ y $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$. Observa el esquema:

1. a) Suma las cargas de sus tres quarks y expresa la carga total del protón en función de $e$.
2. b) Calcula el valor de esa carga en culombios.
3. c) ¿Por qué se dice que el protón no es una partícula elemental?

Un neutrón está formado por un quark $\text{u}$ y dos quarks $\text{d}$ (combinación $\text{udd}$). Datos: $q_u = +\frac{2}{3}\,e$ y $q_d = -\frac{1}{3}\,e$.

1. a) Calcula la carga total del neutrón sumando las cargas de sus tres quarks.
2. b) Explica, a la vista del resultado, por qué el neutrón es eléctricamente neutro a pesar de estar formado por partículas cargadas.
3. c) ¿Contiene el neutrón carga eléctrica en su interior? Razona tu respuesta a partir de tu cálculo.

Además de los quarks, el modelo estándar incluye otra familia de partículas de materia: los leptones. El electrón, el muón y el tau, junto con sus tres neutrinos asociados, son leptones.

1. a) ¿Qué propiedad tienen en común los leptones que los diferencia de los quarks? (Piensa en si están o no formados por otras partículas y en qué interacciones sienten.)
2. b) ¿Cuál es el único leptón cargado presente en la materia ordinaria?
3. c) Indica dos propiedades que distinguen a los neutrinos frente al resto de los leptones.

En el modelo estándar, además de las partículas de materia (quarks y leptones), existen partículas mediadoras de las interacciones: los bosones. El fotón, los bosones $\text{W}$ y $\text{Z}$, los gluones y el bosón de Higgs pertenecen a este grupo.

1. a) Nombra el bosón mediador de la interacción electromagnética.
2. b) ¿Qué bosón del modelo estándar está relacionado con el hecho de que las partículas tengan masa?
3. c) Explica con tus palabras la diferencia entre el papel de un bosón mediador y el de una partícula de materia como un leptón.

En un detector de un laboratorio de física de partículas se registran estas seis partículas: electrón, protón, neutrón, fotón, neutrino y bosón de Higgs.

1. a) ¿Cuáles de ellas son leptones?
2. b) ¿Cuáles son hadrones, es decir, están formadas por quarks?
3. c) ¿Cuáles son bosones mediadores o asociados a un campo?

En 1932, Carl Anderson descubrió el positrón en los rayos cósmicos: una partícula idéntica al electrón pero con carga positiva. Fue la primera antipartícula observada.

1. a) ¿Qué propiedades comparten una partícula y su antipartícula y en qué propiedad se diferencian?
2. b) Indica cómo se llama y qué carga tiene la antipartícula del protón.
3. c) ¿Qué ocurre cuando una partícula y su antipartícula se encuentran?

Los hadrones se clasifican en dos grandes grupos: los bariones, formados por tres quarks, y los mesones, formados por un quark y un antiquark. Observa el esquema de un mesón:

1. a) ¿A cuál de los dos grupos pertenecen el protón y el neutrón?
2. b) El pión $\pi^+$ es un mesón formado por un quark $\text{u}$ y un antiquark $\bar{\text{d}}$. Sabiendo que $q_u = +\frac{2}{3}\,e$ y que un antiquark tiene la carga opuesta a la de su quark, calcula la carga del pión en función de $e$.
3. c) Razona si el resultado obtenido es coherente con el nombre del pión, $\pi^+$.

Los bariones delta son combinaciones de tres quarks $\text{u}$ y $\text{d}$: el $\Delta^{++}$ es $\text{uuu}$, el $\Delta^{+}$ es $\text{uud}$, el $\Delta^{0}$ es $\text{udd}$ y el $\Delta^{-}$ es $\text{ddd}$. Datos: $q_u = +\frac{2}{3}\,e$, $q_d = -\frac{1}{3}\,e$ y $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$.

1. a) Calcula la carga eléctrica de cada uno de los cuatro bariones delta en función de $e$.
2. b) Expresa esas cargas en culombios.
3. c) Explica por qué el superíndice de cada partícula ($++$, $+$, $0$, $-$) coincide con el resultado de tu cálculo.

Un mesón está formado por un quark y un antiquark. Considera solo quarks y antiquarks de los tipos $\text{u}$ y $\text{d}$. Datos: $q_u = +\frac{2}{3}\,e$, $q_d = -\frac{1}{3}\,e$, y la carga de un antiquark es la opuesta a la de su quark.

1. a) ¿Qué combinación quark-antiquark da lugar a un mesón de carga $-e$? Compruébalo sumando las cargas.
2. b) ¿Qué combinaciones dan lugar a mesones neutros? Compruébalo.
3. c) Justifica, a partir de las cargas posibles, por qué ningún mesón puede tener carga $+2\,e$.

En física de partículas las energías se expresan en electrónvoltios y sus múltiplos: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$, $1\ \text{MeV} = 10^{6}\ \text{eV}$.

1. a) La energía en reposo del electrón es $0,511\ \text{MeV}$: exprésala en julios.
2. b) La energía en reposo del protón es $938\ \text{MeV}$: exprésala en julios.
3. c) ¿Cuántas veces mayor es la energía en reposo del protón que la del electrón? Expresa el resultado en notación científica.

Según la relatividad, toda partícula en reposo posee una energía $E_0 = m \cdot c^2$ asociada a su masa. Datos: $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ y $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Calcula la energía en reposo del electrón en julios.
2. b) Convierte el resultado a $\text{MeV}$ y comprueba que coincide aproximadamente con el valor aceptado, $0,511\ \text{MeV}$.
3. c) Repite el cálculo para el protón ($m_p = 1,673\cdot10^{-27}\ \text{kg}$) y compara el resultado con $938\ \text{MeV}$.

En una tomografía por emisión de positrones (PET), técnica de diagnóstico médico, se inyecta al paciente un radiotrazador que emite positrones. Cada positrón se aniquila con un electrón del tejido y se emiten dos fotones gamma en sentidos opuestos. Datos: $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ y $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$. Observa el esquema:

1. a) Suponiendo que el electrón y el positrón están prácticamente en reposo, calcula la energía total liberada en la aniquilación, en julios.
2. b) ¿Qué energía lleva cada uno de los dos fotones? Exprésala en $\text{MeV}$.
3. c) Explica, usando la conservación del momento lineal, por qué los dos fotones salen en sentidos opuestos y por qué eso permite al equipo PET localizar el punto donde ocurrió la aniquilación.

En el modelo estándar es habitual expresar las masas de las partículas en $\text{MeV}/c^2$. Datos: masa del electrón $m_e = 0,511\ \text{MeV}/c^2$, masa del muón $m_\mu = 105,7\ \text{MeV}/c^2$, $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$ y $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Explica qué significa expresar una masa en $\text{MeV}/c^2$ y qué relación tiene con la ecuación $E_0 = m \cdot c^2$.
2. b) Calcula la masa del muón en kilogramos.
3. c) ¿Cuántas veces más masivo es el muón que el electrón? Este resultado, cercano a $207$, fue clave para descartar que el muón fuera la partícula que se buscaba en los años 30.

En el experimento ALPHA del CERN se fabrican átomos de antihidrógeno, la antimateria más sencilla posible, combinando un antiprotón con un positrón. Datos: $q_u = +\frac{2}{3}\,e$, $q_d = -\frac{1}{3}\,e$, y la carga de un antiquark es la opuesta a la de su quark.

1. a) Indica la composición del antihidrógeno y razona cuál es su carga neta.
2. b) El antiprotón está formado por dos antiquarks $\bar{\text{u}}$ y un antiquark $\bar{\text{d}}$: calcula su carga en función de $e$.
3. c) Explica por qué almacenar antimateria es tan difícil y qué técnicas (vacío extremo, trampas magnéticas) se emplean para conseguirlo.

Cada segundo atraviesan nuestro cuerpo unos $10^{14}$ neutrinos procedentes de las reacciones nucleares del Sol, sin que notemos absolutamente nada.

1. a) Explica, a partir de sus propiedades (carga, masa y tipo de interacción que sienten), por qué los neutrinos atraviesan la Tierra entera sin apenas interactuar.
2. b) ¿A qué familia del modelo estándar pertenecen los neutrinos y en qué se distinguen de los quarks?
3. c) Razona por qué los detectores de neutrinos, como Super-Kamiokande en Japón, utilizan tanques gigantescos de agua instalados profundamente bajo tierra.

En la desintegración beta, un neutrón libre se transforma según el proceso $\text{n} \rightarrow \text{p} + \text{e}^- + \bar{\nu}_e$, donde $\bar{\nu}_e$ es un antineutrino electrónico. Datos: el neutrón es $\text{udd}$, el protón es $\text{uud}$, $q_u = +\frac{2}{3}\,e$ y $q_d = -\frac{1}{3}\,e$. Observa el esquema del proceso:

1. a) Comprueba que la carga eléctrica se conserva en el proceso, sumando las cargas antes y después.
2. b) Comparando las composiciones del neutrón y del protón, ¿qué transformación sufre uno de los quarks durante la desintegración?
3. c) Teniendo en cuenta que el neutrón es neutro y el protón tiene carga $+e$, explica por qué es imprescindible que se emita también un electrón, y razona qué indicios (conservación de la energía y del momento lineal) obligaron a postular, además, el antineutrino.

Se proponen estas tres reacciones entre partículas ($\bar{\text{p}}$ representa un antiprotón, de carga $-e$; el antineutrino $\bar{\nu}_e$ y los fotones $\gamma$ no tienen carga):

• Reacción 1: $\text{p} + \bar{\text{p}} \rightarrow \gamma + \gamma$

• Reacción 2: $\text{n} \rightarrow \text{p} + \text{e}^-$

• Reacción 3: $\text{e}^- + \text{e}^- \rightarrow \text{e}^-$

1. a) Comprueba para cada reacción si la carga eléctrica se conserva.
2. b) La reacción 2 conserva la carga y, sin embargo, nunca se observa así en la naturaleza: falta un antineutrino entre los productos. Explica qué magnitudes no se conservarían sin él (piensa en la energía y en el número de leptones).
3. c) En la aniquilación protón-antiprotón de la reacción 1, suponiendo ambas partículas prácticamente en reposo, calcula la energía total disponible para los fotones, en julios y en $\text{GeV}$. Datos: $m_p = 1,673\cdot10^{-27}\ \text{kg}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ y $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

Los muones son leptones inestables, con una vida media de solo $\tau = 2,2\ \mu\text{s}$. Se producen en la alta atmósfera, a unos $15\ \text{km}$ de altura, cuando los rayos cósmicos chocan con las moléculas del aire, y viajan prácticamente a la velocidad de la luz. Datos: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$; considérese un muón con velocidad $v = 0,999\,c$. Observa el esquema:

1. a) Según la física clásica, calcula la distancia que recorrería el muón, en promedio, antes de desintegrarse.
2. b) Compara esa distancia con los $15\ \text{km}$ que lo separan del suelo y explica qué predeciría la física clásica sobre la posibilidad de detectar muones en la superficie terrestre.
3. c) En la superficie sí se detectan muones en abundancia: explica cualitativamente qué efecto relativista (dilatación del tiempo o, equivalentemente, contracción de la longitud) lo hace posible.

La aniquilación materia-antimateria convierte el $100\ \%$ de la masa en energía, el rendimiento más alto que permite la física. Datos: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$; la combustión de la gasolina libera unos $4,5\cdot10^{7}\ \text{J/kg}$.

1. a) Calcula la energía liberada al aniquilarse $1\ \text{g}$ de antimateria con $1\ \text{g}$ de materia ordinaria. Recuerda que desaparece la masa de ambas.
2. b) ¿A cuántos kilogramos de gasolina equivale esa energía? Expresa el resultado en notación científica.
3. c) A pesar de ese rendimiento espectacular, la antimateria nunca será una fuente de energía práctica: razona por qué, pensando en de dónde se obtiene la antimateria y en cuánta energía cuesta fabricarla.

La masa del protón es $938\ \text{MeV}/c^2$, pero las masas de sus tres quarks (dos $\text{u}$ y un $\text{d}$) apenas suman unos $9\ \text{MeV}/c^2$, en torno al $1\ \%$ del total. Dato: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$. Observa la gráfica:

1. a) Si la masa en reposo del protón no procede de la masa de sus quarks, ¿de dónde procede fundamentalmente? Explica tu respuesta usando la equivalencia $E_0 = m \cdot c^2$ y la energía asociada a la interacción fuerte que liga los quarks.
2. b) Calcula en julios la energía equivalente a la masa del protón.
3. c) Comenta críticamente esta afirmación: «La masa de la materia ordinaria es, sobre todo, energía atrapada».

El protón libre es estable, pero un neutrón libre se desintegra en unos $880\ \text{s}$ de media. Datos (energías en reposo): $E_0(\text{n}) = 939,6\ \text{MeV}$, $E_0(\text{p}) = 938,3\ \text{MeV}$, $E_0(\text{e}^-) = 0,511\ \text{MeV}$; la energía en reposo del antineutrino es prácticamente nula. Observa el diagrama de niveles:

1. a) Comprueba con los datos que la desintegración $\text{n} \rightarrow \text{p} + \text{e}^- + \bar{\nu}_e$ es energéticamente posible y calcula la energía liberada.
2. b) Razona, con los mismos datos, por qué el proceso inverso espontáneo, $\text{p} \rightarrow \text{n} + \text{e}^+ + \nu_e$, no puede ocurrir para un protón libre.
3. c) Relaciona tus conclusiones con el hecho de que la materia estable del universo esté formada por protones y electrones, y no por neutrones libres.

Nunca se ha observado un quark aislado: los quarks solo existen formando combinaciones (bariones de tres quarks o mesones quark-antiquark). Esta propiedad de la interacción fuerte se denomina confinamiento. Datos: $q_u = +\frac{2}{3}\,e$ y $q_d = -\frac{1}{3}\,e$.

1. a) Explica por qué la carga eléctrica de cualquier partícula que puede observarse libremente es siempre un múltiplo entero de $e$, aunque los quarks tengan cargas de $\pm\frac{1}{3}\,e$ o $\pm\frac{2}{3}\,e$. Compruébalo con un barión y con un mesón.
2. b) Al intentar separar dos quarks, la energía invertida se materializa en una pareja quark-antiquark creada del vacío, y en lugar de quarks libres aparecen dos hadrones nuevos. Relaciona este hecho con el confinamiento y con la ecuación $E = m \cdot c^2$.
3. c) Compara la situación con la de partir un imán por la mitad esperando separar el polo norte del polo sur: indica en qué se parecen y en qué se diferencian ambos fenómenos.

Hasta 2012 el bosón de Higgs era la única pieza del modelo estándar sin confirmación experimental. Su existencia explica por qué las partículas elementales tienen masa. Datos: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ y $m_p = 1,673\cdot10^{-27}\ \text{kg}$.

1. a) Explica cualitativamente el papel del campo de Higgs: ¿por qué el fotón, que no interacciona con ese campo, no tiene masa, mientras que los bosones $\text{W}$ y $\text{Z}$, que sí interaccionan con él, son muy masivos?
2. b) La masa del bosón de Higgs es $125\ \text{GeV}/c^2$: calcula su energía en reposo en julios y su masa en kilogramos.
3. c) ¿Cuántas veces más masivo es el bosón de Higgs que un protón? Comenta por qué hizo falta el acelerador más potente del mundo para producirlo.