Ejercicios: Energía mecánica y tipo de movimiento

La energía potencial gravitatoria de una masa $m$ a una distancia $r$ del centro de un planeta de masa $M$ es $E_p = -\frac{G\cdot M\cdot m}{r}$. La figura muestra la gráfica de $E_p$ en función de $r$.

1. a) Explica qué convenio de origen de energías se adopta en esta expresión: ¿en qué posición vale cero la energía potencial?
2. b) Con ese convenio, razona por qué la energía potencial de un satélite ligado a la Tierra es siempre negativa.

Una sonda de $m = 800\ \text{kg}$ se encuentra a $r = 7\cdot10^{6}\ \text{m}$ del centro de la Tierra. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ y $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$. Observa el esquema:

1. a) Calcula su energía potencial gravitatoria, $E_p = -\frac{G\cdot M\cdot m}{r}$, y expresala en notación científica.
2. b) Explica el significado físico del signo negativo del resultado.

Un satélite se encuentra primero a $r_1 = 7\cdot10^{6}\ \text{m}$ del centro de la Tierra y después pasa a $r_2 = 1,4\cdot10^{7}\ \text{m}$.

1. a) Sin hacer cálculos numéricos, razona con la fórmula $E_p = -\frac{G\cdot M\cdot m}{r}$ en cuál de las dos posiciones su energía potencial es mayor.
2. b) ¿En cuál de las dos posiciones está el satélite más ligado a la Tierra? Justifícalo a partir del signo y del valor de $E_p$.

La velocidad de escape desde la superficie de un planeta de masa $M$ y radio $R$ es $v_e = \sqrt{\frac{2\cdot G\cdot M}{R}}$. Datos de la Tierra: $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$; $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Observa el esquema:

1. a) Calcula la velocidad de escape desde la superficie terrestre.
2. b) Expresa el resultado en $\text{km/s}$.

Datos de la Luna: $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$ y $R_L = 1,74\cdot10^{6}\ \text{m}$; $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Calcula la velocidad de escape desde la superficie de la Luna con $v_e = \sqrt{\frac{2\cdot G\cdot M}{R}}$.
2. b) Sabiendo que en la Tierra es de unos $11,2\ \text{km/s}$, razona por qué despegar de la Luna requiere mucha menos energía que despegar de la Tierra.

Un satélite en órbita circular alrededor de la Tierra tiene una energía cinética $E_c = 2\cdot10^{9}\ \text{J}$. En órbita circular se cumple $E_p = -2\cdot E_c$ y $E_m = E_c + E_p$. El esquema resume las tres energías:

1. a) Calcula su energía potencial y su energía mecánica.
2. b) Comprueba que la energía mecánica es negativa y explica qué significa eso para el movimiento del satélite.

Tres sondas espaciales tienen, respecto al Sol, energías mecánicas $E_{m,A} = -3\cdot10^{9}\ \text{J}$, $E_{m,B} = 0\ \text{J}$ y $E_{m,C} = +2\cdot10^{9}\ \text{J}$. La figura muestra los tres tipos de trayectoria posibles alrededor del Sol:

1. a) Indica qué tipo de trayectoria sigue cada una (cerrada, parabólica o hiperbólica) y justifícalo a partir del signo de su energía mecánica.
2. b) ¿Cuál de ellas acabará alejándose del Sol indefinidamente llegando al infinito con velocidad nula?

Datos de Marte: $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$ y $R_M = 3,39\cdot10^{6}\ \text{m}$; $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Calcula la velocidad de escape desde la superficie de Marte con $v_e = \sqrt{\frac{2\cdot G\cdot M}{R}}$.
2. b) ¿Depende la velocidad de escape de la masa del cuerpo que escapa? Razona tu respuesta a partir de la fórmula, pensando en dos naves, una de $10^{3}\ \text{kg}$ y otra de $10^{5}\ \text{kg}$.

La Estación Espacial Internacional, de masa $m = 4,2\cdot10^{5}\ \text{kg}$, orbita a unos $400\ \text{km}$ de altura, es decir, a $r = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$ del centro de la Tierra. La velocidad de un satélite en órbita circular es $v = \sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}$. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ y $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$. Observa el esquema:

1. a) Calcula su velocidad orbital.
2. b) Calcula su energía cinética y su energía potencial, $E_p = -\frac{G\cdot M\cdot m}{r}$.
3. c) Calcula su energía mecánica y comprueba que cumple $E_m = -E_c$.

Un satélite de investigación tiene una energía potencial $E_{p,0} = -\frac{G\cdot M_T\cdot m}{R_T}$ cuando está en la superficie terrestre. Datos: $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. La figura muestra la gráfica de $E_p(r)$:

1. a) Plantea la ecuación $E_p(r) = \frac{E_{p,0}}{2}$ y calcula a qué distancia del centro de la Tierra la energía potencial del satélite vale la mitad que en la superficie.
2. b) ¿A qué altura sobre la superficie corresponde esa distancia? Expresa el resultado como múltiplo del radio terrestre.

Una nave ya está en órbita a una altura igual a un radio terrestre, es decir, a $r = 2\cdot R_T$ del centro de la Tierra, con $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ y $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula la velocidad de escape desde esa posición, $v_e = \sqrt{\frac{2\cdot G\cdot M_T}{r}}$.
2. b) Sabiendo que desde la superficie es $11,2\ \text{km/s}$, calcula el cociente entre ambas velocidades y relaciona ese factor con la distancia al centro de la Tierra.

Un satélite de $m = 1000\ \text{kg}$ pasa de una órbita circular de radio $r_1 = 7\cdot10^{6}\ \text{m}$ a otra de radio $r_2 = 1,4\cdot10^{7}\ \text{m}$, el doble. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ y $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$. Observa el esquema:

1. a) Calcula su energía mecánica en cada órbita, $E_m = -\frac{G\cdot M\cdot m}{2\cdot r}$.
2. b) Razona, a partir del resultado, si en la órbita más alta el satélite está más o menos ligado a la Tierra.
3. c) Calcula su velocidad orbital en cada caso con $v = \sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}$ y comprueba que al subir de órbita el satélite se mueve más despacio.

Una sonda de $m = 800\ \text{kg}$ se encuentra a $r = 10^{9}\ \text{m}$ del centro de la Tierra alejándose con una velocidad de $v = 4\cdot10^{4}\ \text{m/s}$. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ y $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula su energía cinética en esa posición.
2. b) Calcula su energía potencial gravitatoria.
3. c) Determina su energía mecánica e indica, justificándolo, si la sonda escapará de la atracción terrestre o acabará regresando.

Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; Marte: $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$ y $R_M = 3,39\cdot10^{6}\ \text{m}$; la velocidad de escape terrestre es $11,2\ \text{km/s}$.

1. a) Calcula la velocidad de escape desde la superficie de Marte y exprésala en $\text{km/s}$.
2. b) ¿Cuántas veces mayor es la velocidad de escape terrestre que la marciana?
3. c) La energía cinética mínima de escape es $E_c = \frac{1}{2}\cdot m\cdot v_e^2$: razona, usando los resultados anteriores, cuántas veces más energía por kilogramo hace falta para escapar de la Tierra que de Marte.

Un meteorito se encuentra muy lejos de la Tierra, prácticamente en reposo, y cae hacia ella. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Plantea la conservación de la energía mecánica entre el infinito (donde $E_c = 0$ y $E_p = 0$) y la superficie terrestre.
2. b) Calcula la velocidad con la que llega a la superficie.
3. c) Explica por qué el resultado coincide numéricamente con la velocidad de escape terrestre.

Un satélite de navegación describe una órbita circular de radio $r = 2,96\cdot10^{7}\ \text{m}$ alrededor de la Tierra y su energía mecánica es $E_m = -2,69\cdot10^{9}\ \text{J}$. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ y $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Despeja la masa del satélite de la expresión $E_m = -\frac{G\cdot M\cdot m}{2\cdot r}$ y calcúlala.
2. b) Calcula su energía potencial teniendo en cuenta que $E_p = 2\cdot E_m$.
3. c) Calcula su energía cinética.

Desde la superficie terrestre se lanza verticalmente una sonda de pequeñas dimensiones con velocidad inicial $v_0 = 5\cdot10^{3}\ \text{m/s}$, sin empuje posterior (lanzamiento balístico). Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Observa el esquema:

1. a) Plantea la conservación de la energía mecánica entre la superficie y el punto de altura máxima (donde la velocidad es nula).
2. b) Calcula la distancia máxima al centro de la Tierra que alcanza la sonda y la altura sobre la superficie correspondiente.
3. c) Razona, a partir de la ecuación planteada, qué ocurre con la altura máxima cuando $v_0$ se aproxima a la velocidad de escape, $11,2\ \text{km/s}$.
4. d) Explica por qué no sería correcto resolver el problema con la expresión $E_p = m\cdot g\cdot h$ suponiendo $g$ constante.

Una sonda sale de la superficie terrestre con velocidad $v_0 = 1,2\cdot10^{4}\ \text{m/s}$, superior a la velocidad de escape ($11,2\ \text{km/s}$). Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Comprueba numéricamente que $v_0$ es mayor que la velocidad de escape terrestre.
2. b) Aplica la conservación de la energía mecánica para calcular la velocidad con la que la sonda llegará al infinito (velocidad residual).
3. c) Indica qué tipo de trayectoria describe la sonda respecto a la Tierra y justifícalo a partir del signo de su energía mecánica.

Un pequeño cuerpo celeste se acerca a la Luna con una velocidad, cuando aún está muy lejos de ella, de $v_\infty = 2\cdot10^{3}\ \text{m/s}$. Datos de la Luna: $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$ y $R_L = 1,74\cdot10^{6}\ \text{m}$; $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Aplica la conservación de la energía mecánica para calcular la velocidad con la que impactará contra la superficie lunar.
2. b) Compara el resultado con el de un cuerpo que cayera desde el reposo (velocidad de escape lunar, $2,37\ \text{km/s}$) y expresa el cociente entre ambas velocidades.
3. c) La Luna no tiene atmósfera: explica por qué en la Luna prácticamente todo cuerpo que se aproxima acaba impactando, mientras que en la Tierra muchos meteoroides no llegan al suelo.

La sonda Voyager 1 abandonó el Sistema Solar aprovechando el movimiento orbital de los planetas. Datos del Sol: $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$; distancia media Tierra-Sol: $r = 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$; $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Observa el esquema:

1. a) Calcula la velocidad de escape de la atracción del Sol desde una distancia igual al radio de la órbita terrestre.
2. b) Calcula la velocidad orbital de la Tierra alrededor del Sol suponiendo su órbita circular, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_S}{r}}$.
3. c) Determina qué velocidad adicional necesita una sonda que ya acompaña a la Tierra en su órbita para escapar del Sol, y explica por qué conviene lanzarla en la dirección y sentido del movimiento orbital terrestre.

Un satélite de $m = 600\ \text{kg}$ describe una órbita elíptica de transferencia con semieje mayor $a = 2,45\cdot10^{7}\ \text{m}$ alrededor de la Tierra. La energía mecánica de una órbita elíptica es $E_m = -\frac{G\cdot M\cdot m}{2\cdot a}$. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ y $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$. La órbita se muestra en la figura.

1. a) Calcula la energía mecánica del satélite en esa órbita.
2. b) Calcula la energía mecánica que tendría en una órbita circular de radio igual a $a$ y compara ambos resultados.
3. c) Usando la conservación de la energía mecánica y la expresión de $E_p$, razona en qué punto de la elipse (perigeo, el más cercano a la Tierra, o apogeo, el más alejado) la velocidad del satélite es máxima.

Dos satélites, de masas $m_1 = 500\ \text{kg}$ y $m_2 = 2000\ \text{kg}$, comparten la misma órbita circular de radio $r = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$ alrededor de la Tierra. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ y $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula la velocidad orbital, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}$, y explica por qué es la misma para ambos satélites aunque sus masas son distintas.
2. b) Calcula la energía cinética y la energía mecánica de cada satélite.
3. c) Si los dos satélites se acoplaran formando un único cuerpo en la misma órbita, razona qué ocurriría con su velocidad orbital y con la energía mecánica total del conjunto.

El cometa Halley, de masa aproximada $m = 2\cdot10^{14}\ \text{kg}$, pasa por el punto más alejado de su órbita (afelio), a $r = 5,24\cdot10^{12}\ \text{m}$ del Sol, con una velocidad de $9,1\cdot10^{2}\ \text{m/s}$. El objeto interestelar 1I/'Oumuamua, de masa estimada $m = 10^{8}\ \text{kg}$, se mueve muy lejos del Sol a $2,6\cdot10^{4}\ \text{m/s}$, donde la energía potencial solar es prácticamente nula. Datos: $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$; $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Calcula la energía mecánica del Halley respecto al Sol y clasifica su trayectoria.
2. b) Calcula la energía mecánica de 'Oumuamua y clasifica su trayectoria.
3. c) Relaciona los resultados con las observaciones: el Halley regresa al Sol cada $76$ años aproximadamente, mientras que 'Oumuamua, que nos visitó en 2017, no volverá jamás.

La velocidad orbital de un satélite en órbita circular rasante (radio $r \approx R$) es $v_{orb} = \sqrt{\frac{G\cdot M}{R}}$, y la velocidad de escape desde la superficie es $v_e = \sqrt{\frac{2\cdot G\cdot M}{R}}$. Observa el esquema:

1. a) Demuestra que $v_e = \sqrt{2}\cdot v_{orb}$ y calcula ambos valores para la Tierra ($M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Un cohete con el motor encendido de forma sostenida puede escapar de la Tierra sin alcanzar nunca los $11,2\ \text{km/s}$: explica por qué el concepto de velocidad de escape se refiere únicamente a un lanzamiento balístico (impulso inicial único, sin empuje posterior) y qué ocurre energéticamente cuando el motor sigue aportando energía durante el ascenso.