Ejercicios: Interacción con cargas en movimiento

Una carga eléctrica se encuentra en reposo dentro de un campo magnético uniforme. El módulo de la fuerza de Lorentz es $F = q\cdot v\cdot B\cdot\sen\alpha$.

1. a) ¿Actúa alguna fuerza magnética sobre ella? Justifícalo con la fórmula.
2. b) La carga se pone en movimiento en la dirección exacta del campo ($\alpha = 0^\circ$). ¿Cambia la respuesta? ¿Por qué?

El módulo de la fuerza de Lorentz es $F = q\cdot v\cdot B\cdot\sen\alpha$ y su dirección viene dada por el producto vectorial $\vv{F} = q\cdot(\vv{v}\wedge\vv{B})$, que se determina con la regla de la mano derecha. Un protón se mueve horizontalmente hacia el este dentro de un campo magnético uniforme dirigido también horizontalmente hacia el norte. La situación, vista desde arriba, se representa en la figura.

1. a) Determina la dirección y el sentido de la fuerza sobre el protón.
2. b) ¿Cuál sería el sentido de la fuerza si la partícula fuera un electrón? Justifica la diferencia.

Un protón ($q = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) se mueve a $v = 2\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ en dirección perpendicular a un campo magnético $B = 0,5\ \text{T}$. Calcula el módulo de la fuerza de Lorentz sobre él, $F = q\cdot v\cdot B$.

La fuerza de Lorentz sobre una carga en movimiento es siempre perpendicular a su velocidad.

1. a) Teniendo en cuenta que el trabajo depende de la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento, explica por qué la fuerza magnética no realiza trabajo sobre la carga.
2. b) ¿Qué le ocurre entonces al módulo de la velocidad de la carga?
3. c) ¿Y a su energía cinética?

Dos conductores rectilíneos paralelos llevan corrientes del mismo sentido.

1. a) Dibuja en tu cuaderno el campo magnético que crea el primer conductor en la posición del segundo (regla de la mano derecha) y la fuerza que este sufre.
2. b) ¿Se atraen o se repelen?
3. c) ¿Qué cambia si se invierte el sentido de una de las corrientes?

Un electrón ($m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) entra con $v = 1\cdot10^{7}\ \text{m/s}$, perpendicularmente, en un campo magnético uniforme $B = 1\cdot10^{-3}\ \text{T}$, como se muestra en la figura.

El radio de su trayectoria circular es $r = \frac{m\cdot v}{q\cdot B}$. Calcula su valor y exprésalo en centímetros.

Una partícula cargada entra con velocidad $\vv{v}$ perpendicular a un campo magnético uniforme.

1. a) Explica por qué la fuerza de Lorentz actúa como fuerza centrípeta y escribe la igualdad $q\cdot v\cdot B = \frac{m\cdot v^2}{r}$.
2. b) Despeja el radio $r$ y comenta de qué magnitudes depende: ¿aumenta o disminuye si la partícula va más rápida? ¿Y si el campo es más intenso?

A partir de la expresión del módulo de la fuerza de Lorentz, $F = q\cdot v\cdot B$ (caso perpendicular):

1. a) Despeja $B$ y deduce a qué combinación de unidades del Sistema Internacional equivale un tesla.
2. b) Usando que $1\ \text{C/s} = 1\ \text{A}$, expresa el tesla como $\text{T} = \frac{\text{N}}{\text{A}\cdot\text{m}}$ y explica con tus palabras qué campo hace falta para que una carga de $1\ \text{C}$ a $1\ \text{m/s}$ sufra una fuerza de $1\ \text{N}$.

Un protón ($q = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) entra con $v = 3\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ en un campo magnético uniforme $B = 0,8\ \text{T}$, formando un ángulo $\alpha = 30^\circ$ con él. Observa el esquema:

1. a) Calcula el módulo de la fuerza de Lorentz, $F = q\cdot v\cdot B\cdot\sen\alpha$ ($\sen 30^\circ = 0,5$).
2. b) ¿Para qué ángulo sería máxima la fuerza? ¿Y para cuál sería nula?

Un protón ($m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) entra con $v = 5\cdot10^{6}\ \text{m/s}$, perpendicularmente, en un campo magnético uniforme $B = 0,2\ \text{T}$.

1. a) Calcula el radio de su trayectoria circular, $r = \frac{m\cdot v}{q\cdot B}$, y exprésalo en centímetros.
2. b) ¿Qué ocurriría con el radio si el protón entrara con la mitad de velocidad? Razona con la fórmula.

Un electrón ($m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) gira en un campo magnético uniforme $B = 2\cdot10^{-3}\ \text{T}$, con velocidad perpendicular al campo.

1. a) Iguala la fuerza de Lorentz a la fuerza centrípeta y, usando $v = \frac{2\pi\cdot r}{T}$, demuestra que el período de giro es $T = \frac{2\pi\cdot m}{q\cdot B}$.
2. b) Calcula su valor.
3. c) El resultado no contiene $v$ ni $r$: explica qué significa eso físicamente.

En una demostración de laboratorio, dos cables paralelos separados $d = 10\ \text{cm}$ llevan corrientes del mismo sentido $I_1 = 20\ \text{A}$ e $I_2 = 30\ \text{A}$. La fuerza por unidad de longitud entre ellos es $\frac{F}{L} = \frac{\mu_0\cdot I_1\cdot I_2}{2\pi\cdot d}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$). Observa el esquema:

1. a) Calcula la fuerza por unidad de longitud.
2. b) ¿Los cables se atraen o se repelen? Justifícalo.
3. c) Calcula la fuerza total sobre un tramo de $1\ \text{m}$ de cada cable.

Un conductor recto de $L = 40\ \text{cm}$, colocado perpendicularmente a un campo magnético uniforme $B = 0,1\ \text{T}$, lleva una corriente $I = 5\ \text{A}$. La fuerza magnética sobre él es $F = B\cdot I\cdot L$.

1. a) Calcula su módulo.
2. b) Representa la situación en tu cuaderno y determina, con la regla de la mano derecha, la dirección y el sentido de la fuerza respecto a la corriente y al campo.
3. c) Si el conductor formara $30^\circ$ con el campo, la fuerza sería $F = B\cdot I\cdot L\cdot\sen 30^\circ$; calcúlala.

En un espectrómetro de masas, un ión de $\text{He}^+$ ($m = 6,64\cdot10^{-27}\ \text{kg}$, $q = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) describe un arco circular de radio $r = 12\ \text{cm}$ en un campo $B = 0,5\ \text{T}$ perpendicular a su velocidad. La situación se representa en la figura.

1. a) Despeja la velocidad de la expresión $r = \frac{m\cdot v}{q\cdot B}$.
2. b) Calcula su valor en notación científica.

Un protón ($m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$) y un electrón ($m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$) entran con la misma velocidad, perpendicularmente, en el mismo campo magnético uniforme.

1. a) Escribe el cociente $\frac{r_p}{r_e}$ de los radios de sus trayectorias y calcula su valor.
2. b) Teniendo en cuenta que $T = \frac{2\pi\cdot m}{q\cdot B}$, calcula también el cociente de sus períodos y comenta qué partícula da vueltas más deprisa.

Un selector de velocidades tiene un campo eléctrico $E = 2\cdot10^{4}\ \text{N/C}$ y un campo magnético $B = 0,05\ \text{T}$, perpendiculares entre sí y a la velocidad de los iones. Las fuerzas eléctrica y magnética se compensan cuando $q\cdot E = q\cdot v\cdot B$. Observa el esquema del selector:

1. a) Despeja la velocidad de los iones que atraviesan el selector sin desviarse y calcúlala.
2. b) ¿Depende esa velocidad de la carga o de la masa del ión? Comenta para qué sirve este dispositivo antes de una región de desviación.

Un espectrómetro de masas consta de un selector de velocidades (campo eléctrico $E = 5\cdot10^{4}\ \text{N/C}$ y campo magnético $B_1 = 0,1\ \text{T}$, perpendiculares) seguido de una región con otro campo magnético $B_2 = 0,2\ \text{T}$, perpendicular a la velocidad, donde los iones describen semicircunferencias. Entran iones de carbono-12 y carbono-14, ambos con carga $q = e$ ($e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; unidad de masa atómica $u = 1,66\cdot10^{-27}\ \text{kg}$). El esquema del aparato se muestra en la figura.

1. a) Calcula la velocidad con la que salen los iones del selector ($q\cdot E = q\cdot v\cdot B_1$).
2. b) Calcula el radio de la trayectoria de cada isótopo en la región de desviación (toma las masas $12\cdot u$ y $14\cdot u$).
3. c) Los iones chocan con una placa fotográfica a una distancia del punto de entrada igual al diámetro de su semicircunferencia: calcula la separación entre las dos marcas que dejan.

Un protón ($m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) entra con $v = 2\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ en un campo magnético uniforme $B = 0,1\ \text{T}$, formando un ángulo de $60^\circ$ con él, de modo que describe una trayectoria helicoidal ($\sen 60^\circ \approx 0,87$; $\cos 60^\circ = 0,5$). Observa el esquema:

1. a) Descompón la velocidad en sus componentes paralela y perpendicular al campo.
2. b) Calcula el radio de la hélice, determinado por la componente perpendicular.
3. c) Calcula el período de giro, $T = \frac{2\pi\cdot m}{q\cdot B}$, y el paso de rosca (la distancia que avanza en la dirección del campo en cada vuelta).

Un ciclotrón acelera deuterones ($m = 3,34\cdot10^{-27}\ \text{kg}$, $q = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) con un campo magnético $B = 1,2\ \text{T}$ perpendicular al plano de las trayectorias. El esquema del ciclotrón se muestra en la figura.

1. a) El generador alterno debe sincronizarse con la frecuencia de giro, $f = \frac{q\cdot B}{2\pi\cdot m}$; calcúlala y exprésala en megahercios.
2. b) Las partículas salen cuando su radio alcanza el radio del aparato, $R = 0,5\ \text{m}$; calcula su velocidad máxima con $r = \frac{m\cdot v}{q\cdot B}$.
3. c) Calcula la energía cinética con la que salen los deuterones.

La antigua definición de amperio (vigente hasta 2019) decía: un amperio es la intensidad de corriente que, mantenida en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita y separados $1\ \text{m}$ en el vacío, produce entre ellos una fuerza de $2\cdot10^{-7}\ \text{N}$ por cada metro de conductor ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

1. a) Escribe la expresión de la fuerza por unidad de longitud cuando ambos conductores llevan la misma corriente, $\frac{F}{L} = \frac{\mu_0\cdot I^2}{2\pi\cdot d}$.
2. b) Sustituye $d = 1\ \text{m}$ y $\frac{F}{L} = 2\cdot10^{-7}\ \text{N/m}$ y comprueba que se obtiene $I = 1\ \text{A}$.
3. c) Comenta las dificultades prácticas de esta definición (conductores «infinitos», medir fuerzas tan pequeñas) frente a la definición actual, que fija el valor de la carga elemental.

Una varilla horizontal de $L = 50\ \text{cm}$ y masa $m = 25\ \text{g}$ se encuentra en un campo magnético horizontal uniforme $B = 0,5\ \text{T}$, perpendicular a la varilla. Se quiere que la fuerza magnética sobre la varilla, $F = B\cdot I\cdot L$, compense exactamente su peso (toma $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). La situación se representa en la figura.

1. a) Plantea la condición de equilibrio entre la fuerza magnética y el peso, y calcula la corriente necesaria.
2. b) Determina, con la regla de la mano derecha, qué orientación relativa deben tener la corriente y el campo para que la fuerza sea vertical hacia arriba.
3. c) Razona qué ocurriría si la corriente aumentara un $10\ \%$: ¿se movería la varilla? ¿Hacia dónde y con qué fuerza neta inicial?

Las líneas de alta tensión transportan la corriente de ida y de vuelta por cables paralelos. Dos de ellos, separados $d = 2\ \text{m}$, llevan $I = 800\ \text{A}$ en sentidos opuestos ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

1. a) Indica, justificándolo con la regla de la mano derecha, si la fuerza entre los cables es atractiva o repulsiva.
2. b) Calcula la fuerza por unidad de longitud entre ellos, $\frac{F}{L} = \frac{\mu_0\cdot I_1\cdot I_2}{2\pi\cdot d}$.
3. c) En un cortocircuito la corriente puede alcanzar $10^{4}\ \text{A}$; calcula la nueva fuerza por unidad de longitud y explica por qué los cables deben ir firmemente anclados a las torres.

Los cinturones de Van Allen atrapan partículas cargadas en el campo magnético terrestre, mucho más débil que los campos de laboratorio. Un electrón ($m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) se mueve a $v = 3\cdot10^{7}\ \text{m/s}$ en la región ecuatorial, donde $B = 3\cdot10^{-5}\ \text{T}$, con velocidad perpendicular al campo.

1. a) Calcula el radio de su trayectoria, $r = \frac{m\cdot v}{q\cdot B}$.
2. b) En latitudes próximas a los polos el campo es el doble, $B = 6\cdot10^{-5}\ \text{T}$; calcula allí el radio.
3. c) Relaciona los resultados con el hecho de que las trayectorias de las partículas atrapadas se «enrollen» más apretadamente al acercarse a los polos.

Un protón ($m_p$, $q_p = e$) y una partícula alfa ($m_\alpha = 4\cdot m_p$, $q_\alpha = 2\cdot e$) entran con la misma velocidad, perpendicularmente, en el mismo campo magnético uniforme.

1. a) Calcula el cociente $\frac{r_\alpha}{r_p}$ de los radios de sus trayectorias.
2. b) Calcula el cociente $\frac{T_\alpha}{T_p}$ de sus períodos de giro.
3. c) Repite el cociente de radios suponiendo que ambas partículas entran con la misma energía cinética (usa $v = \sqrt{\frac{2\cdot E_c}{m}}$ en la expresión del radio) y comenta si un espectrómetro de masas podría separarlas en cada uno de los dos casos.