Ejercicios: Energía y potencial eléctrico

Una pequeña esfera del laboratorio tiene una carga $Q = 3\,\mu\text{C}$ (toma $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcula el potencial eléctrico a $0,5\ \text{m}$ de la esfera, $V = K \cdot \frac{Q}{r}$.
2. b) Indica el signo del potencial y razona en qué lugar se toma, por convenio, $V = 0$.

El potencial eléctrico es una magnitud escalar; el campo eléctrico, vectorial.

1. a) Explica qué diferencia práctica tiene esto a la hora de sumar, en un punto, las contribuciones de varias cargas.
2. b) ¿Puede ser negativo el potencial en un punto? Pon un ejemplo.
3. c) ¿Qué signo tiene el potencial creado por una carga positiva?

Una carga $q = 2\,\mu\text{C}$ se encuentra en un punto donde el potencial es $V = 1000\ \text{V}$.

1. a) Calcula su energía potencial eléctrica, $E_p = q \cdot V$.
2. b) Si la carga, que es positiva, se moviera espontáneamente hacia un punto de menor potencial, razona si su energía potencial aumentaría o disminuiría.

A partir de la expresión del trabajo $W = q \cdot \Delta V$:

1. a) Deduce la equivalencia $1\ \text{V} = 1\ \text{J/C}$.
2. b) Explica qué significa que entre los bornes de una batería de coche haya una diferencia de potencial de $12\ \text{V}$, hablando de la energía de cada culombio de carga que la atraviesa.
3. c) Indica cuáles de estas expresiones equivalen a un voltio: $\text{J/C}$; $\text{N/C}$; $\text{J}\cdot\text{C}$.

Una carga $q = 5\,\mu\text{C}$ se desplaza desde un punto A, con potencial $V_A = 200\ \text{V}$, hasta un punto B, con $V_B = 80\ \text{V}$.

1. a) Calcula el trabajo realizado por el campo eléctrico, $W_{A \to B} = q \cdot (V_A - V_B)$.
2. b) Razona, a partir del signo del resultado, si el campo «empuja» espontáneamente a la carga en ese sentido del desplazamiento.

En física de partículas se usa mucho el electronvoltio: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$ (dato: carga elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$).

1. a) Expresa en julios una energía de $3\ \text{eV}$.
2. b) Justifica la equivalencia anterior calculando, con $W = q \cdot \Delta V$, la energía que gana un electrón al ser acelerado con una diferencia de potencial de $1\ \text{V}$.

Dos cargas puntuales $q_1 = 1\,\mu\text{C}$ y $q_2 = 2\,\mu\text{C}$ están separadas $0,3\ \text{m}$ (toma $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcula la energía potencial eléctrica del sistema, $E_p = K \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{r}$.
2. b) Interpreta el signo del resultado: al separar las cargas hasta el infinito, ¿hay que aportar energía o se libera? Relaciónalo con el hecho de que las cargas se repelen.

Entre el interior y el exterior de una célula hay una diferencia de potencial de unos $70\ \text{mV}$, con el interior negativo (dato: carga elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$). La figura muestra el esquema de la membrana.

1. a) Expresa esa diferencia de potencial en voltios e indica cuánta energía hace falta, como mínimo, para transportar un culombio de carga positiva del interior al exterior contra el campo.
2. b) Calcula la energía necesaria para transportar un ion sodio $\text{Na}^+$ (carga $+e$) del interior al exterior, en julios y en electronvoltios.

En un generador de Van de Graaff del laboratorio se mide un potencial de $6000\ \text{V}$ a $0,25\ \text{m}$ del centro de la esfera cargada (toma $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$ y supón la carga puntual).

1. a) Despeja la carga de la expresión $V = K \cdot \frac{Q}{r}$ y calcúlala.
2. b) ¿Cuánto valdría el potencial al doble de distancia? Razona la proporcionalidad que has usado.

Dos cargas $q_1 = 4\ \text{nC}$ y $q_2 = -2\ \text{nC}$ están, respectivamente, a $0,3\ \text{m}$ y a $0,5\ \text{m}$ de un punto P (toma $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcula el potencial que crea cada carga en P.
2. b) Calcula el potencial total en P.
3. c) Explica por qué aquí las contribuciones se suman directamente como números, mientras que para el campo eléctrico hay que sumar vectores.

Una carga $q = -3\,\mu\text{C}$ se desplaza desde un punto A ($V_A = 500\ \text{V}$) hasta un punto B ($V_B = 100\ \text{V}$).

1. a) Calcula el trabajo realizado por el campo, $W_{A \to B} = q \cdot (V_A - V_B)$.
2. b) Interpreta el signo negativo del resultado: ¿es un desplazamiento espontáneo o debe realizarlo un agente externo?
3. c) Razona hacia dónde se movería espontáneamente esta carga negativa: ¿hacia potenciales mayores o hacia potenciales menores?

Un detector registra partículas muy energéticas (dato: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$).

1. a) Una partícula registrada tiene una energía de $2,4\cdot10^{-17}\ \text{J}$: exprésala en electronvoltios.
2. b) Una partícula alfa emitida en una desintegración nuclear tiene una energía de $5\ \text{MeV}$: exprésala en julios.
3. c) Explica, comparando los números anteriores, por qué el electronvoltio es una unidad cómoda en física atómica y nuclear.

En un microscopio electrónico, un electrón parte del reposo y se acelera mediante una diferencia de potencial $\Delta V = 2000\ \text{V}$ (datos: carga elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; masa del electrón $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$). Observa el esquema:

1. a) Calcula la energía cinética que gana el electrón, en julios y en electronvoltios.
2. b) Aplica la conservación de la energía, $\frac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^2 = e \cdot \Delta V$, y calcula su velocidad final.

Para que dos protones puedan fusionarse en el interior del Sol deben vencer su repulsión eléctrica y acercarse muchísimo (datos: carga elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$; $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$; $1\ \text{nm} = 10^{-9}\ \text{m}$). La figura muestra la energía potencial del par de protones en función de su distancia.

1. a) Calcula la energía potencial eléctrica de dos protones separados una distancia $r = 1\ \text{nm}$.
2. b) Expresa el resultado en electronvoltios.
3. c) Razona por qué la repulsión eléctrica dificulta la fusión y qué papel juega la altísima temperatura del interior solar para superarla.

Dos cargas idénticas $q = 5\ \text{nC}$ ocupan los puntos $(0, 0)$ y $(0, 40)$, con las coordenadas en centímetros (toma $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Razona, dibujando los vectores en tu cuaderno, que el campo eléctrico total en el punto medio $P(0, 20)$ es nulo.
2. b) Calcula el potencial eléctrico en ese mismo punto P.
3. c) Saca una conclusión: ¿es cierto que donde el campo es nulo el potencial también lo es?

Entre los dos electrodos planos de un detector de humos por ionización, separados $d = 5\ \text{cm}$, hay un campo eléctrico uniforme $E = 10^{4}\ \text{N/C}$ (dato: carga elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$). Observa el esquema:

1. a) Calcula la diferencia de potencial entre los electrodos, $\Delta V = E \cdot d$.
2. b) Calcula el trabajo que realiza el campo sobre un ion positivo de carga $+e$ que va del electrodo positivo al negativo.
3. c) Comprueba que el resultado coincide con el calculado como $W = F \cdot d = e \cdot E \cdot d$ y explica por qué tiene que ser así.

En la etapa de aceleración de un equipo de protonterapia (tratamiento de tumores con haces de protones), un protón parte del reposo en un punto A con $V_A = 3000\ \text{V}$ y llega a un punto B con $V_B = 500\ \text{V}$ (datos: carga elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; masa del protón $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$).

1. a) Calcula la energía potencial que pierde el protón entre A y B.
2. b) Aplica la conservación de la energía mecánica y calcula la velocidad del protón en B.
3. c) Razona, con el signo de la carga y la variación de la energía potencial, si el protón podría moverse espontáneamente en sentido contrario, de B a A.

Dos cargas puntuales $q_1 = 6\ \text{nC}$ y $q_2 = -2\ \text{nC}$ están sobre el eje $x$, en $x_1 = 0$ y $x_2 = 1\ \text{m}$ (toma $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Plantea la condición $V = 0$ en un punto del eje y exprésala como una relación entre las distancias a cada carga: ¿qué relación debe cumplirse entre $r_1$ y $r_2$?
2. b) Encuentra el punto del eje, entre las dos cargas, donde el potencial se anula.
3. c) Encuentra el punto del eje, a la derecha de $q_2$, donde también se anula.
4. d) Razona por qué no existe ningún punto con $V = 0$ a la izquierda de $q_1$.

Dos cargas $q_1 = 2\,\mu\text{C}$ y $q_2 = 3\,\mu\text{C}$, sujetas con soportes aislantes, pasan de estar separadas $1\ \text{m}$ a estar separadas $0,25\ \text{m}$ (toma $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcula la energía potencial eléctrica inicial y final del sistema.
2. b) Calcula el trabajo que debe realizar un agente externo en el proceso, $W_{ext} = \Delta E_p$.
3. c) Razona el signo del resultado: ¿por qué hay que aportar trabajo para acercar dos cargas que se repelen?
4. d) ¿Cuánto vale, en ese mismo proceso, el trabajo realizado por el campo eléctrico? Relaciónalo con el del agente externo.

En un tubo de rayos X de un hospital, los electrones se aceleran hacia el ánodo con una diferencia de potencial $\Delta V = 40\ \text{kV}$ (datos: carga elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; masa del electrón $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$; velocidad de la luz $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$). La figura muestra el esquema del tubo.

1. a) Expresa la diferencia de potencial en voltios y calcula la energía cinética de cada electrón al llegar al ánodo, en electronvoltios y en julios.
2. b) Calcula la velocidad final del electrón usando la expresión clásica $\frac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^2 = e \cdot \Delta V$.
3. c) Compara el resultado con la velocidad de la luz y comenta por qué, a estas energías, la aproximación clásica empieza a ser cuestionable.

Tres cargas idénticas $q = 1\ \text{nC}$ se colocan en los vértices de un triángulo equilátero de lado $10\ \text{cm}$ (toma $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcula la energía potencial de cada pareja de cargas.
2. b) Suma las contribuciones de todas las parejas y calcula la energía potencial total del sistema.
3. c) Interpreta el resultado como el trabajo total necesario para «montar» la distribución trayendo las cargas, una a una, desde el infinito.
4. d) Razona por qué, en un sistema de cargas cualquiera, no basta con calcular la energía de una pareja y multiplicar por el número de parejas: ¿qué condición se cumple en este caso que sí lo hace posible?

Tu compañero afirma: «si en un punto el campo eléctrico es nulo, el potencial también es nulo; y si el potencial es nulo, el campo también lo es» (toma $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Refuta la primera parte con un ejemplo numérico: calcula el punto del segmento entre las cargas $q_1 = 9\ \text{nC}$ y $q_2 = 4\ \text{nC}$, separadas $1\ \text{m}$, donde el campo es nulo, y calcula el potencial en ese punto.
2. b) Refuta la segunda parte con otro ejemplo numérico: calcula el potencial y el campo en el punto medio entre las cargas $q_1 = +5\ \text{nC}$ y $q_2 = -5\ \text{nC}$, separadas $40\ \text{cm}$.
3. c) Explica, a partir de las definiciones de campo (vectorial) y de potencial (escalar), por qué las dos afirmaciones son falsas en general.

En una región, las superficies equipotenciales son planos paralelos. Dos de ellos, separados $2\ \text{cm}$, tienen potenciales $V_1 = 300\ \text{V}$ y $V_2 = 100\ \text{V}$. Observa el esquema:

1. a) Calcula el campo eléctrico entre los dos planos, suponiéndolo uniforme, $E = \frac{\Delta V}{d}$, e indica su dirección y su sentido (el campo apunta hacia los potenciales decrecientes).
2. b) Calcula el trabajo que realiza el campo al desplazar una carga $q = 2\ \text{nC}$ desde el plano de $300\ \text{V}$ hasta el de $100\ \text{V}$.
3. c) Un alumno desplaza la carga primero «de lado», sin salir del plano de $300\ \text{V}$, y solo después la lleva hasta el plano de $100\ \text{V}$ por un camino quebrado. Razona, usando que el campo eléctrico es conservativo (el trabajo solo depende de los puntos inicial y final), que el trabajo total es el mismo que en el apartado b), y calcula el trabajo del tramo «de lado».

Durante una tormenta, la base de una nube puede estar a un potencial de unos $10^{8}\ \text{V}$ respecto al suelo, y un rayo llega a transferir una carga de $20\ \text{C}$ (dato: $1\ \text{kW}\cdot\text{h} = 3,6\cdot10^{6}\ \text{J}$).

1. a) Calcula la energía liberada en el rayo, $E = Q \cdot \Delta V$.
2. b) Exprésala en kilovatios-hora.
3. c) El consumo eléctrico mensual de una vivienda es de unos $200\ \text{kW}\cdot\text{h}$: compara ambos valores y razona por qué, a pesar de esa enorme energía, es tan difícil aprovechar la de los rayos (piensa en la potencia instantánea y en la impredecibilidad de las descargas).