Ejercicios: Sistemas homogéneos

Un grupo de estudiantes de 2º de Bachillerato está analizando diferentes tipos de modelos matemáticos. Se encuentran con el siguiente sistema de ecuaciones:

$\begin{cases} 3x - 2y + z = 0 \\ x + 4y - 5z = 0 \\ 2x - y + 3z = 0 \end{cases}$

Indica razonadamente por qué este sistema se clasifica como sistema homogéneo y comprueba si la terna $(x, y, z) = (0, 0, 0)$ es solución del mismo. ¿Cómo se denomina técnicamente a esta solución?

Geométricamente, cada ecuación de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas representa un plano en el espacio. En el caso de los sistemas homogéneos, todos los planos comparten una característica común respecto a su posición en el eje de coordenadas.

Observa el siguiente gráfico que representa tres planos intersecándose:

Si el punto destacado es el origen de coordenadas, ¿es posible que un sistema homogéneo sea incompatible (que no tenga ninguna solución)? Justifica tu respuesta basándote en la interpretación geométrica.

Determina si el siguiente sistema homogéneo de dos ecuaciones con dos incógnitas tiene únicamente la solución trivial o si, por el contrario, tiene infinitas soluciones:

$\begin{cases} 2x + 5y = 0 \\ 4x + 10y = 0 \end{cases}$

Para ello, utiliza el determinante de la matriz de coeficientes $A$.

Resuelve el siguiente sistema homogéneo expresando sus soluciones en función de un parámetro $t$ (forma paramétrica):

$\begin{cases} x - 2y + z = 0 \\ 2x - 4y + 2z = 0 \end{cases}$

Pista: Observa la relación entre las dos ecuaciones antes de comenzar.

Un estudio de arquitectura diseña una estructura basada en tres vigas de soporte cuyas tensiones internas, representadas por las variables $x$, $y$ y $z$, deben estar en equilibrio. El modelo matemático resultante es el siguiente sistema homogéneo:

$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x - y + 3z = 0 \\ 4x + y + 5z = 0 \end{cases}$

1. a) Justifica, sin resolver el sistema, por qué siempre admite al menos una solución.
2. b) Calcula el rango de la matriz de coeficientes y determina si la estructura solo tiene la "solución de reposo" (trivial) o si permite otras configuraciones de equilibrio.
3. c) En caso de que existan soluciones no triviales, halla la expresión general de las mismas.

En un laboratorio de química, se mezclan tres componentes para estabilizar un reactivo. Las proporciones relativas $x, y, z$ deben satisfacer el sistema:

$\begin{cases} 2x + y - z = 0 \\ x + 3y + z = 0 \\ 3x + 10y + 4z = 0 \end{cases}$

Demuestra que el sistema es compatible indeterminado y obtén sus soluciones dependiendo de un parámetro $\lambda$. Si el laboratorio exige que $z = 5$, ¿cuál sería el valor de los otros dos componentes?

Estudia el rango de la matriz del sistema homogéneo siguiente y resuelve en los casos en que no sea compatible determinado:

$\begin{cases} x + y - z = 0 \\ 2x + 2y - 2z = 0 \\ -x - y + z = 0 \end{cases}$

Explica razonadamente por qué este sistema tiene "más libertad" (más parámetros) que un sistema compatible indeterminado convencional de tres ecuaciones con una sola fila redundante.

Construye un sistema de tres ecuaciones lineales homogéneo con tres incógnitas que cumpla las siguientes condiciones simultáneamente:

1. El rango de la matriz de coeficientes sea 2.

2. Una de las soluciones sea $(1, -1, 0)$.

3. El sistema sea compatible indeterminado.

Posteriormente, comprueba que el sistema diseñado efectivamente tiene a la solución trivial como una de sus soluciones posibles.

Tres empresas de tecnología, Alpha, Beta y Gamma, intercambian servicios de consultoría mensualmente. El coste de los servicios se compensa de tal forma que el flujo neto de caja al final del trimestre sea cero para el sistema global. Se modela el balance de pagos pendientes mediante el siguiente sistema homogéneo, donde $x, y, z$ representan los pagos mensuales de cada empresa:

$$ \begin{cases} 2x - ay + z = 0 \\ ax - 4y + (a-2)z = 0 \\ x + 2y - z = 0 \end{cases} $$

Determina el valor del parámetro $a$ para el cual las empresas pueden realizar pagos no nulos sin romper el equilibrio del sistema. Para dicho valor, calcula la relación de proporcionalidad entre los pagos de las tres empresas.

Sea $M$ una matriz cuadrada de orden 3 cuyas filas son $F_1, F_2$ y $F_3$. Sabemos que el sistema homogéneo $MX = 0$ es compatible indeterminado. Si realizamos una transformación elemental en el sistema de modo que la nueva matriz $M'$ tiene como filas $F_1' = F_1 + F_2$, $F_2' = F_1 - F_2$ y $F_3' = k \cdot F_3$:

1. a) ¿Bajo qué condiciones sobre el parámetro $k$ el nuevo sistema $M'X = 0$ mantiene el mismo grado de indeterminación que el sistema original?

1. b) Si el sistema original tenía como solución la recta paramétrica $x = \lambda, y = 2\lambda, z = -\lambda$, ¿cuál será la solución del nuevo sistema si $k=0$? Explica la interpretación geométrica de este cambio.

Un sistema de control de tráfico en una zona de bajas emisiones de una ciudad española analiza el flujo de vehículos en tres calles principales. El número de coches que entran y salen de una intersección central debe cumplir la condición de balance neto nulo (entradas = salidas). El sistema se describe por:

$$ \begin{cases} ax + y + z = 0 \\ x + ay + z = 0 \\ x + y + az = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \end{cases} $$

Analiza la compatibilidad de este sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas en función del parámetro $a$. ¿Es posible que el sistema sea compatible indeterminado a pesar de tener más ecuaciones que incógnitas? Justifica tu respuesta usando el rango de la matriz ampliada.

Halla los valores de $m$ y $n$ para que el siguiente sistema homogéneo tenga un espacio de soluciones de dimensión 2 (es decir, que la solución dependa de dos parámetros libres):

$$ \begin{cases} x + my + z = 0 \\ 2x + 4y + nz = 0 \\ mx + 4y + 2z = 0 \end{cases} $$

Para los valores encontrados, describe geométricamente qué representan las ecuaciones del sistema y cuál es el conjunto de puntos que satisfacen todas las condiciones.